小学数学六年级下册百分数（二）核心知识清单

小学数学六年级下册百分数（二）核心知识清单一、百分数（二）的课程定位与核心素养目标【基础】本单元“百分数（二）”是小学数学数与代数领域的重要内容，是在学生已经学习了整数、小数、分数的基本运算，特别是六年级上册学习了百分数的意义和简单应用（如求一个数是另一个数的百分之几）的基础上进行的。本单元将百分数的学习推进到实际生活的具体应用中，重点解决与百分数相关的实际问题，如折扣、成数、税率、利率等。这不仅是数学知识的深化，更是数学应用能力的提升，为学生进入初中阶段学习方程、函数等更抽象的知识，以及处理更为复杂的百分比问题（如增长率、浓度问题等）奠定了坚实的思维基础和运算能力。从核心素养的角度来看，本单元着力于培养学生的数感、运算能力、应用意识以及模型意识。学生需要在理解百分数具体情境意义的基础上，建立“求一个数的百分之几是多少”、“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”以及“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”等基本数量关系的模型，并能灵活迁移到不同的生活场景中。二、百分数基础概念与互化（复习与延伸）【基础】百分数，也叫做百分率或百分比，它表示一个数是另一个数的百分之几。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“%”（百分号）来表示。例如，35%读作“百分之三十五”，它既可以表示一个具体的数量关系（如一个班男生人数占全班人数的35%），也可以表示一个比率或分率。本单元的所有应用题，核心都是围绕着对百分数意义的深刻理解展开的。（一）百分数与小数、分数的互化1.百分数与小数的互化：【重要】将百分数转化为小数，需要去掉百分号，同时将小数点向左移动两位（相当于除以100）。例如：80%=0.8，12.5%=0.125，200%=2.0。【重要】将小数转化为百分数，需要将小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号（相当于乘以100）。例如：0.65=65%，1.4=140%，0.003=0.3%。2.百分数与分数的互化：【重要】将百分数转化为分数，先把百分数改写成分母为100的分数，再进行约分，化成最简分数。例如：40%=40/100=2/5，37.5%=37.5/100=375/1000=3/8。特别地，当百分数是小数时，可以先转化为分母为1000等的分数，再化简。【重要】将分数转化为百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。也可以利用分数的基本性质，将分数通分成分母为100的分数，再直接改写成百分数。例如：7/8=0.875=87.5%；1/3≈0.333=33.3%。三、核心知识点一：折扣（一）折扣的意义与术语【核心概念】折扣是商品买卖中常见的促销方式。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如，“八折”表示按原价的80%出售，“七五折”表示按原价的75%出售。“打折扣”意味着在原价的基础上进行降价销售。【重要】明确三个关键量：原价（商品原来的标价）、折扣率（以百分数或十分数表示）、现价（打折后的实际售价）。三者关系是核心。（二）基本数量关系与公式【高频考点】现价=原价×折扣率【高频考点】原价=现价÷折扣率【高频考点】折扣率=现价÷原价注意：在公式中，折扣率通常用百分数或小数表示，计算时需统一形式。（三）常见题型与解题步骤1.求现价：题目示例：一件原价200元的衣服，打八五折出售，现价是多少元？解题步骤：识别原价200元，折扣率85%（或0.85）。根据公式“现价=原价×折扣”，列式：200×85%=200×0.85=170（元）。答：现价是170元。【易错点】直接写85而忘记转化为小数或百分数进行计算。2.求原价：题目示例：一个书包打七折后，售价是84元，这个书包的原价是多少元？解题步骤：识别现价84元，折扣率70%（或0.7）。根据公式“原价=现价÷折扣”，列式：84÷70%=84÷0.7=120（元）。答：原价是120元。【易错点】混淆除法和乘法，错误地使用乘法计算。3.求折扣率（打了几折）：题目示例：一个篮球原价120元，现价90元，这个篮球是打几折出售的？