2026年四川省乐山市中考数学试题（解析版）

数学

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题

卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将

本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．

第Ⅰ卷（选择题共30分）

注意事项：

1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．

2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．

1.下面几何体中，是球体的是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【详解】解：A、是柱体，不符合题意；

B、是锥体，不符合题意；

C、是球体，符合题意；

D、是锥体，不符合题意．

2.下列各数是不等式x10的解的是（）

A.B.C.0D.1

【答2案】A1

【解析】

【详解】解：

移项可得x1�，−1>0

∴四个选项中只有A选项中的数是原不等式的解．

3.2025年，我国人工智能核心产业规模突破万亿元．数据用科学记数法表示为

（）1.21200000000000

A.B.C.D.

9101112

【答1.2案×】1D01.2×101.2×101.2×10

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a10n，其中1a10，n为整数，解题关键是正确确定a和n的值.

【详解】解：∵科学记数法要求1a10，n的值等于原数的整数位数减1，

原数共有13位整数，将小数点左移12位可得，

∴12000，0即0000000.�=1.2

12

4.�如=图1，2两条平1行20线00a000、00b00被0第=三1.2条×直1线0所截．若140，则2（）

�

A.20B.40C.50D.140

【答案】B

【解析】

【详解】解：由题意可知a∥b，故．

5.一个布袋里放着个红球和个∠白1球=，∠这2=两4种0球°除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取个

球，取出红球的概率3是（）21

3

A.B.C.D.

5212

533

【答案】A

【解析】

【分析】根据概率公式，用红球个数除以布袋中球的总个数即可求解．

【详解】解：布袋中球的总个数为，红球个数为，

3

从布袋中任取1个球，取出红球的概3率+是2=5．3

5

6∴.若实数a、b满足，则ab的值是（）

2

A.�−2B.+(�1+3)=0C.D.6

【答1案】D6

【解析】

【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出a和b的值，再

计算ab即可．

【详解】，，且，

22

∵�，−2≥0(，�+3)≥0�−2+(�+3)=0

∴�−2=0�+3=0

解得：a2，b3，

．

7.∴如��图=，2在×(A−B3C)=中−，6点D、E、分别是AB、BC、AC的中点，连接DE、、DF．若

，则（）���

SABC

�△���=1

A.B.C.D.

【答2案】B468

【解析】

【分析】先证明，同理可证，解答即可．

�△�����2121

△𝐵�

【详解】解：点�D、=E𝐵分别=是2AB=、4BC的中点，

∴，

1

∴��∥𝐵,��=2�，�

∴△���∽△�𝐵，

�△�����2121

�△𝐵�=𝐵=2=4

同理可证，，

�△���1�△���1

�△𝐵�=4,�△𝐵�=4

∴，

�△���1

△𝐵�

由�=4，

∴�△���=1．

8.�如△�图𝐵，=四4边形ABCD是平行四边形，与BD相交于点O，添加一个条件后，不能判定四边形ABCD

是菱形的是（）𝐵

A.B.ACBD

C.�A�C=�B�DD.BACDAC

【答案】C

【解析】

【详解】解：A、ABAD，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题

意；

B、ACBD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意；

C、，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意；

D、�∵�四=边�形�ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，

∴，

又∠∵�𝐵=∠𝐵�，

∴∠�𝐵=∠�𝐵，

∴∠𝐵�=∠，�𝐵

∴�平�行=四�边�形ABCD是菱形，不符合题意；

综上，故选C．

9.若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的倍，分式值保持不变的是（）

a2b2ab2

A.B.C.D.

22

aabbab�3�

22

�−1�+�

【答案】A

【解析】

【分析】将a,b替换为原来的2倍，化简后与原分式对比，即可判断分式值是否改变.

