期末复习补充资料-九年级四边形压轴题教师版

四边形压轴题

参考答案与试fg解析

一.选择题（共10小题）

1.如图，正方形A5CO内一点E,满足△CDE为正三角形，直线AE交8c于/点，过七

点的直线G，_LAE交人B于点G,交CQ于点从以下结论：

①NAFC=105°:②GH=2EF；③V5CE=EF+EH：④妪上

其中正确的有（

At-----------------

BF

A.①②③B.®@®C.0@D.③④

【解答】解：•••△co?为正二角形，

：.ZCDE=60°,

AZ4DE=90°-60°=30°,

•:AD=DE=CD,

：.ZDAE=ZDEA=^.(180°-30°)=75°,

2

AZ/MF=900-75°=15°,

/.ZAFC=90°+15°=105°,故①正确；

过点〃作〃K_L4t则”K=A。，

•/GH工AF,

•••NBA尸+NAGE=90°,

又：NAGE+NKHG=9U°,

：./BAF=/KHG,

在△AB/；和△“KG中，

2BAF=NKHG

<NB=NHKG=90°，

HK=AB

:,△ABF//\HKG(AAS),

：.AF=GH,

•••△CQE为正三角形，

，点上在CD的垂直平分线上，

根据平行线分线段成比例定理，点E是A尸的中点,

：,AF=2EF,

:・GH=2EF,故②正确；

VG//1AF,ZDEA=15°,

.*.ZDEH=90°-75°=15°,

・・・NCE”=60°-15°=45°,

AZCEF=90°-45°=45°,

过点尸作FMJ_CE于M,过点H作HN上CE于N,

则NH=EN,

•••△COE是等边三角形，

/.ZDCE=60°,

・'.NEC产=90°-60°=30°,

：・CM=^[^1F,NH=\J~^CN,

，CE=43MF+MF=^J3CN+CN,

：.MF=CN,

.・.CE=y^EF+^-lEH.

22

：・JjCE=EF+EH,故③正确;

AEEF_/2MF_V3

===故④错误.

EHEH夷CN•五亍

综上所述，正确的结论是①②③.

2.已知：如图，在正方形ABCO外取一点£,连接BE,DE.过点A作4£的垂线交

DE于点、P.若AE=AP=I,PB=«,下列结论：

①△APO0A4E&

②点B到直线AE的距离为近;

③EBLED；

④SA4尸D+S,MP8=2+亚.

2

其中正确结论的序号是（）

C.②③④D.®@®

【解答】解：在正方形A8C。中，AB=AD,

'：APLAE,

・・・NBAE+NB”=90°,

又「NOAP+N8Ap=NBAO=9(T,

:.NBAE=NDAP,

在△APO和AAEB中，

fAE=AP

NBAE=NDAP，

IAB=AD

A^APD^^AEB（SAS）,故①正确；

'：AE=AP,APLAE,

•••△A"是等腰直角三角形，

.•・NAEP=N”E=45>,

/.ZAEB=ZAPD=180°-45°=135°,

AZBEP=1350-45°=90°,

：,EBLED,故③正确；

'：AE=AP=i,

:・PE=J^\E=瓜

22=

在Rt△尸BE中,BE=7PB-PE7（V6）2-（V2）2=2,

：・SMPD+SMPB=SAAPE+S&BPE,

=AxiX1+AXV2X2，

22

=O.5-H/2»故④正确；

过点B作BFA.AE交AE的延长线于F,

•••/BE尸=180°-135°=45°,

•••△3E厂是等腰直角三角形，

.・.8尸=返乂2=血

2

即点B到直线AE的距离为沈，故②错误，

综上所述，正确的结论有①③④.

故选：A.

3.在正方形48C。中，AB=2,E是8c的中点，在8c延长线上取点尸使EF=E。，过点

F作FG上ED交ED于点M,交AB于点G,交CQ于点M以下结论中：①tanNG网

=-i；②NM=NC；③④S四边形G8EM=.正确的个数是（）

D.1个

【解答】解：•・•四边形48CQ是正方形，

：,AB=BC=CD=AD,

•・・AB=2,点E是边的中点,

；・CE=1,

/DNM=4FCN,

■:FG人DE,

，NOMN=90°,

工NDMN=NNCF=90°,NGFB=/EDC,

tanZGFB=tanZEDC=-52=-1,①正确；

CD2

②•：NDMN=4NCF=90。,4MND=4FNC,

・•・/MDN=ZCFN

•：NECD=NEMF,EF=ED,NMDN=NCFN

:.△DECm4FEM(/US)

