2025-2026学年高一下学期期末质量检测模拟数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025-2026学年高一下学期期末质量检测模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．的共轭复数是（

）A． B． C． D．2．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则3．有一组样本数据21，24，26，31，35，36，42，44，49，52，则其分位数与分位数之和为（

）A．66 B．67 C．68 D．694．全国乒乓球选拔公开赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和12，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为（

）A． B． C． D．5．在中，，，P为所在平面内的一个动点，若的最小值为，则（

）A． B．2 C． D．46．为观测某种药物对体温的影响，体温检测员对一周内甲、乙两名患者的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论错误的是（

）

A．患者甲体温的极差为0.4℃B．患者乙体温的众数、中位数与平均数相等C．患者乙的体温比患者甲的体温稳定D．患者甲体温的平均数小于患者乙体温的平均数7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，，则（

）A． B． C． D．38．如图，这是某重器上一零件的结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体的三个面均相切，最小球与中等球和正四面体的三个面均相切.若AB=15，则该模型中4个中等球的表面积之和为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知事件A，B发生的概率分别为，则下列结论正确的是（

）A．若A，B互斥，则A，B至多有一个发生的概率为1B．若A，B互斥，则A，B至少有一个发生的概率为5C．若A，B相互独立，则A，B都不发生的概率为D．若A，B相互独立，则A，B至少有一个发生的概率为10．如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为DC的中点，将△CBE沿BE翻折到△PBE的位置，在翻折过程中，下列叙述正确的是（

）

A．存在点P，使得AD∥平面PEBB．当二面角P-BE-A等于时，四棱锥P-ABED的体积最大C．存在点P，使得AE⊥PBD．存在点P，使得PA⊥PB11．若z是非零复数，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则|z|=1C．若，则D．若，则三、填空题12．已知，则____，____.13．一个不透明的袋子中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个黄球、3个白球，1个蓝球，从袋中取2个球，记下颜色并计算得分，得分规则为2个球颜色相同得2分，2个球一黄一白得分，有蓝球得0分，则取球得分非负的概率是____.14．在△ABC中，角的对边分别为，若，且，，则____.四、解答题15．如图所示，在△ABC中，D是的中点，E是线段AD靠近点A的三等分点，，记，.(1)用向量表示向量；(2)求的值.16．一个袋子里有5个红球，3个白球，2个黑球，每次从袋子里取出一个球.(1)若每次取球后都放回，连续取3次，求3次都取到红球的概率;(2)若每次取球后都放回，连续取3次，求至少有一次取到白球的概率;(3)若每次取球后不放回，连续取3次，求第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A的大小;(2)若，求a的最小值.18．第33届奥林匹克运动会于2024年7月26日—8月11日在法国巴黎举办，中国女排经过艰苦鏖战，成功入选本届奥运女排参赛大名单.为普及奥运知识，弘扬女排精神，某市排协针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“排球运动”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组[20，25)，第二组[25，30)，第三组[30，35)，第四组[35，40)，第五组[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.(1)根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄;(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人担任本市的“中国女排精神”宣传使者:①若有甲(年龄36)，乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的人中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率;②若第四组的人的年龄的平均数与方差分别为36和2，第五组的人的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这n人中35~45岁所有人的年龄的方差.19．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面为矩形，平面平面，，，，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求三棱锥的体积.(2)求证：平面平面PCD.(3)求证：平面PCD.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号1234567891011答案BDDBDDABABDBCDABC1．B【详解】因为，所以复数z的共轭复数是2．D【分析】由线面的位置关系逐一判断即可.【详解】对于A，若，则β与γ可能相交，所以选项A错误;对于B和C，若，则b与c可能平行，也可能是异面直线，也可能是相交直线，所以选项B，C都错误;对于D，若，由平行于同一平面的两平面平行，可得，所以选项D正确.3．D【详解】因，所以这组数据的分位数为26，因为，所以这组数据的分位数为，所以这组数据的分位数与分位数之和为69.4．B【分析】先求出单人晋级决赛的独立事件概率，拆分“恰两人晋级”为三组互斥组合，分别计算概率后求和得到结果.【详解】选手进入决赛需预赛、半决赛两阶段均取胜，独立事件同时发生概率为两阶段获胜概率乘积，记甲、乙、丙能晋级决赛的事件依次为，，；，；，.三人恰两人晋级包含、、三类互斥情形，总概率为三类概率之和，.5．D【详解】，∴以C为原点，分别以，所在直线为x，轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