【详解】解：将各选项中a换为2a，b换为2b，依次化简判断：

选项：，

A22222222

(2�)−(2�)4�−4�4(�−�)�−�

22222222

替换后∵和(原2�)分+(式2�相)(2等�)+，(2�分)式=值4�不+4变��，+4符�合=题4(�意+；��+�)=�+��+�

选∴项B：替换后得，分式值改变，不符合题意；

(2�)(2�)4��2����

2�+2�=2(�+�)=�+�≠�+�

选项C：替换后得，分式值改变，不符合题意；

2��

2�−1≠�−1

选项D：替换后得，分式值改变，不符合题意；

3(2�)6�3�3�

22222222

(2�)+(2�)=4�+4�=2(�+�)≠�+�

10.已知二次函数，有下列结论：

2

①二次函数图象与�y=轴�的+交�点�坐+标�是；

0,�

②二次函数的顶点坐标是；

2

��

2,�−4

③若二次函数图象经过A1,y1、B3,y2两点，且y1y2，则；

④当1x2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则�的>值−与2无关．

其中，正确的结论有（）�−��

A.个B.个C.个D.个

【答1案】B234

【解析】

【分析】根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法

判断结论正误．

【详解】解：对①：令x0，得，∴二次函数图象与y轴交点坐标是0,c，①正确．

�=�

对②：对函数配方得，

2

2�2�

�=�+��+�=(�+2)+�−4

∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误．

2

��

−2,�−4

对③：代入坐标得，，∵y1y2，

12

∴�,��，=化1−简�得+��，=结9论+错3�误+，�③错误．

对④1−：�二+次�函>数9开+3口�向+上�，对称轴为�<−2，对区间分情况讨论：

�

�=−21≤�≤2

若，即，二次函数y随x的增大而增大，，不

�

含−；2≤1�≥−2�−�=(4+2�+�)−(1+�+�)=3+�

若�，即，二次函数y随x的增大而减小，

�

−2≥2�≤−4，不含；

若�−�=(1+�，+即�)−(4+2�+�，)=最−小3值−为�顶点纵坐�标，最大值在离对称轴更远的端点，计算

2

��

得1<−2仍<消2去，−不4含<�<；−2�=�−4

因此�−�的值与�无关，�④正确．

综上，�正−确�结论共�个．

2第Ⅱ卷（非选择题共120分）

注意事项：

1．考生使用0.5mm黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上

无效．

2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨迹签字笔描清楚．

3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．

11.3的相反数是_________．

【答案】3

【解析】

【分析】根据符号不同，绝对值相等的两数是相反数，直接求解即可．

【详解】解：3的相反数是．

12._________．3

【答si案n3】0°=

1

【解析】2

【分析】根据特殊角的三角函数值即可直接得到结果．

【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知：.

1

2

13.一组数据，7，，12，15的中位数是s_in__3_0_°_=___．

【答案】939

【解析】

【分析】根据中位数的定义，将数据从小到大排列后，找出最中间的数即可得到结果．

【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为，7，，，，这组数据共有个数，个数

为奇数，处在最中间的数是，因此这组数据的中位3数是．912155

299

14.已知方程x4x30的两个根是x1和x2，则_________．

12

【答案】3��=

【解析】

【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可

2�

1212

得答案．��+��+�=0(�≠0)�,���=�

2

【详解】解：∵方程x4x30的两个根是x1和x2，

∴．

3

121

15�.如�图=，在=R3tABC中，ABC90，BC6，AB8，点D为斜边的中点，则BD_________．

𝐵

【答案】5

【解析】

【分析】根据勾股定理得到AC10，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；

【详解】解：根据题意，得，

22

由点D为斜边的中点，𝐵=��+𝐵=10

𝐵．

1

2

1∴6�.�传=说古𝐵希=腊5毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把

数分成许多类．如图，第一行的，，，10称为三角形数，第二行的，，，16称为四边形

数，第三行的，，，221称为3五边6形数．149

1512

（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）：

①；②25；③36．

（21）我们将k边形数中第n个数记为．已知，，则

1212

22

_________．（用含有n的代数式表示）��,��≥3��,3=�+���,4=���,5=

【答案】①.①③②.

2

3�−�

【解析】2

【分析】（1）根据图形规律，往后写几个数即可求解；

（2）设，利用待定系数法求解即可．

2

【详解】�（1�）,5解=：�1�和+36��既+是�三角形数又是四边形数；

根据题意，第一行的三角形数分别为1,3,6,10,15,21,28,36，

第二行的四边形数分别为1,4,9,16,25,36,49，

第三行的五边形数分别为1,5,12,22,35,51，

故1和36既是三角形数又是四边形数．

（2）解：，都是n的二次函数，

1212

22

也∵可�能�是,3n=的二�次+函数�，��,4=�

∴不�妨设�,5，

2

��,5=��+��+�

根据题意，得，

�+�+�=1

4�+2�+�=5

9�+3�+�=12

解得3，

�=2

1

�=−2

故�=0．

2

3�−�

三�、�解,5答=题：2本大题共10个小题，共102分．

17.计算：．

【答案】−2+4

【解析】4

【详解】解：

−2+4

=24+．2

18.解方程组：

2�+�=5

【答案】�+�=1

�=4

【解析】�=−3

【详解】解：

2�+�=5①

，得x�+4．�=1②

把①x−②4代入②，得y3，

．

�=4

∴

19.�化=简−：3．

2

【答案】9�+3�−3−�

【解析】

【分析】先用平方差公式化简，再合并同类项即可．

【详解】解：原式

22

9．=�−9−�

20.如图，已知ACAD，CABDAB．求证：．

𝐵=��

【答案】证明：在和△ABD中，

，C△AB���DAB，ABAB，

∵𝐵=��，

∴△�𝐵≌△．���SAS

∴【�解�析=】��

【分析】利用证明，即可证明．

【详解】略SAS△�𝐵≌△���𝐵=��

21.某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工

开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结

果绘制成统计图表，如图所示．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有________人，表中m的值为________；

