初中数学九年级上册知识清单：公式法实际应用全视角解析

初中数学九年级上册知识清单：公式法实际应用全视角解析一、课程核心定位与学科素养锚点本知识清单立足于初中数学九年级上册（北师大版）第二章《一元二次方程》的核心内容，聚焦于“公式法的实际应用”。本阶段的学习，已超越单纯的方程求解技巧，转而强调数学建模能力与数学抽象素养的形成。我们从跨学科的视野出发，将一元二次方程视为刻画现实世界中数量关系与变化规律的重要工具。本清单旨在系统构建从“实际问题”到“数学模型”，再到“方程求解”，最终回归“实际意义检验”的完整认知闭环。通过对各类经典应用场景的深度剖析，不仅要求学生熟练掌握求根公式这一核心工具，更要求其领悟方程模型在几何、物理及日常生活中的普适性价值，实现从“解题”到“解决问题”的思维跃迁。二、【基础】核心概念与公式溯源（一）一元二次方程的标准形式与求根公式任何一个关于x的一元二次方程，经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项）后，都可以化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0\qquad(a\neq0)ax2+bx+c=0(a=0)其中，$ax^2$称为二次项，$a$称为二次项系数；$bx$称为一次项，$b$称为一次项系数；$c$称为常数项。【基础】【重要】求根公式是解一元二次方程的通用方法，适用于所有有实数根的一元二次方程。其公式为：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)x=\frac{b\pm\sqrt{b^24ac}}{2a}\qquad(b^24ac\geq0)x=2a−b±b2−4ac<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​(b2−4ac≥0)这个公式是通过配方法推导出来的，它揭示了方程的根与系数之间的内在关系。在解决实际问题时，我们通常先列出方程，再代入公式求解。（二）【重要】判别式及其实际意义根的判别式通常用希腊字母Δ（Delta）表示，定义为：Δ=b2−4ac\Delta=b^24acΔ=b2−4ac判别式在解决实际问题时，扮演着“可行性预审员”的角色：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。在实际问题中，这通常意味着存在两个理论上的解，需要结合实际情况（如长度、面积、时间不能为负等）进行取舍。2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。这代表问题情境中存在一个临界状态或唯一解。3.当Δ<0时，方程没有实数根。【高频考点】在实际问题中，这直接意味着所设定的数学目标（如达到某一特定面积）在现有条件下是无法实现的。利用判别式可以避免无效计算，快速判断方案的可行性。三、【高频考点】几何图形中的方程模型构建将实际问题转化为方程模型，是解决应用问题的关键，也是中考的【热点】与【难点】。其核心在于用代数式（通常含未知数）表示几何量（边长、面积、体积），并根据几何图形的性质（周长、面积、体积公式或勾股定理）列出等量关系。（一）面积问题（边框与甬道模型）这是公式法应用中最经典的一类问题，通常涉及在矩形背景中设置等宽的道路或边框。★★【典型例题1：四周等宽边框】★★（源自课本变式）要为一幅长28cm，宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框的四周宽度相等，且镜框所占面积（即边框面积）为照片面积的四分之一。求镜框的宽度。（结果保留一位小数）【考点分析】本题考查用一元二次方程解决边框问题，关键在于用未知数表示出内部矩形（照片）或外部矩形（含边框）的长与宽。【解题步骤】1.设未知数：设镜框的边宽度为$x$cm。2.表示关键量：加上边框后，整个外围矩形的长为$(28+2x)$cm，宽为$(20+2x)$cm。3.寻找等量关系：方法一（直接法）：外围矩形面积照片面积=边框面积。(28+2x)(20+2x)−28×20=14×28×20(28+2x)(20+2x)28\times20=\frac{1}{4}\times28\times20(28+2x)(20+2x)−28×20=41​×28×20方法二（间接法）：外围矩形面积=照片面积的$(1+\frac{1}{4})$倍。(28+2x)(20+2x)=28×20×(1+14)(28+2x)(20+2x)=28\times20\times(1+\frac{1}{4})(28+2x)(20+2x)=28×20×(1+41​)4.整理方程：以方法二为例，展开得：560+56x+40x+4x2=700560+56x+40x+4x^2=700560+56x+40x+4x2=7004x2+96x−140=04x^2+96x140=04x2+96x−140=0化简得：x2+24x−35=0x^2+24x35=0x2+24x−35=05.