解题步骤：识别原价120元，现价90元。根据公式“折扣率=现价÷原价”，列式：90÷120=0.75=75%=七五折。答：这个篮球是打七五折出售的。【易错点】最后结果忘记转化为“几折”的表述，如将0.75直接写成七五折，或将75%说成七五折（正确），但不能说成七点五折（除特殊约定外，通常说七五折）。4.【难点】“折上折”或“满减”与折扣的综合问题：题目示例：商场促销，先打九折，在此基础上，会员再享受九五折。一件标价500元的大衣，李阿姨是会员，她需要付多少元？解题步骤：理解两次折扣的基数是变化的。第一次打折后价格为：500×90%=450（元）。第二次打折是在450元的基础上打九五折，所以最终价格为：450×95%=450×0.95=427.5（元）。也可以合并列式：500×90%×95%=427.5（元）。【难点】另一种题型是“满100减30”相当于打几折？需要先计算实际支付金额，再求折扣率。如买一件200元的衣服，“满100减30”即减60元，实际支付140元，折扣率为140/200=70%，即七折。但如果商品价格为230元，则只能减60元（满200减60），实际支付170元，折扣率为170/230≈73.9%，约七四折。需要引导学生理解这并非固定折扣，而是取决于商品价格与优惠门槛的关系。四、核心知识点二：成数（一）成数的意义与术语【核心概念】成数常用于表示农业收成、经济发展等的增减变化。几成就表示十分之几，也就是百分之几十。例如，“今年粮食产量比去年增加二成”，意思是增加了十分之二，即20%。“今年小麦收成是去年的九成五”，意思是今年的收成是去年的95%。【重要】成数既可以表示增加的部分，也可以表示实际达到的比率。需要根据具体语境理解。（二）基本数量关系与公式1.表示增加部分：增加部分=基础量×成数（百分数）今年的产量=去年的产量×(1+成数)2.表示实际达到的比率：今年的产量=去年的产量×成数（百分数）（三）常见题型与解题步骤1.求增加后的数量：题目示例：某乡去年水稻产量是3000吨，今年比去年增产二成五，今年水稻产量是多少吨？解题步骤：理解“增产二成五”即增产25%。所以今年产量是去年的(1+25%)=125%。列式：3000×(1+25%)=3000×1.25=3750（吨）。答：今年水稻产量是3750吨。2.求减少后的数量（或实际达到的数量）：题目示例：某工厂去年产值1000万元，今年因为市场原因，产值比去年减少一成，今年产值是多少万元？解题步骤：理解“减少一成”即减少10%。所以今年产值是去年的(110%)=90%。列式：1000×(110%)=1000×0.9=900（万元）。答：今年产值是900万元。3.逆向求基础量：题目示例：某市今年空气质量优良天数为292天，比去年增加了一成。去年空气质量优良天数是多少天？解题步骤：理解“比去年增加一成”即今年是去年的(1+10%)=110%。已知今年的具体数量，求去年的量，用除法。列式：292÷(1+10%)=292÷1.1≈265.45（天）。结合实际天数，答案应为265天或266天（需根据题意取整，通常取265天）。答：去年空气质量优良天数约是265天。【易错点】在逆向求解时，容易错误地使用乘法。需要明确单位“1”（即基础量）是未知的，用除法。4.求增减的成数：题目示例：某商场去年营业额为800万元，今年营业额为1000万元，今年比去年增加了几成？解题步骤：先求出增加的量：=200（万元）。再求出增加的量占去年（基础量）的百分比：200÷800=0.25=25%=二成五。答：今年比去年增加了二成五。五、核心知识点三：税率（一）税收的意义与术语【核心概念】税收是国家财政收入的主要来源。依法纳税是每个公民应尽的义务。主要的税种有消费税、增值税、个人所得税等。在小学数学中，我们主要研究的是“应纳税额”与“各种收入”之间的关系。【重要术语】应纳税额：指企业或个人根据国家税法的规定，应该缴纳的税款。各种收入：指销售额、营业额等，是计算应纳税额的基数。税率：应纳税额与各种收入（如销售额、营业额）的比率。税率=应纳税额/各种收入×100%。（二）基本数量关系与公式【高频考点】应纳税额=各种收入×税率【高频考点】各种收入=应纳税额÷税率【高频考点】税率=应纳税额÷各种收入（三）常见题型与解题步骤1.求应纳税额：题目示例：一家饭店10月份的营业额是50万元，如果按营业额的5%缴纳营业税，这家饭店10月份应缴纳营业税多少万元？解题步骤：识别各种收入（营业额）为50万元，税率为5%。