：.EM=EC,

:,DM=FC,

ZMDN=ZCFN,ZMND=ZFNC,DM=FC,

；・4DMNX4FCN(AA5),

:.MN=NC,故②正确；

③•：BE=EC,ME=EC,

:,BE=ME,

在和RtZXGME中，BE=ME,GE=GE,

ARtAGBE^RtAGMF(HL),

:.NBEG=NMEG,

.；ME=EC,/EMC=NECM,

•・•ZEMC+ZECM=/BEG+/MEG,

：.NGEB=NMCE,

J.MC//GE,

・

••--C-M-=--C--F,

EGEF

:EF=DE=正洛不二爬,

CF=EF-EC=V5-।*

・CM_CF_<5-l_5-V5

故③错误;

EGEFA/55

④由上述可知：BE=EC=\,CF=V5-

・,.8尸=加+1,

VtanF=tanZEDC=-5L」，

BF2

・・・G4=」"=立+1,故④正确，

22

故选：B.

4.如图，△48C是边长为1的等边三角形，。、七为线段4C上两动点，且NO8E=3()°,

过点。、E分别作49、5C的平行戏相交于点凡分别交8。、于点〃、G.现有以下

结论：①S"8C=雪；②当点D与点。重合时，③AE+CO=%DE；④当AE

=CO时，四边形8HFG为菱形，其中正确结论为()

A.①②③B.®®®C.①©③④D.②®©

【解答】解：①过点A作AP_L8C于点P,如图1：

••.△ABC是边长为I的等边三角形，APLBC,

：.BP=^BC=—.

22

**MP=VAB2-BP2=^

乙

BC

:，SAABc4XAP=yX1X噂等.故①正确；

乙乙乙士

②当点。与点。重合时，H,D,。三点重合，如图2：

E

G

BC8，D)

图2

•；NDBE=30°,NABC=60°,

・•・BE是/ABC的平分线，

，IB=8C,

：,AE=EC=^AC=^

22

•・•CF"AB,

・•・/尸C4=NA=60",

•・•Gr//BC,

：,ZFEC=ZACB=60a,

:・NFCE=NFEC=6()°,

/.ZFCE=ZFEC=ZF=60°,

・•・△KFC为等边三角形，

：,FC=EC=1,

2

即尸”=」.故②正确；

2

③如图3,将△C8O绕点B逆时针旋转60°,得到△A/M连接NE,过点N作NPA.AC,

交CA的延长线于P,

图3

:・BD=BN,CD=AN,ZBAN=ZC=6(r,NCBD=NABN,

VZD5E=30°,

・•・ZCBD+ZABE=30°=NABE+NABN=ZEBN,

・・・NEBN=NOBE=30°,

又,：BD=BN,BE=BE,

:.ADBE与ANBE(SAS'),

:・DE=NE,

•••/N"=1800-N/MC-/NA8=60°,

CD,

•:NA+PWMN烂,

.・.3必+（AE+ACD）2=DE2,

42

A4£2+CD2+/lE*CD=DE2,故③错误；

•••△ABC是等边三角形，

/.ZA=ZABC=ZC=60°,

YGF//BH,BG〃HF,

・•・四边形BHFG是平行四边形，

，：GF〃BH,BG//HF,

AZAGE=ZABC=60°,NO"C=N4BC=60°,

:.MAGE,△OC”都是等边三角形，

：.AG=AEfCH=CD,

\'AE=CDf

：,AG=CH,

.•・DH=BG,

・・・口班〃灯是菱形，故④正确，

故选：B.

5.如图，在平面直角坐标系中，矩形。4BC的QA边在x轴的正半轴上，。。边在），轴的正

半轴上，点B的坐标为（4,2）,反比例函数y=25>0）的图象与BC交于点O,与

x

对角线。8交于点E,与A3交于点P,连接OQ,DE,EF,0P.下列结论：

①sinNOOC=cosNBOC；②OE=BE；@SADOE=S^EF；®ODtDF=2：3.

其中正确的结论有（）

【解答】解：①矩形048c中，

（4,2）,

：,0A=4,0C=2,

由勾股定理得：08=亚耳彳=2%,

当y=2时，2=2,

***A-=19

:.D(1,2),

：.CD=\,

由勾股定理得：0口=如2+心=泥.