应用公式求解：x=−24±242−4×1×(−35)2×1=−24±576+1402=−24±7162=−24±21792=−12±179x=\frac{24\pm\sqrt{24^24\times1\times(35)}}{2\times1}=\frac{24\pm\sqrt{576+140}}{2}=\frac{24\pm\sqrt{716}}{2}=\frac{24\pm2\sqrt{179}}{2}=12\pm\sqrt{179}x=2×1−24±242−4×1×(−35)<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=2−24±576+140<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=2−24±716<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=2−24±2179<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=−12±179<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​6.【易错点】检验根的合理性：$\sqrt{179}\approx13.38$，则$x_1=12+13.38=1.38$，$x_2=1213.38=25.38$。由于镜框的宽度不能为负数，因此$x_2$不符合实际意义，必须舍去。7.作答：所以，镜框的宽度约为1.4cm。★★【典型例题2：纵横道路平移法】★★如图，在一块长为32m，宽为20m的长方形草坪内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路（纵向一条，横向一条），余下的草坪面积变为原长方形面积的$\frac{5}{8}$，求道路的宽度。1【考点分析】本题考查平移变换在列方程中的巧妙应用。通过将道路“平移”至边界，可以将分散的草坪面积集中为一个规则矩形，从而简化计算。【解题步骤】1.设未知数：设道路的宽为$x$米。2.【技巧点拨】图形平移：将两条道路分别平移到长方形草坪的相邻两侧。此时，剩下的草坪被整合成了一个完整的新矩形。3.表示新矩形边长：平移后，新草坪的长为$(32x)$米，宽为$(20x)$米。4.列方程：新草坪的面积=原面积×$\frac{5}{8}$。(32−x)(20−x)=32×20×58(32x)(20x)=32\times20\times\frac{5}{8}(32−x)(20−x)=32×20×85​5.化简计算：(32−x)(20−x)=640×58=400(32x)(20x)=640\times\frac{5}{8}=400(32−x)(20−x)=640×85​=400640−32x−20x+x2=40064032x20x+x^2=400640−32x−20x+x2=400x2−52x+240=0x^252x+240=0x2−52x+240=06.解方程：用公式法或因式分解法（这里演示公式法）。x=52±(−52)2−4×1×2402=52±2704−9602=52±17442=52±41092=26±2109x=\frac{52\pm\sqrt{(52)^24\times1\times240}}{2}=\frac{52\pm\sqrt{}}{2}=\frac{52\pm\sqrt{1744}}{2}=\frac{52\pm4\sqrt{109}}{2}=26\pm2\sqrt{109}x=252±(−52)2−4×1×240<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=252±2704−960<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=252±1744<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=252±4109<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=26±2109<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​7.估算与检验：$\sqrt{109}\approx10.44$，则$x_1=26+20.88=46.88$，$x_2=2620.88=5.12$。由于原草坪的宽只有20米，若道路宽为46.88米，显然不符合实际，故舍去$x_1$。8.作答：因此，道路的宽度应约为5.12米。（二）动态几何与运动问题此类问题将一元二次方程与动点问题相结合，考察学生用变量表示线段长度，并利用特定条件（如面积、距离）建立方程的能力。1★★【典型例题3：动点三角形面积】★★在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A开始沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止。求几秒后，△PCQ的面积等于8cm²？1【考点分析】本题是代数与几何的简单综合题，考察了用时间t表示运动线段长度，进而表示动态三角形面积的能力。【解题步骤】1.设未知数：设运动时间为$t$秒。（$t\geq0$）2.表示动点位置：由题意，$AP=t$cm，则$PC=ACAP=(6t)$cm。$CQ=2t$cm。（注意：$0\leqt\leq4$，因为Q运动到B需要$8/2=4$秒）3.列方程：在Rt△PCQ中，∠C=90°，面积$S_{\trianglePCQ}=\frac{1}{2}\timesPC\timesCQ$。12×(6−t)×2t=8\frac{1}{2}\times(6t)\times2t=821​×(6−t)×2t=84.化简计算：t(6−t)=8t(6t)=8t(6−t)=86t−t2=86tt^2=86t−t2=8−t2+6t−8=0t^2+6t8=0−t2+6t−8=0t2−6t+8=0t^26t+8=0t2−6t+8=05.