（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课

程A和课程B的概率．

【答案】（1）；18

1

（2）60

6

【解析】

【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比，扇形统计图的意义求解即可；

（2）利用画树状图法或列表法求解即可；

【小问1详解】

解：根据题意，得学生一共有％（人），

故表中m的值为12÷20=．60

【小问2详解】60−21−9−12=18

解：解法一：由题可画树状图：

由图可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种，

（恰好选到课程A和课程B）．

1

解∴�法二：由题可列表：=6

第一次

ABD

第二次

�

A

B,AC,AD,A

B

A,BC,BD,B

�A,CB,CD,C

D

A,DB,DC,D

由表可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种，

（恰好选到课程A和课程B）．

1

∴�=6

22.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，连

�

�=−�+1�=��≠0�−1,���,−1

接、OQ．

��

（1）求a、b的值和反比例函数的表达式；

（2）求△POQ的面积．

2

【答案】（1）a2，b2；y

x

（2）

3

【解析2】

【分析】（1）将、代入一次函数解析式即可求出a、b的值，再将点P的坐标代入反比

例函数解析式求�出−m1的,�值即�可�,；−1

（2）设一次函数与x轴相交于点A，先求出A点坐标，再根据计算求

解．�=−�+1�△���=�△���+�△���

【小问1详解】

解：∵一次函数的图象经过点、，

�，=−�+1，�−1,���,−1

∴解−得−a1+21，=b�2−，�+1=−1

、，

k

∵∴�反−比1例,2函数�y2,−1的图象经过点，

x

，�−1,2

2

∵∴�反=比−例2函数的表达式为y；

x

【小问2详解】

解：如图，设一次函数与x轴相交于点A，

�=−�+1

令y0，则x1，即：A1,0，

，

∴又��=1，，

∵�−1,2�2,−1．

113

△���△���△���222

2∴3�.如图=，�AB为+�O的直=径，×点1×2为+圆上×一1×点1，=点D在BA延长线上，连接，且ACDB．

���

（1）求证：为O的切线；

（2）若��，O的半径为，求AD的长．

3

4

【答案】（ta1n）�证=明：如图所示，连3接OC，

，

∵��=𝐵，

∴∠�=∠𝐵�，

∵∠𝐵�=∠�．

∴∠AB𝐵为�=O∠的𝐵直�径，

ACB90，

．

∴∠𝐵�+∠𝐵�=90°

，即，

∴又∠𝐵O�C+是∠𝐵O�的=半90径°，∠𝐵�=90°

CD为O的切线；

（2）

【解析2】

【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，则可证明，由直径所对的圆周角是直

角得到，则可证明∠�=∠𝐵�，∠即𝐵�=∠𝐵�，据此可证明CD为O的

切线；∠𝐵�+∠𝐵�=90°∠𝐵�+∠𝐵�=90°∠𝐵�=90°

（2）解直角三角形得到，由勾股定理可得OD5，再由线段的和差关系可得答案．

【小问1详解】��=4

略

【小问2详解】

解：由（1）得OCD90，

，O的半径为，

3

∵tan�=43

，即，

𝐵333

∴��=4，��=4

��=4,

2222

∴��=𝐵+��=3+4．=5

2∴4�.�在=一�堂�平−面��密=铺5探−究3课=上2，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．