:.sinZDOC=型=4=逅，

ODV55

cosZBOC=—^==2ZE,

2娓5

sinZDOC=cosZBOC,

故①正确；

②设OB的解析式为：y=6(MO),

把(4,2)代入得：44=2,

2

.,.y=JLr,

2

当工=2时，x=±2,

2x

：,E(2,1),

•••E是OB的中点，

：.OE=BE,

故②正确；

③当x=4时，＞=工，

2

：.F(4,A),

2

.\BF=2-A=X

22

x

：，SABEF=­X—(4-2)=—,

222

--

SADOE=AX2X4-^XIX2-7-X3X1

222

,3

----II

2

：・S&DOE=SABEF,

故③正确；

叱寸2+(1•产呼,

④由勾股定理得:

•：OD=道,

.oD__y§_

・・丽一酝

2

即OD：DF=2：3.

故④正确；

其中正确的结论有①©③©,共4个.

故选:A.

6.如图，在正方形A8CD中，A8=4,E为对角线AC二与A,。不重合的一个动点，过点

E作EFLAB于点F,EGLBC于点G,连接。E,FG,下列结论：®DE=FG；②DE_L

FG；@ZBFG=ZADE；④尸G的最小值为3.其中正确结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①连接4E,交FG于点、0,如图，

VEFlAfi,EG±BC,

；・/EFB=NEGB=90”.

VZABC=90°,

.••四边形EFBG为矩形.

：・FG=BE,OB=OF=OE=OG.

•••四边形A8C。为正方形，

：.AB=AD,NBAC=NOAC=45°.

在△A6E和△4。£中，

(AE=AE

ZBAC=ZDAC»

IAB=AD

(SAS).

:,BE=DE.

:,DE=FG.

，①正确：

②延长。E,交尸G于交尸B于点H,V^ABE^/XADE,

：,ZABE=ZADE.

由①知：OB=OF,

：./OFB=/ABE.

ZOFB=ZADE.

ZBAD=90°,

：.ZADE+ZAHD=90''.

：.ZOFB+ZAHD=90°.

BP：ZFMH=90°,

：.DE±FG.

・••②正确；

③由②知：NOFB=NADE.

即：ZBFG=ZADE.

•••③正确：

④•・•点E为AC上一动点，

，根据垂线段最短，当。E_LAC时，最小.

*：AD=CD=4fNAOC=90°,

=22

•••ACVADCD=啦

・・.OE=2AC=2点.

2

由①知；FG=DE,

的最小值为2五，

，④错误.

综上，正确的结论为：①@③.

故选：C.

7.如图，在正方形4BCZ）中，对角线AC与8。相交于点。，点E在8C的延长线上，连

接点F是。£的中点，连接OF交CD于点G,连接CF,若CE=4,0F=6.则下

列结论：①G尸=2；②。。=班。6；③tanNCOE=』；@ZODF=ZOCF=90°；⑤点

2

。到C尸的距离为逃.其中正确的结论是（）

【解答】解：:正方形A8CO中，对角线AC与8。相交于点0,

・・・0是4。中点，

•・•点尸是DE的中点,

，。尸是的中位线，

：.0F//BE,OF=1BE,

2

VCE=4,0F=6,

AGF=ACE=2,故①正确；

2

BE=2OF=\2,

•・•正方形4BCO中，

是等腰直角三角形，

而OF//BE,

•••△DOG是等腰直.角三角形，

・・・OD=G,故②正确；

\'BC=BE-CE=8,正方形ABCD,

・・・QC=8,ZDCE=9()0,

RlZXDCE中，

tanZCDE=—=A=故③正确，

DC82

*/F是RtADCE斜边OE的中点，

:.CF=DF=1DE,

2

：.ZCDF=ZFDC^50，

V^ACD=^BDC=45°,

：,ZACD+ZDCF=ZBDC+ZFDC^90a,故④不正确；

RtZXOCE中，Z9E=^DC2_^E2=475,

:・CF=&E=2逃,

2

*/△CDE的面积为工CE・DC=AX4X8=16,“是RtADCE斜边OE的中点，

22

•••△OCT7面积为8,

设点D到CF的距离为x,则工・Cr=8,

2

.•・_l・xX2加=8,解得1=a(5,

25

・••点。到CF的距离为包5,故⑤正确；

5

，正确的有①②③⑤，

故选：C.