解方程：（此题可用因式分解法，为演示公式法，我们仍用公式求解）t=6±(−6)2−4×1×82=6±36−322=6±22t=\frac{6\pm\sqrt{(6)^24\times1\times8}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{3632}}{2}=\frac{6\pm2}{2}t=26±(−6)2−4×1×8<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=26±36−32<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=26±2​得$t_1=4$，$t_2=2$。6.【重要】检验解的合理性：两个解$t=2$和$t=4$均在运动时间范围$0\leqt\leq4$内。当$t=2$时，PC=4cm，CQ=4cm，面积为8cm²。当$t=4$时，PC=2cm，CQ=8cm，面积也为8cm²。此时点Q恰好运动到终点B，而点P尚未到达终点，符合题意。7.作答：所以，在运动开始后的第2秒或第4秒，△PCQ的面积为8cm²。（三）立体图形与体积问题这类问题常与长方体的展开图相结合，考察学生的空间想象能力。★★【典型例题4：无盖盒子制作】★★一块长方形铁皮，长是宽的2倍。四角各截去一个边长为5cm的小正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子。已知盒子的容积为1500cm³，求原来长方形铁皮的长和宽。1【考点分析】本题考查由平面图形折成立体图形的过程中，各几何量之间的对应关系。【解题步骤】1.设未知数：设原铁皮的宽为$x$cm，则长为$2x$cm。2.确定盒子的尺寸：截去小正方形后，盒子的底面是一个长方形。盒子的长=原长$2\times5=(2x10)$cm。盒子的宽=原宽$2\times5=(x10)$cm。盒子的高=小正方形的边长$=5$cm。3.列方程：长方体盒子容积=长×宽×高。5(2x−10)(x−10)=15005(2x10)(x10)=15005(2x−10)(x−10)=15004.化简计算：5×2(x−5)(x−10)=15005\times2(x5)(x10)=15005×2(x−5)(x−10)=150010(x2−15x+50)=150010(x^215x+50)=150010(x2−15x+50)=1500x2−15x+50=150x^215x+50=150x2−15x+50=150x2−15x−100=0x^215x100=0x2−15x−100=05.应用公式求解：x=15±(−15)2−4×1×(−100)2=15±225+4002=15±6252=15±252x=\frac{15\pm\sqrt{(15)^24\times1\times(100)}}{2}=\frac{15\pm\sqrt{225+400}}{2}=\frac{15\pm\sqrt{625}}{2}=\frac{15\pm25}{2}x=215±(−15)2−4×1×(−100)<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=215±225+400<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=215±625<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​=215±25​得$x_1=20$，$x_2=5$。6.检验合理性：显然，铁皮的宽度不能为负数，故$x_2=5$舍去。当$x=20$时，原宽为20cm，原长为40cm。此时盒子的长$=4010=30>0$，宽$=2010=10>0$，符合实际。7.作答：因此，原来长方形铁皮的长为40cm，宽为20cm。四、【思维拓展】公式法在其他情境中的渗透（一）增长率（降低率）问题虽然这类问题通常优先考虑直接开平方法，但最终都可化为一元二次方程的一般形式，因此公式法是求解的“底牌”。其基本模型为：原有量×$(1\pmx)^2$=现有量（x为增长率或降低率）当增长率问题中出现非整数次幂或复杂系数时，公式法便成为可靠的工具。（二）握手问题与互赠礼物问题这类问题源于组合数学，是中考中考察建模能力的常见载体。1.【模型】握手问题（单循环）：若有n个人，每两人握手一次，总握手次数为$\frac{n(n1)}{2}$。若已知总握手次数，则可列方程$\frac{n(n1)}{2}=m$，整理得$n^2n2m=0$。2.【模型】互赠礼物问题（双循环）：若有n个人，每两人互赠一件礼物，总礼物数为$n(n1)$。若已知总礼物数，则可列方程$n(n1)=k$，整理得$n^2nk=0$。在这类问题中，求解出的正根即为n，负根必须舍去。（三）【难点】数字与数位问题这类问题需要正确理解数位的概念，并用代数式表示一个多位数。例如：一个两位数，个位数字比十位数字大3，且这个两位数等于个位数字与十位数字乘积的2倍。【解析】设十位数字为$x$，则个位数字为$x+3$。这个两位数可表示为$10x+(x+3)$。根据题意得方程$10x+(x+3)=2x(x+3)$。整理后得到一个一元二次方程，利用公式法可解。五、【难点】模型构建的通解通法与易错点警示（一）解决实际问题的“四步法”1.【关键第一步】审题与建模：细致读题，理解问题背景，明确已知量与