【感知密铺】

（1）同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成

一个周角时，就可以铺满地面．

正多边形的边数…

3456

正多边形的内角和180360720…

540°

正多边形每个内角的大小60a…

90°108°

上表中________，正六边形________（填“能”或“不能”）铺满地面．

【探寻密�=铺】

（2）同学们通过动手操作，探寻到了实现密铺的路径．

上图中，②号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成

①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到．

【创作密铺】

（3）最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD形状大小相同的四边形实现平面密铺，

并在下面方格纸中画出点A位置的密铺设计图．

【答案】（1）120；能

（2）平移；旋转（3）点A位置的密铺设计图如图：

【解析】

【分析】（1）根据正六边形的内角和求正六边形每个内角的大小即可，再根据三个正六边形内角恰好组成

一个周角，得到正六边形能铺满地面．

（2）根据平移与旋转的特征判断即可；

（3）先画AB和AD为公共边的四边形，再画最后一个四边形即可．

【小问1详解】

解：正六边形的内角和720，则正六边形每个内角的大小，

720°

∵，即三个正六边形内角恰好组成一个周�角=，6=120°

∴3正×六1边20形°能=铺36满0°地面．

【小问2详解】

解：②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线平行，则②号三角形可

看成①号三角形通过平移得到；

③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线不平行，则③号三角形可看

成①号三角形通过旋转得到；

【小问3详解】

略

25.如图，在矩形ABCD中，、，点在线段上（点不与点D重合），连结，

将ADP沿翻折得到、点�D�的=对应3点�为�=．1������

′

���

（1）求的长度；

′

（2）求证��：当时，四边形为正方形；

′

（3）若点在�线�段=A1B上，且����，连接、将BCQ沿翻折得到、

′

点B的对应�点为B，设点B与�点�=之�间�的=距�离0<为�d≤，求3d的取值��范围．��△���

′

【答案】（1）�

（2）证明：法1一：ADP沿翻折得到，

′

��△���

∴，

′′

∴��=��=1��=��=1

′′

��=��=��=��

∴四边形是菱形，

′

又∵四边形��A�B�CD是矩形，

∴D90，

∴四边形是正方形；

′

法二：����

∵四边形ABCD是矩形，

∴D90．

又∵△沿翻折得到，

′

∴�����，△���，

′′

∵∠���=∠�=，90°∠���=∠���

∴��=��=1，

∴∠���=45°，

′

∴∠���=∠���=45°，

′

∴∠四�边��形=2∠��是�矩=形90，°

′

又∵����，

∴四边��形=��是正方形；

′

（3）����

【解析0】≤�≤2

【分析】（1）根据翻折得到；

′

（2）根据翻折得到��=�，�=1，则推出四边形是菱形，

′′′′′

最后根据D90�得�到=四�边�形=1��是=正�方�形=；1��=��=��=������

′

（3）①当B'与重合时，此时�d��0�最小．②当点与点重合（点与点A重合）时，根据折叠证明

′

四边形是�矩形，得到，此时�最大，�即可得到点�B与点之间的距离为d的取值范

′′′′′

围����．�=��=𝐵=2�

【小0问≤�1≤详解2】

解：ADP沿翻折得到，

′

��△���

∴，

′

又�∵�=��，

∴��=1；

′

【小��问=21详解】

略

【小问3详解】

解：①当B'与重合时，

′

�

此时d0．

②当点与点重合（点与点A重合）时，

���

∵四边形ABCD是矩形，、，

∴，��=3��=，1，

∴∠�𝐵=∠�𝐵=90°��=��=3，��=𝐵=1

2

222

由折𝐵叠=可得��+𝐵=3+1=2

，，，，，

′′′′′′

��=��=1，��=��=3��=��=3��=��=1∠���=∠�𝐵=90°∠���=

∠∴�𝐵=90°，，

′′′′

∴�四�边=形��=1是平�行�四=边�形�，=3

′′

∵����，

′

∴∠平�行�四�边=形∠�𝐵=9是0矩°形，

′′

∴，����

′′

��=𝐵

∴．

′′

∴�=��=．𝐵=2

260.已≤知�≤抛物2线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为点．

2

�:�=�−2�−3�

（1）求A、B两点的坐标；

（2）直线与抛物线交于D，E两点．

①若A、B�:两�点=到��直+线�l�距≠离0相等，则直�线l过定点，请求出这个定点，并说明理由；

②若，试问直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案∠�】�（�1=）90°，

（2）①定点�−1；,0�3,0

如图，设直线�l1与,0x轴交于点，过点A作，过点B作，垂足分别为G、H．

�𝐴⊥��𝐵⊥��

∴．

又∠∵�A�、�=B两∠�点�到�直=线90l°的距离相等，

∴AGBH．

又∵，

∴∠�𝐴=∠�𝐵．

∴△AF𝐴�B≌F△，𝐵�AAS

即：点为AB中点．

�

∵，，

∴�AB−1中,0点�3,0，

即直线l过定�点1,0；

②直线l过定点�1,0

【解析】1,−3

【分析】（1）令，解得，再根据抛物线交x轴于A、

22

B两点（点A在�点=B�的−左2�侧−），3=得0到�1，=3,�2=．−1�:�=�−2�−3

（2）①设直线l与x轴交于点，过�点−A1作,0�3,0，过点B作，垂足分别为G、H．即可证

明