8.如图，在矩形A8CO中，对角线AC,8Q相交于点。，AB=6,ND4C=60°,点尸在

线段A0上从点A至点0运动，连接DF,以。尸为边作等边三角形。FE,点E和点A

分别位于。/两侧，下列结论：①/BDE=/EFC；②ED=EC；®ZADF=ZECF；④

点E运动的路程是2代，其中正确结论的序号为()

B

A.①④B.®®®C.②©④D.①@③④

【解答】解：①〈ND4c=60°,OD=OA,

•••△04。为等边三角形，

/.ZDOA=ZDAO=ZODA=60°,AD=OD,

•:ADFE为等边三角形,

；・NEDF=NEFD=NDEF=60°,DF=DE,

VZBDE+ZFDO=ZADF+ZFDO=GO°,

:,NBDE=ZADF,

VZADF+ZAFD+ZD.4F=180°,

AZADF+ZAFD=\^-ZDAF=\20°,

•••NE尸C+NAFD+/£>FE=180°,

：.ZEFC+ZAFD=\SO°-ZDFE=\20°,

：.NADF=NEFC,

・••/BDE=/EFC,

故结论①正确；

②如图，连接OE,

在尸和△QOE中，

rAD=0D

,NADF=/0DE，

DF=DE

：.ADAF丝ADOEGAS),

，NQ0E=NQA尸=60°,

VZCOD=1800-ZAOD=120°,

/.ZCOE=ZCOD-ZDOE=120°-60°=60°,

:"COE=/DOE,

在△OOE和△OCE中，

OD=OC

<ZDOE=ZCOE>

OE=OE

•••△ODE之△OCE(SAS),

:・ED=EC,NOCE=NODE,

故结论②正确；

③•：NODE=NADF,

ZADF=/OCE,即NECF,

故结论③正确：

④如图，延长。石至E,使OE'=0。，连接。E',

•••△QA尸丝△QOE,ZDOE=60°,

・••点厂在线段40上从点A至点。运动时，点E从点。沿线段0七,运动到庾，

VOE'=OQ=4O=AB・tanNA63=6・tan300=2代，

•••点E运动的路程是2英，

故结论④正确；

故选：D.

9.如图，在平行四边形人BCD中，E是的中点，则下列四个结论:

①AM=CN；

②若MZ）=AM,NA=90°,则BM=CM；

③若MD=2AM,贝ISzjwvcnSziBNE;

④若AB=MN,则△MEN与△OFC全等.

其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①•・•四选形A8C。是平行四边形，

:.AD〃BC,AD=BC,

：.NADB=NCBD,

•・,£是5。的中点，

/.BE=DE,

在△MQ£和△N3E中，

[ZMDB=ZNBD

DE二BE，

|ZDEM=ZBEN

：.AMDEmANBE(ASA),

:.DM=BN,

：.AM=CN,

故①正确；

②若NA=9()°,

则平行四边形ABC。为矩形，

AZADC=ZA=9()°；

在△BAM和△CDM中，

'AB=DC

<ZA=ZADC»

AM=DM

；・△BAM且△COM(SAS),

故②正确；

③过点M作MG_L8C,交8C于G,过点£作交BC于H,

由①易得四边形M8N0是平行四边形，E为BD中点,

:,MG=2EH,

又・：MD=2AM,BN=MD,AM=NC,

/.SAMNC=LNC・MG=1•里BN・2EH=LBN・EH=S/.BNE，

2222

故③正确；

@'：AB=MN,AB=DC,

:.MN=DC,

义•：BC,

・•・四边形MNCO是等腰梯形或平行四边形，

如果四边形MNCD是等腰梯形，

・•・4MNC=4DCN,

在△MNC和中，

<MN=DC

,ZMNC=ZDCN>

NC=CN

:△MNCWXDCN(SAS),

/.NNMC=/COM

在△MEN和△OFC中：

rZMFN=ZDFC

,NNMC=NCDM

MN二DC

:.l\MFNeXDFC(A4S),

如果是平行四边形，由平行四边形的性质可以得到

故④正确.

・•・正确的个数是4个，

故选：D.

