新高三数学暑假自学课精讲精练基础知识复习练习题专题09导数与函数的单调性(原卷版+解析)

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题09导数与函数的单调性基础知识复习1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【知识拓展】1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．典型习题强化1．已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为f'x，若对任意A．f0<0 B．9f−32．函数fxA．(−∞,ln2) C．(–∞,2) 3．若函数f(x)=1A．(−∞,−1] B．[−1,4．已知函数fx=mx3+A．3 B．13 C．2 D．5．已知函数fx的导函数f'A．在区间−1,1上，fx是增函数 B．在区间−3,C．−2为fx的极小值点 D．2为6．函数y=fx在定义域−32,3内可导，图像如图所示，记y=fxA．−13,1C．−32,7．已知函数fx=lnA．（0，1） B．0,C．（0，e） D．（0，+∞）8．已知函数fx=lnx−ax−A．1+e B．1−e C．1−9．函数f(x)=2A．(−∞,0) B．(−1,1) C．(0,1) 10．已知函数fx=(x+a)lnx，下列命题：（1）当a<0时，函数y=f(xA．1 B．2 C．3 D．411．函数fxA．当a=1时，fx在B．当a=1时，fx在C．对任意a>0,f'xD．存在a<0,f'x12．下列命题为真命题的个数是（）A．ln3<3ln2

C．215<15 13．已知f(x)=a2−A．−2 B．−1 C．1 14．已知定义在区间(0,π)上的函数f(15．若函数fx=x2+ax+16．已知f(①函数y=f(x)②函数y=f(x)的单调递减区间为③函数y=f(x④若关于x的方程f(x)=a17．已知函数hx(1)当m=1时，求函数h(2)若hx⩾gx在18．已知函数fx(1)当a=0时，求f(2)当a>0时，讨论f19．已知函数fx=ax2(1)求a的值；(2)讨论fx(3)若λ>0，关于x的不等式λxfx≤e220．已知f'x是函数f(1)试讨论f'x(2)当x≥0时，fx≥高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题09导数与函数的单调性基础知识复习1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【知识拓展】1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．典型习题强化1．已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为f'x，若对任意A．f0<0 B．9f−3【答案】C【解析】令x=0，则2令g(x)当x>0时，由2∴2xf(x)又因为偶函数f(∴g(x)=x∴g(−3)∴g(2)>g(由题意，不妨假设f(x)=c>0故选：C.2．函数fxA．(−∞,ln2) C．(–∞,2) 【答案】B【解析】f'(由f'(x)所以f(x)故选：B3．若函数f(x)=1A．(−∞,−1] B．[−1,【答案】A【解析】解：∵f(x)∴f'(x)∴1−2sin令t=sinx，则t∈0,1，即−∴a≤−2t+1t，令gt∴gt在0,1上单调递减，∴a≤g1=−故选：A．4．已知函数fx=mx3+A．3 B．13 C．2 D．【答案】B【解析】函数fx=m令f'x<0∵m>0，fx的单调递减区间是∴0，4是方程3m∴0+4=∴m=故选：B.5．已知函数fx的导函数f'A．在区间−1,1上，fx是增函数 B．在区间−3,C．−2为fx的极小值点 D．2为【答案】D【解析】由导函数f'x在区间−1,0上为单调递减，在区间0,1上为单调递增，则选项A在区间−3,−2上，f'x>由图像可知f'−2=0，且−3,−2为单调递增区间，−由图像可知f'2=0，且1,2为单调递增区间，2,3为单调递减区间，则2为f故选：D.6．函数y=fx在定义域−32,3内可导，图像如图所示，记y=fxA．−13,1C．−32,【答案】C【解析】f'x≥0结合图像可得y=fx单调递增区间为则f'x≥故选：C．7．已知函数fx=lnA．（0，1） B．0,C．（0，e） D．（0，+∞）【答案】B【解析】解：由题意可得f'x当m≤0时，f'x>0恒成立，则f(x当m>0时，由f'x>0，得x>m，由f'x<所以函数的增区间为(m,+∞所以函数的最小值为f解得0<m<故选：B8．已知函数fx=lnx−ax−A．1+e B．1−e C．1−【答案】B【解析】解：由题意得：∵f'当a<0时，f'x=1x当a>0时，令f'x=1x−a=0，解得x=1a，当x∈0,1a时，f'x>令ba=k，则b=ak，所以−lna+若1−k≤0，即k≥1，则φ'若k<1，由φ'a=0，得a=11−k，此时φ故选：B9．函数f(x)=2A．(−∞,0) B．(−1,1) C．(0,1) 【答案】B【解析】函数f(x)当a≤0时，f'(x当a>0时，令f'(x当x∈a6,+∞时，∵函数f(x)的一个单调递增区间为1,+∞，故得：∴x在(−1,1)时，f'(故选：B．10．已知函数fx=(x+a)lnx，下列命题：（1）当a<0时，函数y=f(xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：因为fx=(x+a（1）当a<0时f'x=xlnx+x+ax，令Fx=xlnx+x+a，则F'x=lnx+2，令F'x=0，解得x=e−2，所以x∈0,e−2时F'x<0，即Fx在0,e−2（2）当a>0时fx=(x+a)lnx=0，所以x=1或x=−a（3）因为Fx=xlnx+x+a是由gx=xlnx+x上（下）平移a个单位，由（1）可知gx=xlnx+x的图象如下所示，由图可知，当0<a<e−2时，Fx（4）由（3）可知当−e−2+a>0，即a>e−2时，Fx故选：D11．函数fxA．当a=1时，fx在B．当a=1时，fx在C．对任意a>0,f'xD．存在a<0,f'x【答案】AD【解析】对于A，当a=1时，ff'0=1，故f对于B，当a=1时，f作出函数y=ex,可以看到y=ex,即f'x=ex+当x∈−π,x1时，f'x>0，fx递增，当x∈x1,故当a=1时，fx在对于C，f'x=e令f'x=e令F(x)令F'(x)故当x∈(π4+2当x∈(5π4+2所以当x=2kπ+即当x=−3π4,又sin(−3π4又因为在(−π,−3π4当x=2kπ+即当x=π4,又sinπ4eπ4当x∈−π,+∞所以当−1a<−22e3π当−1a=22eπ即存在a<0,f'x故选：AD12．下列命题为真命题的个数是（）A．ln3<3ln2

