广东深圳市外国语学校2025-2026学年九年级下学期数学期中试卷

广东深圳市外国语学校2025-2026学年九年级下学期数学期中试卷一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下面是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A．DeepSeek B．ChatGPTC．文心一言 D．纳米AI2．数据统计显示，深圳市2023年小学一年级入学人数达23万人，创历史最高峰.数据23万用科学记数法表示为（）A．23×104 B．2.3×104 C．2.3×105 D．0.23×1063．下列计算正确的是（）A．x5+xC．−a6÷4．数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成∠1，∠2，∠3（如图2），其中∠A=60°，∠B=30°，∠C=90°，小慧用量角器测得∠1=70°，请你帮忙算一算，∠3的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°5．关于抛物线y＝-x2+6x-7，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是直线x＝-3C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2）6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何?”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少?设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．x3=y+2xC．x3=y−2x−97．平行透视是绘画中的基本技法.如图，点O是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'的位似中心，若AB=9，A'B'=5，则AAA．45 B．54 C．498．如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB＝1，则△APQ的最大面积是（）A．14 B．2−32 C．2二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）9．已知x=-2是关于x的方程2ax-b+5=0的解，则8a+2b+2015=.10．已知数轴上点A表示的数是−2，数轴上到点A的距离为32且在点A右侧的点所表示的数是11．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为m．12．如图，正比例函数y=ax（a>0）的图象与反比例函数y=kx（k13．如图，点E是正方形ABCD边AB上的一点，将△CBE沿直线CE翻折得到△CFE,，连接DF并延长交CE的延长线于点P，连接PA、PB.若AE=2BE，AD=3，则BP=三、解答题（共7小题，，共61分）14．计算：−1202615．先化简，再求值；1−aa+2÷16．今年某校为确保学生安全，开展防溺水安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示），共分成四组：A组80≤x<85；B组85≤x<90；C组90≤x<95；D组95≤x≤100；下面给出部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94.七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表如下：年级七年级八年级平均数9292中位数93b众数c100方差5250.4八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a=，b=，c=：（2）根据以上数据，你认为该校七，八年级中年级学生掌握防溺水安全知识的较好?请说明理由（从三个角度分析）；（3）若该校七，八年级共720人参加此次知识竞赛，试估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少?17．背景随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利.素材1某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等.素材2若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架.问题解决⑴任务1A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地?⑵任务2若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低?并求出最低成本.18．已知：点P是⊙O外一点.（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为点A、B.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，若点C在⊙O上（点C不与A、B两点重合），且∠APB=40°，则∠ACB的度数为°.19．在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用.【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据.【收集整理数据】运动时间t（s）048121620…运动快慢v（cm/s）12108642…运动路程y（cm）04480108128140…【数学建模探究】（1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上）①v与t之间的关系可以近似地用函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”）②y与t之间的关系可以近似地用函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”）（2）【检验】直接写出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证.（3）【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以4cm/s的速度向前匀速直线运动.当t=10时，弹珠刚好追上小车，则A，B两点间的距离为cm.20．【定义】若一个四边形对角线的交点是一条对角线的三等分点，那么我们称这个四边形是“卓越四边形”。如图1，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO=（1）【性质】如图2，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边上一点，当四边形AECD为“卓越四边形”时，求CE的长度.（2）【判定】如图3，在矩形ABCD中，点E是线段CD上靠近点D的四等分点，点F是AD边上一点，CF与BE交于点O，若满足ABBC（3）【应用】如图4，将边长为6的正方形ABCD绕点B逆时针旋转θ(0∘

答案解析部分1．【答案】C【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、∵此图不是轴对称图形，∴A不符合题意；

B、∵此图不是轴对称图形，∴B不符合题意；

C、∵此图是轴对称图形，∴C符合题意；

D、∵此图不是轴对称图形，∴D不符合题意；故答案为：C.【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.2．【答案】C【知识点】科学记数法表示大于10的数【解析】【解答】解：23万=230000=2.3×105，故答案为：C.【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.3．【答案】C【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算【解析】【解答】解：A、∵x5+x5=2x5，∴A不正确；

B、∵(−a2)3=−a6，∴B不正确；故答案为：C.【分析】利用合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.4．【答案】D【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；铅笔头模型；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论【解析】【解答】解：过点C作CG∥MN，

∵∠B=30°，∠1=70°，

∴∠BEN=40°，

∵DK∥MN，

∴CG∥MN∥DK，

∴∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠3=∠ACG=90°-∠BCG=50°，故答案为：D.【分析】由三角形外角的定义及性质计算∠BEN=40°，由平行线的性质可得∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°，即可得解．5．【答案】D【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2+6x-7=-(x-3)2+2，

∴该函数图象开口向下，故A错误，

∴对称轴为直线x=3，故B错误，

与y轴的交点坐标为(0，-7)，故C错误，

顶点坐标为(3，2)，故D正确，故答案为：D.