10.如图，在正方形A8CD中，点M是4B上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时

针旋转90°得到石人连接DE,QE给出结论：®DE=EFx②NCDF=45°；③幽=Z•:

DF5

④若正方形的边长为2,则点M在射线A8上运动时，C/有最小值亚.其中结论正确

的是()

AD

A.①②③B.®®®C.①®④D.②®④

【解答】解：如图，延长4E交DC的延长线于点

♦・•点E是CM的中点，

:.ME=EC,

'/ABZ/CD,

:・/MAE=/H,ZAME=ZHCE,

:.XMAaXHCECAAS),

:・AE=EH,

又•・•乙4。〃=90",

/.DE=AE=EH,

*：AE绕点E顺时针旋转90°得到EF,

：,AE=EF,N4EF=9D°,

：,AE=DE=EF,故①正确；

a：AE=DE=EF,

：.ZDAE=ZADE,/EDF=/EFD,

VZAEF+ZDAE+ZADE+ZEDF+ZEFD=360<>,

：.2ZADE+2ZEDF=270°,

AZADF=\35°,

AZCDF=ZADF-ZADC=\35Q-90°=45°,故②正确：

如图，连接AC，过点E作EP_LAD于点凡过点F作FNLEP于N,交C。于G,连接

CF,

*：EPLAD,FN上EP,ZADC=90°,

・•・四边形POGN是矩形，

:,PN=DG,NDGN=90°,

VZCDF=45°,

・•・点尸在。户上运动，

・••当。尸_1_。/时，C尸有最小值,

,:CD=2,ZCDF=45°,

•♦・C尸的最小值=岩S故④正确;

•：EP±AD,AM_LA。，CD±AD,

:.AM"PE"8、

.APME.

PDEC

：,AP=PD,

JPE是梯形AMCD的中位线,

APE=A(A/W+CD),

2

VZFDC=45°,FN1CD,

/DFG=NFDC=45°,

:,DG=GF,DF=y[jpG,

〈NAEP+NFEN=9U°,N4EP+NE4P=90°,

：./FEN=/EAP,

又；AE=EF,NAPE=NENF=90°,

A^APE^/XENF(A4S),

：.AP=NE=^AD,

2

VPE=A(AM+CD)=NE+NP=LAD+NP,

22

:.1AM=NP=DG,

2

・•・AM=2DG=2X理=加。凡

V2

:•辿3,故③错误；

DF»

故选：B.

二.解答题（共18小题）

11.如图甲，在△A8C中，NAC8为锐角，点。为射线4c上一动点，连接AO,以力。为

一边且在4。的右侧作正方形AOEE解答下列问题：

(1)如果A8=AC,ZBAC=90°,

①当点。在线段8C上时•(与点B不重合)，如图乙，线段CF、BQ之间的位置关系为更

直，数量关系为杜等.

②当点在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

(2)如果A8W4C,/B4CW90。点。在线段BC上运动.试探究：当△A8C满足一个

什么条件时，C〃_L3C(点C、产重合除外)？并说明理由.

【解答】解：（1）①CFJ_8。，CF=BD…（2分）

故答案为；垂直、相等.

②成立，理由如下：…（3分）

*：ZFAD=ZBAC=W

•••N84O=NCA尸

在△B4O与△CA厂中，

'BA=CA

ZBAD=ZCAF

AD=AF

•••△84。丝△CAF（SAS）（5分）

/.CF=BD,Z：ACF=Z：ACB=45°,

，N8C尸=90°

:・CF工BD-（7分）

（2）当24cB=45°时可得C尸_L8C,理由如下：…（8分）

过点A作AC的垂线与C8所在直线交于G…（9分）

则•・•ZACB=45°

：.AG=AC,ZAGC=Z4CG=45°

,：AG=AC,AD=AF,

ZGAD=ZGAC-ZDAC=90°-NO八C,ZMC=ZMD-ZDAC=900-ADAC,

：,ZGAD=ZFAC,

/.△GAD^ACAF（SAS）…（10分）

工NACF=ZAGD=45°

/.ZGCF=ZGCA+ZACF=90°

：,CF1BC…（12分）

A

GB»

XL

12.在口ABCQ中，ZBAD=a,OE平分/AOC,交对角线AC于点G,交射线A8于点E,

将线段EB绕点、七顺时针旋转工得线段EP.

2

(I)如图I,当a=120。时，连接AP,请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；

(2)如图2,当(x=9G°时，过点B作BFJLEP于点F,连接4兄请写出戏段人兄AB,

A。之间的数量关系，并说明理由；

(3)当a=120°时，连接AP,若8E=2工B,请直接写出△/1/招与△COG面积的比值.

