湖南衡阳市第七中学2026届高三全真模拟(考前测试)数学试题

湖南衡阳市第七中学2026届高三全真模拟(考前测试)数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=xx−1>0，B=xA．−3,−1 B．−1,3 C．1,2．若1−iz=2，则z+1A．5 B．3 C．1 D．53．已知向量a→=(−1,2)，b→=(x,4)，且A．45 B．43 C．24．已知tanα=3，则sinA．−32 B．32 C．15．已知Tn为等比数列an的前n项积，若anA．614 B．127 C．12146．若过点P0,1可作圆xA．3,+∞ B．−1,3 C．3,5 D．7．设函数f(x)=ln|x−a|在区间(2,3)上单调递减，则A．(−∞,3] B．(−∞,2] C．8．已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=CCA．32 B．155 C．104二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知随机事件A，B满足PAB=PA．PA=PB B．PA=310．已知函数fxA．fx在区间−2,+∞上单调递增 B．fC．方程fx=2的解有2个 D．导函数f11．棱长为2的正四面体ABCD中，AP=12AB，A．AK⊥BKB．若直线AK与平面PQR的交点为M，则AMC．四面体ABCD外接球的表面积是3D．四面体KPQR的体积是1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数fx=xex的图象与圆(x+1)213．记Tn为正项数列an的前n项积，已知Tn=ana14．已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1内有一个动点M，满足四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P−ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，△PAC是边长为2的正三角形，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l．（1）证明：直线l⊥平面PAC；（2）求EF与平面ECA的正弦值．16．已知数列an的前n项和为Sn，且a1=2，Sn+1=3Sn+2（1）分别求数列an和b（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为cn的等差数列，求数列bnc17．某区域中的物种P拥有两个亚种（分别记为A种和B种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个物种P，统计其中A种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi (i=1,2,⋯,20).设该区域中A种的数目为M，B种的数目为（1）求X1（2）记随机变量X=120i=120（ⅰ）证明：E(X)=E(X（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到Xi的实际取值分别为xi (i=1,2,⋯,20).数据xi (i=1,2,⋯,20)的平均值x=40，方差s2=1.176.采用x和s218．已知函数f(x)=e（1）若a=−1，x≥−π4，求证：（2）若对任意x≤0，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a满足第（2）问所得的取值范围，且gx=fx+sinx⋅fx19．在直角坐标平面内，设P是圆x2+y2=4上的动点，PQ⊥x（1）求曲线C的方程；（2）设l是过点N(4,0)的动直线．①当直线l的斜率为−2时，曲线C上是否存在一点D，使得点D到直线l的距离最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；②若直线l与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，直线AE与x轴的交点为F，求△ABF面积的最小值．

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】A,B,D10．【答案】A,B,D11．【答案】A,B,D12．【答案】3−13．【答案】2；202714．【答案】115．【答案】（1）证明：∵E，F分别是PC，PB的中点，∴EF//BC；∵EF⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，∴BC//平面AEF；∵平面AEF∩平面ABC=l，BC⊂平面ABC，∴l//BC，∵平面PAC⊥底面ABC，平面PAC∩底面ABC=AC，BC⊥AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面PAC，∴l⊥平面PAC；（2）解：设EF与平面PAC的夹角为θ，∵E是PC的中点，∴平面ECA即平面PAC；由（1）可知，BC⊥平面PAC，EF//BC，∴EF⊥平面PAC，∴EF与平面PAC的夹角θ=90°，∴sinθ=1，即EF与平面ECA的正弦值为1.16．【答案】（1）解：由Sn+1=3Sn+2则数列Sn+1是以3为首项，3为公比的等比数列，Sn当n≥2时，an显然a1=2满足上式，则由b1=2，bn+1bn以上n−1个式子相乘，可得bnb1又b1=2满足上式，所以（2）解：若在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为则an+1−a整理得cn=4⋅T=4⋅1⋅=41⋅则3T两式相减得：−2T则Tn17．【答案】（1）解：依题意，Xi(i=1,2,⋯,20)均服从完全相同的超几何分布，故X1（2）解：（ⅰ）由题可知E(XD(X故E(X)=E(X（ⅱ）由（ⅰ）可知X的均值E(X先计算X1的方差==M(M−1)==100MN(M+N−100)D(X依题意有100MM+N=40 ，5MN(M+N−100)(M+N)2所以可以估计M=1980，N=2971．18．【答案】（1）证明：由题意，当a=−1时，fx=e因此Fx=e当x≥3π4时，有−sinx+故Fx在3又F3π4=e当0≤x<3π4时，sin令Hx=ex−13又H0=0，所以当x=0时，F0=1>0；当0<x<3π4故当0≤x<3π4当−π4≤x<0时，有ex≥e−故Fx在−又F−π4=e−π综上，当a=−1，x≥−π4时，（2）解：因为f0若对任意x≤0，fx≥0恒成立，则x=0是fx在区间(−又f'x=−ae−ax+cos故a≥1是必要条件，下面证明a≥1也是充分条件，当x≤−π4时，因为a≥1且x≤0，所以令t=−x，则t≥π4，于是因为sint+cost=2sint+π当−π4≤x≤0时，仍有e因为p'在−π4,0上，x+且e−x≥1，所以p'x≤0又p0=0，所以当−π4≤x≤0综上，实数a的取值范围为a≥1．（3）解：由第（2）问可知，当a满足题意时，a≥1，且对任意x≤0，都有fx又因为−1≤sinx≤1，所以于是当x≤0时，gx因此gx在x≤0时的最小值不小于0当x=0时，f0=0，所以当x=−π2−2kπ（k=0,1,2,⋯）时，有x≤0且sinx=−1故gx在x≤0时的最小值为0，取到最小值时x=0或x=−π219．【答案】（1）解：设Mx,y,Px∵QPQM=23代入x02+y0故曲线C的方程为x24+（2）解：易知直线l的方程为y=−2x−4，整理得2x+y−8=0如图，l1∥l，l1与椭圆相切于点D，当D在如图所示的位置时，点D设直线l1:y=−2x+b，联立y=−2x+bxΔ=16b2−4×25×4则25x2−80x+64=0