小学五年级数学“商中补0”除法算理建构教案

小学五年级数学“商中补0”除法算理建构教案一、教学内容分析【基础】“打扫卫生”是北京师范大学版小学数学五年级上册第一单元“小数除法”中的第二节内容。本课的核心知识是在学生已经掌握了除数是整数的小数除法（能除尽，无需补0）的基础上，进一步深入研究在除法的过程中，当除到被除数末尾仍有剩余余数时，需要利用“小数的基本性质”在商的末尾和被除数末尾添“0”继续除；以及解决整数除法中有余数，如何通过在商的个位后点上小数点，并添“0”继续除，从而得到小数商的问题。【非常重要】从数与运算的学科体系来看，本课是沟通整数除法与小数除法的桥梁，是学生从有限次细分向无限次细分认知飞跃的关键一步。它不仅是后续学习除数是小数的除法、小数四则混合运算的基石，更是培养学生“运算能力”和“推理意识”这一核心素养的关键载体。本课的学习，将使学生对除法运算的理解从“平均分物正好分完”的离散量计算，拓展到“可以持续细分”的连续量计算，深刻体会数学的精确性与严谨性。【难点】教学的核心难点在于：其一，学生理解“为什么要添0继续除？”——即添0的算理是什么？学生需要明白添0并不是凭空变出来的，而是根据小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变的性质，将剩余的单位进一步细分成更小的单位继续平均分。其二，学生掌握“怎样正确地添0？”——即商的小数点如何点，以及商中间或末尾有0时的占位处理。二、学情分析【重要】五年级的学生已经具备了整数除法的扎实基础，也初步掌握了除数是整数、商是一位或两位小数的基本除法（如11.5÷5）。他们的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。在日常生活中，学生虽然很少直接接触“除不尽”需要添0继续除的计算，但他们具有“元、角、分”的生活经验，这为本课的学习提供了有力的支撑。然而，学生的前概念可能会形成一些干扰。例如，学生习惯于整数除法“必须除尽”的思维定势，当遇到余数时，往往会本能地停止计算，或机械记忆“加0”而不明其意。此外，对“商的小数点与被除数的小数点对齐”这一规则，部分学生也仅停留在程序性记忆层面，未能真正理解其背后的位值原理。因此，本课教学必须立足于学生的真实困惑，通过情境驱动和直观操作，实现从“算法记忆”到“算理建构”的跨越。三、教学目标1.【基础】结合“打扫卫生”的具体情境，经历探索除数是整数、商是小数（需要补0）的小数除法计算方法的过程，掌握计算方法，能正确进行计算。2.【重要】通过元、角、分的现实模型和面积模型的直观操作，理解除到被除数末尾有余数时补“0”继续除的算理，理解商的小数点定位的数学原理。3.【核心素养】在探索与交流的过程中，培养迁移类推能力、抽象概括能力和运算能力，发展推理意识，感受数学与生活的密切联系，体会数学的严谨性。四、教学重难点1.【重点】掌握除数是整数的小数除法的计算方法，能正确计算除到被除数末尾有余数需要补0的小数除法。2.【难点】理解在除法算式中，当除到被除数末尾仍有余数时，可以在余数后面补“0”继续除的算理，以及商中间或末尾用“0”占位的处理。五、教学准备多媒体课件（PPT），学习任务单，实物投影仪，人民币学具模拟图（元、角、分卡片），方格纸模型。六、教学过程设计一、创设情境，激活经验——引入“细分”需求1.谈话导入开课伊始，教师与学生亲切交流班级的卫生值日情况。“同学们，为了让我们每天都有干净整洁的学习环境，我们班的卫生委员和劳动小组付出了很多努力。这不，开学了，班级需要购买新的清洁工具。”（出示主题图：买笤帚）2.信息呈现与问题提出课件出示：买6把笤帚共花了18.9元。结合这个信息，你能提出什么数学问题？（引导学生提出：每把笤帚多少元？）根据学生回答，板书算式：18.9÷6=3.初步估算，激活思维请同学们估一估，每把笤帚大约是多少元？并说说你的理由。预设生1：我把18.9元看成18元，18÷6=3（元），所以大约是3元多一点。预设生2：18.9元比18元多，所以肯定比3元多；比24元少，所以不到4元。【设计意图】通过估算，培养学生的数感，同时确定商的大致范围（3点几），为后续竖式计算中商的整数部分是3提供验证依据，避免出现原则性错误。二、自主探索，建构算理——攻克“添0”核心（一）探究“除到被除数末尾有余数，添0继续除”的算理与算法1.尝试计算，暴露思维教师引导：“18.9÷6，究竟等于多少呢？请同学们结合我们已经学过的小数除法和整数除法的知识，尝试着用竖式算一算。”学生独立尝试计算，教师巡视，寻找典型的生成资源。预设学生会出现以下几种情况：（1）计算到18÷6=3，余9角（即0.9元），不知如何处理，停止计算。（2）知道继续算，但商的小数点位置错误。（3）正确计算出结果。2.多元表征，理解算理（【难点突破】）教师组织学生进行汇报交流，重点聚焦于“当商到3后，余数是3，这个3表示什么？接下来怎么办？”策略一：借助“元、角、分”模型。教师引导：18.9元，平均分成6份，刚才我们第一步把18元平均分成了6份，每份是3元，也就是商的个位写3。那么剩下的“3”是什么？（是3元吗？不是，因为18元已经分完了，这个3其实是0.9元分完后剩下的？引导学生明确竖式中的余数“3”表示3角。）