2

【解答】解：(1)方法一：如图1，连接尸8,PC,

:四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,AB"CD,AD=BC,

Va=120°,即N84O=120°,

AZ5=Z/\DC=603,

AZBEP=60a=ZB,

由旋转知：EP=EB,

•••△BPE是等边三角形，

:.BP=EP,NEBP=NBPE=6()0,

，NCB尸=N4BC+NEBP=120°,

VZAEP=180°-Z££P=120°,

・•・NAEP=NCBP,

TOE平分NAOC,

・・・/AOE=NCOE=30°,

・•・ZAED=NCOE=3Q°=/ADE,

：.AD=AE,

：.AE=BC,

:.△APE@4CPB(SAS),

：.AP=CP,NAPE=NCPB,

・•・ZAPE+ZCPE=ZCPB+ZCPE,

即N4PC=NBPE=60’,

•••△APC是等边三角形，

：.AP=ACx

方法二：如图1,延长PE交CD于点Q,连接AQ,

•・•四边形48C。是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,

Va=120°,即N84D=120°,

・・.NB=NAOC=60°,

；・/BEP=60°=ZB,

：.PE//BC//AD,

J.四边形4DQE和四边形BCQE是平行四边形，

•・M平分NAQC,

/.ZADE=ZCDE=3(J°,

/.ZAED=ZCDE=3Qa=ZADE,

：,AD=AE,

・•・四边形4QQE是菱形，

・・・NE4Q=NAEQ=60°,

•••△4EQ是等边三角形，

：.AE=AQtNAQE=60",

•・•四边形BCQE是平行四边形，

:・PE=BE=CQ,N8=NCQE=60°,

VZAEP=120°,ZAQC=ZAQE+ZCQE=\20°,

/./AEP=ZAQC,

A/\AEP^/\AQC(SAS),

：,AP=AC；

(2)AB2+AD1=2AF2,

理由：如图2,连接CF,

在必8CO中，N8AO=90°,

ZADC=ZABC=Z：BAD=9Q°,AD=BC,

TOE平分NAOC,

AZADE=ZCDE=45Q,

/.ZAED=ZADE=45°,

：.AD=AE,

：.AE=BC,

■:BFLEP,

：.ZBFE=90°,

<,

VZBEF=Ac(=Azfi/\D=Ax90=45°,

222

/.ZEBF=ZBEF=45°,

:.BF=EF,

V^FBC=ZFBE+ZABC=450+90°=135°,

ZAEF=180a-ZFEB=\35°,

:・NCBF=NAEF,

:.XBCF9XEAF(SAS),

:.CF=AF,NCFB=NAFE,

・•・ZAFC=ZAFE+ZCFE=ZCFB+ZCFE=ZBFE=90°,

/.ZACF=ZCAF=450，

VsinZACF=-^,

AC

AFAFAF

：.AC=血AF,

sin/ACFsin450爽

~2~

在R1△人8C中，AB2+BC2=AC1,

：.AB2+AD2=2AF2：

（3）方法一：由（1）知，BC=AD=AE=AB-BE,

V«E=Xw,AI3=CD,

2

：.AB=CD=2BE,

设BE=a,MPE=AD=AE=cbAB=CD=2a,

①当点E在A8上时，如图3,过点G作GM_L4。于点M,作GN_LC。于点M

过点C作CK_LAO于点K,过点A作AHLPE的延长线于点H,

当a=120°时，NB=NAOC=60°,

•.•OE平分NA。。，GMYAD,GNLCD,

:・GM=GN,

":SMCD=LtD*CK=^ci♦2a•sin60°=

222

C4CD・GN

bACDG_2CD2a

而一丁一2,

SAADGyAD*GM

乙

••S&CDG^^2s八ADG,

:.S^CDG=—S^ACD=上给

33

由（1）知PE〃BC,

.•・N4EH=NB=60°,

VZ//=90°,

••・4”=AE・sin60。=&/,

2

・'・SAAPE=A〃=L/•=义^J,

2224

V32

S4a

AAPE_-,3

2

^△CDG2^,a4

3a

②如图4,当点E在AB延长线上时，

返

由①同理可得：SACDG=2ssCO=2X」X2〃X

5:522