【分析】先将抛物线的一般式化为顶点式，再根据顶点式以及二次函数的性质，依次判断各选项的正误即可.6．【答案】C【知识点】列二元一次方程组【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，

根据题意可得：x3故答案为：C.【分析】设有x人，y辆车，根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行”列出方程组即可.7．【答案】A【知识点】位似变换；位似图形的性质【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形A'B'C'D'是位似图形，

∴A'B'∥AB，

∴△A'OB'∽△AOB，

∴OA'OA=A'B'AB=59，

∴AA'故答案为：A.【分析】根据位似图形的概念得到A'B'∥AB，证明△A'OB'∽△AOB，再根据相似三角形的性质解答即可．8．【答案】C【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型【解析】【解答】解：过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1

则∠QEP=∠CFP=90°

∵∠QPC=90°

∴∠EQP+∠EPQ=∠FPC+∠EPQ=90°

∴∠EQP=∠FPC

由旋转可得，PC=PQ

∴△QPE≌△PCF(AAS)

∴EQ=PF

∵PF≤PC

∴EQ≤PC

∴AP+PF≤AP+PC≤AC

即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长

∵四边形ABCD是正方形

∴AD=AP1=CD=AB=1

∴AC=AD2+DC2=2

故答案为：C【分析】过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1，则∠QEP=∠CFP=90°，根据角之间的关系可得∠EQP=∠FPC，根据旋转性质可得PC=PQ，再根据全等三角形判定定理可得△QPE≌△PCF(AAS)，则EQ=PF，再根据边之间的关系可得AP+PF≤AP+PC≤AC，即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长，根据正方形性质可得AD=AP1=CD=AB=1，再根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系可得EQ，再根据三角形面积即可求出答案.9．【答案】2025【知识点】一元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值【解析】【解答】解：将x=-2代入原方程得：2a×（-2）-b+5=0，

∴4a+b=5，

∴原式=2（4a+b）+2015=2×5+2015=2025．

故答案为：2025．

【分析】将x=-2代入原方程，可得出4a+b=5，再将其代入原式=2（4a+b）+2015中，即可求出结论．10．【答案】2【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较；一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离【解析】【解答】解：设表示的数为x，根据题意，得：x−−解得：x=22∴表示的数是22故答案为：22【解答】设表示的数为x，根据数轴上两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.11．【答案】10【知识点】相似三角形的实际应用【解析】【解答】解：过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，如图所示：

则BH⊥CD，

∴∠BGD=∠BHF=90°，

由题意得，AB=CG=EH=1.6m，AC=BG=2m，CE=GH=10m，

∴BH=BG+GH=12m，

∵CD=3m，

∴DG=CD-CG=3-1.6=1.4m，

∵∠DBG=∠FBH，

∴△BDG∽△BFH，

∴DGFH=BGBH，

∴1.4FH=212，

解得：FH=8.4，

∴EF=FH+EH=10m，

∴12．【答案】4【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积【解析】【解答】解：如图，作AF⊥x轴，垂足为F，AE⊥y轴，垂足为E，

∵正比例函数y=ax（a＞0）的图象与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，

∴OA=OB，

∴S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC，

∵AC=2AD，S△BCD=18，

∴S△ABD=13S△BCD=13×18=6，S△ABC=23S△BCD=23×8=12，

∴S△AOD=S△BOD=3，S△BOC=S△AOC=6，

∴S△COD=3+6=9，

∵S△ADES△COD=ADCD2=19，S△AFCS△COD=ACCD2=49，

∴S△ADE=1，S△AFC=4，

∴S矩形OFAE=S△COD-S△ADE-S△AFE=9-1-4=4．

∵反比例函数图象在第一象限，

∴k=4．

故答案为：4．

13．【答案】3【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：连接AC，作CQ⊥PD于点Q，

则∠PQC=∠DQC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，AD=3，

∴AB=AD=CD=BC=3，∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，

∴CA=AD2+CD2=3CD=32，∠ACD=∠CAD=45°，

由翻折得FC=BC，∠FCE=∠BCE=12∠BCF，

∴FC=DC，

∴∠FCQ=∠DCQ=12∠DCF，

∴∠PCQ=∠FCE+∠FCQ=12（∠BCF+∠DCF）=12∠BCD=45°，

∴∠CPQ=∠PCQ=45°，

∴PQ=QC，

∴PC=PQ2+QC2=2QC，

∴PCQC=CACD=2，∠ACP=∠DCQ=45°-∠ACQ，

∴△ACP∽△DCQ，

∴∠APC=∠DQC=90°，

∵AE=2BE，

∴2BE+BE=3，

∴BE=1，

∴CE=BE2+BC2=12+32=10，

∵∠APE=∠CBE=90°，∠AEP=∠CEB，

∴△AEP∽△CEB，

∴PEBE=AECE，

∴PEAE=BECE，

∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC，

∴BPCA=BECE，14．【答案】解：−12026+20260−13【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算【解析】【分析】先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、立方根、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可．15．【答案】解：1−====2当a=5+2时，原式2【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入【解析】【分析】根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。16．【答案】（1）40；94；99（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下：七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93（3）∵七年级10名学生中，成绩在C，D两组中有6人，八年级10名学生中，成绩在C，D两组中有7人，∴6+7=13（人），720×13答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人.【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）【解析】【解答】解：（1）a=（1-20%-10%-310）×100=40，

∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，

∴b=94+942=94，

∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，

∴c=99；

故答案为：40，94，99.