，，∴设，则，，则，.令，则，.；的最小值为，，，解得..6．D【详解】患者甲体温的极差为(℃)，故选项A正确;患者乙一周内的体温为36.3，36.3，36.4，36.4，36.4，36.5，36.5其众数、中位数、平均数均为36.4℃，故选项B正确;根据题图中数据容易看出患者乙的数据更集中，故患者乙的体温比患者甲的体温稳定，故选项C正确；患者甲一周内的体温从小到大排序为36.2，36.2，36.4，36.4，36.5，36.5，36.6，可得患者甲体温的平均数为36.4，故选项D错误.7．A【分析】由三角形面积公式及正弦定理结合二倍角公式化简求解.【详解】由三角形面积公式得，且的面积为，可得，变形可得，且，由余弦定理得，得，故.8．B【分析】先根据棱长求出正四面体的内切球（最大球）的半径，再结合与正四面体同一顶点的三个面都相切的球的位置性质，利用两球相切的球心距与半径的关系求出单个中等球的半径，最后计算4个中等球的表面积之和得到结果.【详解】如图所示，设为最大球的球心，大正四面体底面的中心为E，棱长为a，高为，的中点为F，连接，则，a，，，最大球所对应的正四面体的高，因为，所以，所以，因为大正四面体的棱长为，所以，，中等球与四面体三个面、大球相切，设其半径为，对应的四面体的高为，则中等球与大球的球心距为，也等于，又同上可得，所以，整理得所以该模型中4个中等球的表面积之和S=4S中=.9．ABD【详解】依题意，，.对于A，因为A，B互斥，所以，则A，B至多有一个发生的概率为.对于B，，则A，B至少有一个发生的概率.对于C，，所以A，B都不发生的概率为.对于D，，则A，B至少有一个发生的概率.10．BCD【分析】对A，利用线面平行的性质定理推出，结合图形翻折过程可判断该平行关系不可能成立；对B，二面角为直角时两平面垂直，此时P到底面距离取最大值，锥体体积最大；对C，先证，再结合面面垂直的性质定理推出平面，进而得到；对D，由C得，结合已知，通过线面垂直判定定理证平面，从而推出.【详解】对于A：若存在平面，根据线面平行的性质，可得，显然不成立，A错误；对于B：当二面角等于时，平面平面，此时点P到平面的距离最大，也即四棱锥的体积最大，B正确；对于C：连接，则，因为，所以，所以，当平面平面时，由平面平面，可得平面，所以，C正确；对于D：由选项C可知，存在点P，使得，因为，，所以平面，所以，D正确.

11．ABC【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.【详解】对于A，由z+=0，得，故A正确;对于B，因为，所以，解得或(舍去)，故B正确;对于C，设且，则，所以，故C正确;对于D，由，得，设且，则，，从而，故D错误.12．24【分析】化简已知条件，根据复数相等列方程，由此求得.【详解】依题意，，所以，所以，解得.13．/【详解】从6个球中取2个球，记2个黄球分别为黄1，黄2，3个白球分别为白1，白2，白3，所有可能的结果为：黄1黄2，黄1白1，黄1白2，黄1白3，黄1蓝，黄2白1，黄2白2，黄2白3，黄2蓝，白1白2，白1白3，白1蓝，白2白3，白2蓝，白3蓝，共有15种结果，其中取2个黄球有1种结果，取2个白球有3种结果，1黄1白有6种结果，有蓝球有5种结果，因为取球得非负分，所以取球结果不能是一黄一白，所以取球得分非负的概率是.14．【分析】由余弦定理及正弦定理化简求解.【详解】因为，由余弦定理得，所以，变形可得，解得或(舍去)，因为，所以解得，由正弦定理得.15．(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以.（2）因为，且，所以​.16．(1)(2)(3)【分析】（1）根据独立事件的乘法公式结合古典概率的计算公式求解；（2）根据独立事件的乘法公式结合对立事件的概率求解；（3）先按照“第一次红→第二次白→第三次黑”的顺序，依据取球后不放回的规则求出相应的概率，再根据乘法原理求解.【详解】（1）每次取到红球的概率均为，因为每次取球相互独立，所以3次都取到红球的概率为.（2）每次取不到白球的概率均为，因为每次取球相互独立，所以连续3次都取不到白球的概率为××=，所以至少有一次取到白球的概率为.（3）第一次取到红球的概率为，第一次取完红球后，袋子里还有4个红球，3个白球，2个黑球，共9个球.第二次取到白球的概率为，第二次取完白球后，袋子里还有4个红球，2个白球，2个黑球，共8个球.第三次取到黑球的概率为.所以第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率为.17．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理结合正弦的两角和公式求解；（2）由三角形的正弦面积公式求得，再利用余弦定理结合基本不等式可求解.【详解】（1），，由正弦定理得，，.又，即.，；（2）由题意可得：，所以.由余弦定理得，当且仅当时等号成立，，即a的最小值为.18．(1)31.75(岁)(2)①②【分析】(1)通过直方图平均值算法求解.(2)①分层抽样后列举，根据古典概型概率公式计算.②通过利用部分的平均值和方差计算总体的平均值和方差的计算公式计算.【详解】（1）设这n人的平均年龄为，则(岁).（2）①由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，样本空间Ω={(A，B)，(A，C)，(A，甲)，(A，乙)，(A，D)，(B，C)，(B，甲)，(B，乙)，(B，D)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共有15个样本点.设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则M={(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共有9个样本点.所以.②设第四组的人的年龄分别为x1，x2，x3，x4，平均数为，方差为，设第五组的人的年龄分别为y1，y2，平均数为，方差为，设第四组和第五组所有人的年龄的平均数为，方差为，则，即第四组和第五组所有人的年龄的