根据公式“应纳税额=各种收入×税率”，列式：50×5%=50×0.05=2.5（万元）。答：应缴纳营业税2.5万元。2.求各种收入：题目示例：某超市上月缴纳了1.2万元的增值税，如果增值税的税率是3%，该超市上月的营业额是多少万元？解题步骤：识别应纳税额1.2万元，税率3%。根据公式“各种收入=应纳税额÷税率”，列式：1.2÷3%=1.2÷0.03=40（万元）。答：该超市上月的营业额是40万元。3.【热点】个人所得税问题：题目示例：根据我国个人所得税法，个人月工资收入超过5000元的部分需要缴纳个人所得税。超过部分不超过3000元的，税率为3%。李老师上个月的工资是7500元，他应缴纳个人所得税多少元？实际到手工资是多少元？解题步骤：（1）首先确定应纳税所得额（需要交税的部分）：=2500（元）。（2）判断2500元属于哪个级别（不超过3000元），适用税率3%。（3）计算应纳税额：2500×3%=2500×0.03=75（元）。（4）计算实际到手工资：=7425（元）。答：他应缴纳个人所得税75元，实际到手工资是7425元。【难点】理解“超过部分”分段计税，即所谓的“起征点”或“免征额”概念。题目可能会给出更复杂的分级税率，需要学生仔细审题，分段计算。六、核心知识点四：利率（一）储蓄的意义与术语【核心概念】储蓄是指个人或团体将暂时不用的钱存入银行或其他金融机构的行为。储蓄不仅能支援国家建设，也能使个人钱财更安全，并获得一定的利息。【重要术语】本金：存入银行的钱。利息：取款时银行多支付的钱。利率：利息与本金的比率。利率通常由银行规定，有年利率、月利率之分。年利率表示一年利息占本金的百分之几。例如，年利率2.25%表示存一年，利息是本金的2.25%。存期：存款的时间长短，如三个月、半年、一年、二年、三年等。（二）基本数量关系与公式【高频考点】利息=本金×利率×存期【重要】本息和（取回的总钱数）=本金+利息=本金+本金×利率×存期=本金×(1+利率×存期)注意：利率和存期的时间单位必须一致。如果利率是年利率，存期应以年为单位；如果利率是月利率，存期应以月为单位。（三）常见题型与解题步骤1.求利息：题目示例：小红把1000元压岁钱存入银行，定期两年，年利率是2.25%。到期后，她可以获得利息多少元？解题步骤：识别本金1000元，年利率2.25%，存期2年。根据公式“利息=本金×利率×存期”，列式：1000×2.25%×2=1000×0.0225×2=45（元）。答：她可以获得利息45元。【易错点】忘记乘以存期，只计算了一年的利息。2.求本息和：题目示例：李叔叔把5万元存入银行，定期三年，年利率是2.75%。到期时，李叔叔一共能取回多少钱？解题步骤：方法一：先求利息，再加本金。利息：50000×2.75%×3=50000×0.0275×3=4125（元）。本息和：50000+4125=54125（元）。方法二：直接使用公式。50000×(1+2.75%×3)=50000×(1+0.0825)=50000×1.0825=54125（元）。答：到期时，李叔叔一共能取回54125元。3.求本金或利率（逆向思维）：题目示例：王阿姨把一笔钱存入银行，定期一年，年利率是1.75%，到期后她获得利息350元。王阿姨存入的本金是多少元？解题步骤：根据公式“利息=本金×利率×存期”，本金=利息÷利率÷存期。列式：350÷1.75%÷1=350÷0.0175=20000（元）。答：王阿姨存入的本金是20000元。【难点】另一种逆向题型：已知本息和、本金、存期，求利率。如：小明存入银行2000元，定期两年，到期后共取回2090元，求年利率。解题思路：先求利息（=90元），再根据公式求年利率：利息÷本金÷存期=90÷2000÷2=0.045÷2？正确列式应为90÷2÷2000=45÷2000=0.0225=2.25%。或者90÷(2000×2)=90÷4000=0.0225。关键是要理解公式的变形。七、综合提升与解题模型构建（一）核心数量关系的统一性【模型意识】无论是折扣、成数、税率还是利率问题，其背后的数学模型都是相通的，都可以归结为“求一个数的百分之几是多少”以及“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”这两种基本类型。