【分析】（1）根据中位数、众数的定义和扇形统计图即可得出答案；

（2）根据八年级学生成绩的中位数和众数均高于七年级即可得出结论；17．【答案】解：⑴设A种型号无人机平均每小时喷洒x公顷地，则B种型号无人机平均每小时喷洒（x+2）公顷地，由题意得：40解得：x=8，经检验，x=8是原方程的解，且符合题意，∴x+2=8+2=10，答：A种型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B种型号无人机平均每小时喷洒10公顷地；⑵设购买A型无人机m架，则购买B型无人机（20-m）架，由题意得：8m+10（20-m）≥180，解得：m≤10，∵A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架，∴m取最大值时，总成本最低，∴m=10，∴20-m=20-10=10，最低成本为：10×5+10×6=110（万元），答：购买A型无人机10架，购买B型无人机10架，才能使总成本最低，最低成本为110万元.【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）设A种型号无人机平均每小时喷洒x公顷地，则B种型号无人机平均每小时喷洒（x+2）公顷地，根据A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，列出分式方程，解分式方程即可；

（2）设购买A型无人机m架，则购买B型无人机（20-m）架，根据公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式，再根据总成本最低，即可得出结果．18．【答案】（1）解：（1）如图PA，PB即为所求.（2）70或110【知识点】切线的性质；切线长定理；圆周角定理的推论；尺规作图-过圆外一点作圆的切线【解析】【解答】解：（1）如图，连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M，

再以点M为圆心，PM的长为半径画圆，分别交⊙O于点A，B，连接PA，PB．

由圆周角定理可得，∠OAP=∠OBP=90°，

∵OA，OB为⊙O的半径，

∴PA，PB为⊙O的切线．

则PA，PB即为所求．

（2）连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的两条切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵∠APB=40°，

∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=140°．

当点C在优弧AB上时，

∠ACB=AOB=70°．

当点C在劣弧AB上时，

∠ACB=180°-AOB=110°．

综上所述，∠ACB的度数为70°或110°．

故答案为：70或110．

【分析】（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M，再以点M为圆心，PM的长为半径画圆，分别交⊙O于点A，B，连接PA，PB即可．

（2）连接OA，OB，由切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，则可得∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=140°．分点C在优弧AB和劣弧AB两种情况，结合圆周角定理、内接四边形的性质可得答案．19．【答案】（1）一次；二次（2）设v=kt+m，将t=0，v=12；t=4，v=10代入v=kt+m，得，12=m解得k=−∴验证：当t=8时，v=−设y将t=0，y=0；t=4，y=44；t=8，y=80代入.y=0=c解得，a=−∴验证：当t=12时，y=−（3）55【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；通过函数图象获取信息；二次函数的其他应用【解析】【解答】解：【猜想】

，

观察v随t的变化，是均匀减小，符合一次函数特征；y与t的关系结合图象判断为二次函数，

故答案为：一次，二次；

【检验】求v与t的函数关系式：

设v=kt+b，把t=0，v=12和t=4，v=10代入，

可得b=124k+b=10，

解得k=−0.5b=12，

所以v=-0.5t+12，

验证：当t=8时，v=-0.5×8+12=8，与表格数据一致；

求y与t的函数关系式：

设y=at2+bt+c，把t=0，y=0，t=4，y=44，t=8，y=80代入，

可得0=c44=16a+4b+c,80=64a+8b+c

解得：a=−14b=12c=0,

∴y=-0.25t2+12t，

验证：当t=12时，y=-0.25×144+12×12=108，与表格数据一致；

【应用】设运动时间为t秒时弹珠追上小车，

此时弹珠运动的路程y等于AB的距离加上小车运动的路程3t，即y=s+3t（s为AB的距离），

由y=-0.25t2+12t，

可得-0.25t2+12t=s+3t，

整理得s=-0.25t2+9t，

对于二次函数s=-0.25t2+9t，a=-0.25＜0，

其最大值在t=18时取得，

把t=18代入s=-0.25t2+9t，得s=81，20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4∴AD∥BC，AD=4，∴△ADO∽△CEO，∴∵当四边形AECD为“卓越四边形”时，∴CO=当CO=1∴∴CE=2（经检验，是分式方程的解，且符合题意）；同理，当EO=13（2）四边形BFEC是“卓越四边形”；理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB=CD，∠ADC=∠A=90°，

∵tan∠DFE=310，AD=BC，

∴DEDF=310，

设DE=3a，则DF=10a，

∵点E是线段CD上靠近点D的四等分点，

∴DECE=13，

∴CE=9a，

∴CD=12a，

∴AB=12a，

∵ABBC=45，

∴BC=15a，

∴AD=BC=15a，

∴AF=5a，

如图3，延长AD、BE，相交于点M，

∵AD∥BC，

∴△DEM∽△CEB，

∴DECE=DMBC=MEBE=13，

∴DM=13BC=13×15a=5a，

∴FM=FD+DM=10a+5a=15a，

（3）42或2+14【知识点】正方形的性质；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【