C．215<15 【答案】ACD【解析】设函数f(x)当0<x≤e2时，f'(x故f(x)=ln对于A，由3<4<e2即ln33对于B，e<π<e2，故f(e)<f(π)对于C，16>15>e2故ln2<ln1515对于D，8>e2，故f即3eln2<故选：ACD13．已知f(x)=a2−A．−2 B．−1 C．1 【答案】AD【解析】设y=x−1−ln所以y=x−1−lnx在所以lnx<x−1,x∈(1,∴1ln又f1lnx所以f(x)所以f'(x)=a令g(x)=xex−∴a2−1≥1所以a的值可以为−2，2故选：AD.14．已知定义在区间(0,π)上的函数f(【答案】0,π2【解析】对函数f(x)当x∈0,π2，f'(故答案为：0,π15．若函数fx=x2+ax+【答案】a≥−【解析】解：f'x要使函数fx=x2+ax+5e即x2+2+ax+5+a即a≥−x2而−=−1当且仅当1+x=41即a≥−4故答案为：a≥−16．已知f(①函数y=f(x)②函数y=f(x)的单调递减区间为③函数y=f(x④若关于x的方程f(x)=a【答案】①④【解析】由f(x)=0得：|x|=0由题意可知：f(当x≥0时，f(x当0≤x<1时，f'(x)>0，f则此时f(x)当x<0时，f(x)=−xe由此可作出y=f(观察图象可得函数y=f(x)的单调递减区间为(−∞,0)函数y=f(x)在x=1时有极大值，即函数若关于x的方程f(x)=a有三个不同的根，则实数a的取值范围是故答案为：①④．17．已知函数hx(1)当m=1时，求函数h(2)若hx⩾gx在【答案】(1)答案见解析(2)−∞【解析】(1)当m=1时设μx=h'μ'∴μx即h'x在−∞,当x∈−∞,而当x∈0,+∞,x∈0,故函数增区间为0,+∞，减区间为(2)m+1≤令f令p∴px在0,+∞递增，而∴∃x1∈1当x∈0,x1时，f'x<0,fx在∴f因为x12又∵y=xex,由（**）可得x∴f故m取值范围为−∞18．已知函数fx(1)当a=0时，求f(2)当a>0时，讨论f【答案】(1)单调增区间为0,π2(2)答案见解析【解析】(1)解：当a=0时，函数f可得f'x当x在区间0,π上变化时，f'x，f（x00,πππf'0+0-f（x）极小值1↗极大值π↘-1所以fx的单调增区间为0,π2；f(2)解：由题意，函数fx可得f'当a≥1时，a+cosx≥所以x∈[0,π]时，f'x≥又因为f0=1，所以f（x当0<a<1时，令f'x由−1<−a<0可知存在唯一的x所以当x∈[0,x0)时，当x∈x0,π时，因为f0=1，f①当12aπ2−1>②当12aπ2−1≤综上可得，当0<a≤2π2时，fx19．已知函数fx=ax2(1)求a的值；(2)讨论fx(3)若λ>0，关于x的不等式λxfx≤e2【答案】(1)1(2)fx在0,1上递增，在1,(3)[【解析】(1)解：因为函数fx所以fe=ae则f'e所以函在x=e处的切线方程为y−又因为切线过点2e,2e所以2e即2ae2(2)由（1）知；fx=x令gx=2当0<x<1时，g'x<0所以g即当0<x<1时，f'x>0所以fx在0,1上递增，在1,(3)因为x的不等式λxfx≤e所以e2λx−即feλx≥f因为fx在1,所以eλx≥x在区间即λ≥lnxx令hx=ln当0<x<e时，h'x>0所以当x=e时，hx