SMPE=AE=AX返WX3a=/2,

2224

3732

・S^APE5

2

^△CDGa4

54

综上所述，△APE与ACQG面积的比值为之或

44

方法二：如图3,•・,四边形A8C。是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

：.AAEGsMDG,

.SAAEG(AE)2,EGAE

S^ACDGCDDGCD

①当点E在人8上时，

\*BE=1AB,

2

・・・AE=8E=LB=AC。，

22

S

.AAEG(AE)2”，

^ACDGCD4

又••EG—AE—1

,~DG~CD~T

.•里=2，即四=3,

ED3EG

・SAAED^EP_g

••豆嬴EG一

当a=120°时，N8=NAOC=60°,

"E平分N/WC,

AZADE=30°,

AZAED=1800-ZBAD-ZADE=30°=NADE,

**•AE=ADr

*：EP=EB=AE,EP//AD,

：.EP=AD=AE,ZAEP=ZDAE=]20°,

:.△AEDQXEAP(SAS),

•\S^AED=S^EAP^

SS

AAAPEAAPE.SaAEGS2kAED.「^AEG=3X_1=_3

^△CDG^AAEG^ACDG^AAEG^ACDG44

②如图4,当点£在AB延长线上时，

•・・BE=LB,

2

：,AE=^AB=^CD,

22

由①知，AD=AE=1.CD,

2

VEP=BE=A,4E=X1D,EP//AD,

33

.SAAPEEP,1

^△ADE皿3

••EG=AE=3

*,■.一■■，

DGCD2

・

•.ED,_—5,

EG3

.SAADEED=5

,△AEGEG3

・•S^AEGh(AE)2=(_3)2=旦

^ACDGCD24

.・.S^APES^APE.SAADE.S^AEG=1x_5x_9=_5

^△CDGS△仙E2AAEG^ACDG3344

B

图3

图1

13.如图1,在平面直角坐标系中，四边形AO8C为矩形，点A的坐标为(0,3),点8的

坐标为(4,0),点E、〃分别是边、4c边上的动点，均不与端点重合，连接

把△(?£尸沿着动直线E广翻折，得到△OEE

(1)如图I,当点C的对应点。落在4B上，且所〃人4时，则CE=2；

一2一

(2)如图2,点G(0,2),连接bG交A3于点，，直线£。交48于点/,当四边形

为平行四边形时，求CE的长；

(3)当点E、/在问题(1)中的位置时，把△EOF绕点E逆时针旋转a度(0°<a<

180°)得到△£：'D,尸，设直线。'F'与y釉、直线分别交于点MM,当AN=

AM时，直接写出AM的长.

【解答】解：（1）•••△CE尸沿着更线所翻折，得到△OER

:.XCEFqXXDEF,

：・CE=DE,/CEF=/DEF,

■:EF〃AB,

：,ZCEF=ZABC,/DEF=/EDB,

，ZABC=ZEDB,

：・DE=BE,

:.CE=BE,

是8c中点，

・・.CE=Zc,

2

•・•点A(0,3),

OA—3,

•••四边形AOBC是矩形，

・・・BC=OA=3,

:、CE=A/?C=AX3=旦；

222

故答案为：1;

2

(2)•・•点8的坐标为(4,0),

：.OB=4,

：.AC=OB=4,

•・,点G(0,2),

：.OG=2,

：.AG=OA-OG=3-2=1,

山(1)得；△CE2ADEF,

：.DE=CE,/FEC=/FED,

*：EF//ADt

：・/FED=/EIB,/FEC=NABC,

:・NEIB=NABC,

：・EI=BE,

•••四边形FH/E是平行四边形，

：.HF//IE,HF=IE,

\'AO//BC,

：.ZGAB=ZABC,

:・/EHB=NGAB,

*/NAHG=NFHB,

:・NGAB=NAHG,

：,AG=GH=i；

设CE=x,则8E=3・x,

:.HF=IE==3-x,

：,FG=GH+HF=\+3-x=4-x,

*：EF//AB,

・史=煦叩CF=x

••而―而''T-T

；.CF=&

3

：.AF=AC-CF=4--lx-,

3

在RtAGAF中，*/GF2=AF2+AG2,

:.(4-x)2=(4-Av)2+12,

3

解得：XI=3(舍去)，X2=—.