我们将这四种应用归纳如下：|实际情境|基础量(单位“1”)|对应百分率|目标量|基本关系式||:|:|:|:|:||折扣|原价|折扣率|现价|现价=原价×折扣率||成数(增/减)|基础量(去年)|1±成数|现量(今年)|今年=去年×(1±成数)||税率|各种收入|税率|应纳税额|税额=收入×税率||利率|本金|年利率×存期|利息|利息=本金×利率×存期|当目标量已知，求基础量时，都用除法：基础量=目标量÷对应百分率。当求百分率时，都用除法：对应百分率=目标量÷基础量。（二）【高频考点】“比一个数多（或少）百分之几”的问题这是本单元乃至整个小学阶段百分数问题的难点和重点。它贯穿于折扣、成数等各种情境中。基本模型：求A比B多百分之几？解题公式为：(AB)÷B。求A比B少百分之几？解题公式为：(BA)÷B。【★重要】关键点：找准单位“1”（标准量）。比“谁”多或少，“谁”就是单位“1”，做除数。题目示例：某品牌手机原价2500元，降价后售价为2000元，降价了百分之几？解题步骤：降价了，即现价比原价少。单位“1”是原价2500元。降价金额：=500（元）。降价百分比：500÷2500=0.2=20%。也可以直接用公式：(原价现价)÷原价。答：降价了20%。（三）【难点】单位“1”变化的连续问题这类问题通常涉及两个或多个连续的百分数变化，且每一步的单位“1”都不同。解决此类问题的关键在于依次确定每一步的单位“1”，并逐步计算。题目示例：一种商品，先提价20%，再降价20%，最后的价格与原价相比，是高了、低了还是不变？解题步骤：假设原价为“1”（或一个具体的数，如100元）。第一步，提价20%后，价格变为：1×(1+20%)=1.2。第二步，降价20%，是在1.2的基础上降价，所以现价为：1.2×(120%)=1.2×0.8=0.96。比较：0.96<1，所以最后的价格比原价低了。答：最后的价格比原价低了。【★重要】这个经典例子说明，在单位“1”不同的情况下，连续的百分数变化不能简单地用加减法（+20%20%=0）来计算。提价和降价的基数不同，导致最终结果低于原价。（四）【难点】列方程解决稍复杂的百分数问题当题目中的数量关系较为复杂，尤其是涉及两个未知量，或者逆向思考难以直接列式时，列方程是强有力的工具。题目示例：书店运来一批故事书，第一天卖出总数的35%，第二天卖出总数的45%，还剩下120本没有卖。这批故事书一共有多少本？解题步骤：（1）设总数为x本。（2）找出等量关系：总数第一天卖出的第二天卖出的=剩下的。或者第一天卖出的+第二天卖出的+剩下的=总数。（3）根据等量关系列方程：x35%x45%x=120，或(35%x+45%x)+120=x。（4）解方程：合并同类项，20%x=120，x=120÷0.2=600。答：这批故事书一共有600本。【易错点】找不准等量关系，或者将百分数相加或相减时出错。此例中，如果错误地认为剩下的占1(35%+45%)=20%，直接用120÷20%也可以得到答案，这也是算术法。但方程法在更复杂的问题中优势明显。八、考点、考向与解题策略总结（一）【高频考点】直接应用公式计算这是最基础的考向，主要考查学生对折扣、成数、税率、利率四个基本概念的理解和对应公式的记忆与简单应用。题目通常直接给出其中两个量，求第三个量。例如，已知原价和折扣求现价；已知营业额和税率求税额等。（二）【高频考点】“多/少百分之几”的百分数应用题这类题目是本单元计算题的灵魂，几乎在所有涉及百分数的实际问题中都会出现。它既可以单独出题，也可以与折扣、成数结合。例如：“某商品降价二成，也就是降价了百分之几？”或者“一件衣服打八折后，比原价便宜了百分之几？”（三）【热点】与生活实际紧密联系的综合题随着课程改革的深入，数学试题越来越注重情境化。题目会创设贴近生活的场景，如：购物促销（满减、折上折、买几送几与折扣的换算）。银行储蓄（不同存期的利率比较，计算哪种方式更划算）。纳税问题（结合个人所得税起征点与分级税率，计算应缴税额）。经济问题（商场进价与售价，利润率等，但小学阶段不涉及太复杂的利润率概念，通常作为拓展）。（四）【难点】需要逆向思考或多步计算的题目这类题目需要学生具备较强的分析能力和逻辑思维能力。比如已知税后工资求税前工资，或者已知降价后的价格和降价成数求原价，以及前面提到的单位“1”变化的连续问题。（五）解题步骤与策略（三步法）1.【审题定“1”】：认真读题，理解题意，圈出关键数据，明确题目中涉及的是哪种情境（折扣、成数、税率、利率），并找准单位“1”的量（基础量）。这是最关键的一步。2.【建模式列式】：根据情境和问题，建立相应的数学模型（是直接用乘法求对应量