师追问：3角不够平均分给6个人，不够分怎么办？能不能想办法继续分？生：可以把3角化成30分。30分平均分成6份，每份是5分。教师结合学生的回答，在实物投影上展示人民币的换算过程。同时在竖式旁边进行板书解释：这个余数“3”是在十分位上，表示3个0.1元，也就是3角。3个0.1除以6，不够商1，我们就把它看成30个0.01元（即30分），这样就能继续除了。这个过程在竖式里怎么体现呢？——就在3的后面添上一个“0”，变成30，表示30个0.01（即30分），用30÷6=5，这个5表示5个0.01元，也就是5分。所以商要写在百分位上。策略二：借助直观图形（方格图）辅助理解。教师出示一个被平均分成10份的长方形（代表1元，每份是0.1元），将涂色的部分表示剩余的0.3元（即3个0.1）。如何把这3个0.1平均分成6份？引导学生将每一个0.1再细分成10个小格（代表0.01），这样3个0.1就变成了30个0.01，平均分成6份，每份是5个0.01。3.沟通联系，明确算法（【非常重要】）教师总结：刚才我们用人民币模型和图形都证明了，当除到被除数的末尾仍有余数时，我们可以在余数后面添“0”继续除。添上的这个“0”，是把计数单位变小（从“角”变成“分”，从0.1变成0.01），使得细分能够进行下去。引导学生完善竖式，并强调：商的小数点一定要和被除数的小数点对齐。得出结果：18.9÷6=3.15（元）。【设计意图】本环节不满足于学生算出正确答案，而是通过暴露错误、操作验证、数形结合，将抽象的“添0”规则转化为看得见、摸得着的“单位细分”过程，直击算理核心，实现深度学习。（二）探究“整数除法中有余数，添0继续除”的算法（【高频考点】）1.情境迁移，独立尝试教师出示第二个情境：买4个簸箕花了26元。平均每个簸箕多少元？学生列出算式：26÷4=教师引导：这是一道整数除法题，26除以4，商6余2。但这是买东西，钱数可以用小数表示。余下的2元还能继续分吗？请同学们尝试用竖式算一算，看能不能得到一个精确的答案。2.比较辨析，深化认知学生计算后，教师展示正确的竖式计算过程。教师关键追问：这道题和我们刚才做的18.9÷6有什么不同？（学生发现：刚才的被除数是小数，现在被除数是整数。）师继续追问：被除数是整数，当除到最后有余数2时，我们应该怎么办？为什么？生：在2的后面添上0，变成20。但为了保持商的值不变，我们要先在6的后面点上小数点，然后再添0继续除。师：为什么要先点小数点？生：因为26是整数，相当于26.0，根据小数的性质，我们可以在个位后面点上小数点，添上0，把整数变成小数形式，这样就能继续除了。教师小结：当整数除以整数除不尽时，我们可以先在商的个位后面点上小数点（表示商从整数部分进入了小数部分），再在被除数的余数后面添“0”继续除。这体现了整数和小数除法的一致性。得出结果：26÷4=6.5（元）。【设计意图】通过两道题目的对比，帮助学生打破整数除法的思维定势，建立“整数除法也可以通过添0转化成小数除法”的认知，进一步完善小数除法的计算模型。三、练习巩固，内化算法——聚焦“0”的占位1.基础练习（【基础】）列竖式计算：30.6÷5=42÷8=学生独立完成，同桌互查。教师巡视，重点关注学生是否在余数后正确添0，商的小数点是否点对。2.辨析练习（【难点】、【高频考点】）出示一道易错题：竖式计算12.6÷12。教师呈现两种典型错误：错误A：直接用12.6÷12，商1后，余数6，忘了在6后面添0，导致无法继续。错误B：商1后，余数6，添0变成60，但把商写成了1.5，却忽略了十分位上的“0”占位（即商应该是1.05）。引导学生进行辨析讨论：（1）第一种做法错在哪里？（没有继续除，答案不精确）（2）第二种做法，商是1.5吗？1.5×12=18，不等于12.6，说明错了。错在哪？引导学生理解：当被除数的十分位上是6，我们把它和个位落下的余数结合，实际上我们要算的是“6个0.1”除以12，不够商1个0.1，所以应该在商的十分位上写“0”占位。然后再把6个0.1看成60个0.01，用60÷12=5，商在百分位上。教师总结：在计算小数除法时，当哪一位不够商1，就要在那一位上用“0”来占位，这一点和整数除法是一样的。【设计意图】“商中间有0”是学生最容易出错的地方。通过错例辨析，引导学生关注计算的细节，深刻理解“0占位”的必要性，强化计算规则，提升运算的准确性。四、课堂总结，畅谈收获——构建知识网络1.回顾梳理教师引导学生回顾：今天这节课我们在“打扫卫生”的过程中，学习了什么新的数学本领？学生自由发言，教师提炼关键词：添0继续除、小数点对齐、0占位。2.深度追问师：为什么可以在后面添0？生：因为把小单位细分成了更小的单位。（利用小数的基本性质，计数单位变小了，但数值不变。）师：计算整数除法有余数时，和以前有什么不同？生：以前就不算了，现在可以点上小数点，添0继续算出精确的小数结果。【设计意图】总结不仅要回顾知识点，更要追问背后的道理，帮助学生从“知其然”走向“知其所以然”，将零散的技能点串联成结构化的知识体系。七、板书设计小学五年级数学“商中补0”除法算理建构教案情境一：买笤帚情境二：买簸箕18.9÷6=3.15（元）26÷4=6.5（元）竖式区竖式区（规范书写竖式过程）（规范书写竖式过程）【核心算理】【核心规则】余数→添“0