7

・・・CE=S；

7

(3)由(1)得：CE=2,

2

:.DE=D'E'=CE=§,

2

,:EF〃AB,

・史=煦=2

**ACBC~2

.-.CF=XAC=AX4=2,

22

・・・4/=4C-CF=4-2=2,

：,DF==D'F'=2,

V^«=^AC2+BC2=^42+32=5,

.•・M=LB=S,

22

:・E'F'=区，

2

*：AM=AN,

:.NANM=/AMN,

①当点N在。4的延长线上时，如图3,过点M作MQ_LOA于点Q,则MQ〃。从

・MQ=AQ=AM即见Q=AQ=AM

・•丽OAAB*'TTV

设4M=AN=a,则MQ=%AQ=^-a,BM=5-a,

55

AQN=AQ+AN=^i+a=^i,OQ=OA-AQ=3-瑞，

555

・・.M(&,3-X),V(0,a+3),

55

设直线MN的解析式为y=履+b,将川(&,3-皂)，N(0,。+3)代入，

55

'43

ZH-7_ak+b=3-z-a

得：55,

b=a+3

解得：尸2,

Ib=a+3

・•・直线MN的解析式为)，=-2x+a+3,

过点O'作。'GJ_BC于点G,D'HLOB于点H,设直线MN交OB于点S,

・・・N。'HB=ZDfGB=/HBG=90°,

・•・四边形G4”足矩形，

；・/GD'"=90°=/ED'S,DH=BG,

：,4HD'S+ZSD'G=ZSDfGt/ED'G,

:・NHD'S=/ED'G,

*：DH//OA,

:.NHD'S=NON5,

：・/E»G=/ONS,

•:NMQN=NEGD'=90",

:AMQNS^EGD',

・EG__MQ=J

一丁GQN~2

设EG=/n(m>0),则O'G=2m,

在RtZXE。'G中，*：EG2+D,G2=D'E2,

m2+(2m)2=(—)2,

2

解得：相=2返，

10

・・.EG=^Z^,BH=D'G=^^,

105

:・DH=BG=S-

210

：,OH=OB-BH=4-包

5

：,D'(4-^Z^,.3.3V5X

5210

•・•点D'在直线>'=-2x+a+3上，

•.2.-2X(4-+。+3，

2105

解得：a=W-&ZE,

22

・・・AM=W-^L

22

②当点N在射线AO上时，如图4,

设AM=AN=/?,则M(&,3-当)，N(0,3-0),

55

/.直线MN解析式为)，=/x+3-b,

设直线MN与犬轴交于点K,则K(2〃-6,0),

：・ON=b-3,OK=2b-6,

过点。'作O'L_Lx轴于点L,作O'H工BC于点、H,

•・・。'L//ON,

.D'L_0Nhb-3=1

KLOK2b-6~2

:・KL=2D'L,

*:iyH//on.

:"HD'N=NOKM

ZED'F'=/EHD'=90°,

•••NE。'H+AHD'N=N。'EH+NED'N=90°,

AZD，EH=/OKN,

•••△O'EHs^NKO,

・D'H=0N=1

EHOK~2

设£>'H=n(w>0),则E，=2〃，

在口△£»“中，•・•》/72+E/72=DE2,

n2+(2/?)2=(—)2,

2

解得：〃=盟5,

10

：,D'(4+盟1,_3_2^),

1025

将。，(4+2匹，3-皿£)代入y=L+3-A

10252

得：3-22Z1=_1X〔4+^Z^)+3-b,

25210

解得：6=工+盟5,

24

.•・4M=1+2^；

24

综上所述，人用=」3-驯5或工+盟5.

2224

图1

14.（1）证明推断：如图（I）,在正方形A8CQ中，点七、Q分别在边8C、A/3上，DQ±

AE于点O,点G、“分别在边CO、/W上，GFA.AE.

①填空：DO=AE（填“V"或“=”）；②推断题的值为1:

AE

（2）类比探究：如图（2）,在矩形A3CO中，区=&（左为常数）.将矩形A8C。沿GF

AB

折叠，使点A落在8c边上的点E处，得到四边形/EPG,EP交CD于点、H,连接4E

交GF于点0.试探窕G尸与AE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP,当女=2时，若些=3,G尸=2/讪，求

3BF4

：,AB=DA,NABE=90°=/D4Q.

：,ZQAO+ZOAD=W.

yAELDQ,

・・・NAOO+NOAO=9(T.

：.ZQAO=ZADO.

A^ABE^/XDAQ(ASA),

：.AE=DQ.

故答案是：=；

②解：\'DQ1AE,FGLAE,

：.DQ//FG,

*：FQ//DG,

・•・四边形。。/G是平行四边形，

:,FG=DQ,

'：AE=DQ,

:.FG=AE,

•••G1F-■—.1•

AE

故答案为：I.

(2)解：结论：理■=%.

AE

理由：如图2中，作GM_LA/3于M.

图⑵

VAE1GF,

，ZAOF=ZGMF=NABE=90°,

・・・N8AE+NAFO=90°,NAFO+/产GM=90°,

Z/M£=NFGM,

/.AABESXGMF,

.GF=GM

**AEAB，

VZAMG=ZD