2025-2026学年山西定襄县定襄中学校高一下册5月期中考试数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则的虚部是（）A. B. C. D.2.函数的单调递减区间（）A. B. C. D.3.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.44.如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（）A. B. C. D.5.已知幂函数在上单调递减，则（）A.2 B.16 C. D.6.已知三棱锥且平面，其外接球体积为（）A. B. C. D.7.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（）A.16 B.C. D.8.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱上的一个动点．下列判断不正确的是（）A.直线与直线是异面直线 B.一定不垂直于C.三棱锥的体积为定值 D.的最小值为二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两项或者三项是符合题目要求的.9.（多选）下列说法正确的是（）A.已知方程的解在内，则B.函数的零点是C.函数的图象关于对称D.用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上10.下列关于平面向量的说法正确的是（）A.已知向量，，若在上的投影向量为，则向量与的夹角为B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则11.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列结论正确的为（）A.函数为偶函数B.直线是函数图象的一条对称轴C.是函数的一个单调递减区间D.将的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷纸的相应位置上.12.已知，且，函数的图象恒过点，若在幂函数图像上，则＝__________．13.如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为______m14.如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，，．设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，且恒成立，则正实数的最小值为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.15.已知向量，，．（1）求（2）若，求实数的值．16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求角B的大小；（2）若．且，求△ABC的面积．17.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.（1）求证：平面（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.19.已知函数为定义在上的奇函数.（1）求的值；（2）根据单调性的定义证明函数在上单调递增；（3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则的虚部是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据复数的运算求得，再得到虚部即可.解答过程：由题意，可得，故的虚部为.故选：C.2.函数的单调递减区间（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断在和上的单调性.解答过程：解：由题意可得，因为当，则对数函数在上单调递减，所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为；当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增，综上，函数的单调递减区间为.3.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：利用线面垂直的定义和线面平行的性质判断命题①；利用面面平行的传递性和线面垂直的性质判断命题②；平行于同一平面的两条直线，位置关系不唯一，可举反例判断命题③；利用线面垂直的性质定理判断命题④.解答过程：命题①，若，则垂直于内任意一条直线，又，可知在内存在直线与平行，所以，又，所以，①正确；命题②，若，，则，又，所以，②正确；命题③，若，，则与可能相交、异面或，③错误；命题④，若，，利用线面所成角的性质可得，④正确.4.如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据向量的运算法则计算得到答案.解答过程：，故选：B5.已知幂函数在上单调递减，则（）A.2 B.16 C. D.答案：D解析：思路：根据题意列出方程组，求得m的值，即得函数解析式，代入求值可得答案.解答过程：由题意得，解得，所以，故,故选：D6.已知三棱锥且平面，其外接球体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.解答过程：由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A方法提示：本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.7.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（）A.16 B.C. D.答案：B解析：思路：首先根据题意利用余弦定理得到，根据是边BC的中点得到，从而得到，再利用基本不等式求解即可.解答过程：因为，由正弦定理得，所以，，因为，所以.因为是边BC的中点，所以，.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以，即面积最大为．故选：B8.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱上的一个动点．下列判断不正确的是（）A.直线与直线是异面直线 B.一定不垂直于C.三棱锥的体积为定值 D.的最小值为答案：B解析：思路：根据异面直线的判定判断A；根据线面垂直的性质定理可判断B；确定外接球球心位置，利用三棱锥的体积公式可判断C；将矩形和矩形展开到一个平面内，计算即的长即可判断D.解答过程：对于A，因为点平面，平面，点，平面，所以直线与直线是异面直线，故A正确；对于B，因为侧棱底面，，故底面,底面，故；而，则，即，平面,故平面,平面，故，故当时，平面，则直线平面，平面，所以，故B错误；对于C，由题意结合以上分析可将三棱柱补成如图所示长方体，则面为该长方体的体对角面，三棱锥的外接球球心O是直线，的交点，底面面积不变，平面，平面，故直线平面，所以点E到底面距离不变，则三棱锥的体积为定值，故C正确；对于D，将矩形和矩形展开到一个平面内，当点E为与的交点时，取得最小值．D正确．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两项或者三项是符合题目要求的.9.（多选）下列说法正确的是（）A.已知方程的解在内，则B.函数的零点是C.函数的图象关于对称D.用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上答案：ACD解析：思路：根据函数，利用零点存在性定理判断A；利用零点的定义判断B；利用指数对数函数图象关系判断C；利用二分法求出近似解的方法判断D.解答过程：对于A，令，函数在R上递增，，因此函数的零点，即方程的解在内，A正确；对于B，函数的零点是，B错误；对于C，函数互为反函数，它们的图象关于对称，C正确；对于D，函数在R上递增，由，得函数的零点在区间上，D正确.故选：ACD10.下列关于平面向量的说法正确的是（）A.已知向量，，若在上的投影向量为，则向量与的夹角为B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则答案：AD解析：解答过程：对于A，由题意可得在上的投影向量为，所以向量与的夹角的余弦为，所以夹角为，故A正确；对于B，，因为与的夹角为锐角，则，解得，当与共线时，，解得，所以实数的取值范围是，故B不正确；对于C，当，且时也满足，故C错误；对于D，由题意可得，同理可得，所以，故D正确.11.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列结论正确的为（）A.函数为偶函数B.直线是函数图象的一条对称轴C.是函数的一个单调递减区间D.将的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象答案：BD解析：思路：根据余弦型函数的图象变换性质，结合余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性逐一判断即可.解答过程：因为函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，所以.A：，因为，所以函数为奇函数，本选项说法不正确；B：，所以当时，函数有最小值，所以直线是函数图象的一条对称轴，因此本选项说法正确；C：当时，，因为函数在上单调递增，所以在上也单调递增，所以是函数的一个单调递增区间，因此本选项说法不正确；D：的图象向右平移个单位长度可以得到函数，因此本选项说法正确，故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷纸的相应位置上.12.已知，且，函数的图象恒过点，若在幂函数图像上，则＝__________．答案：解析：思路：由，知，即时，，由此能求出点的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，即可求得答案.解答过程：，，即时，∴点的坐标是由题意令，图象过点得解得：故答案为.方法提示：本题主要考查了求幂函数值，解题关键是掌握判断对数函数恒过定点的方法和幂函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.13.如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为______m答案：解析：思路：利用正弦定理即可求解.解答过程：由题，作出空间图形如下，则有,因为到达B处仰角为45°，所以，在中，，由正弦定理可得解得m，所以m，故答案为:.14.如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，，．设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，且恒成立，则正实数的最小值为_____．答案：解析：思路：先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于的不等式，解不等式即可.解答过程：因为、、两两垂直，且，，，所以，即，则，根据已知条件恒成立，则有，解得所以正实数的最小值为故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.15.已知向量，，．（1）求（2）若，求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量坐标的线性运算，即可求解；（2）根据向量垂直的坐标表示，即可求解.（1）因为，，,所以（2），，因为，所以，解得.16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求角B的大小；（2）若．且，求△ABC的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理和两角差的余弦公式，化简已知等式，求得，可求角B的大小；（2）由已知条件利用余弦定理求得，根据三角形面积公式求△ABC的面积.（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得即，由，有可得又因为，所以.（2）．且，，由余弦定理：，有，解得，∴.17.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.答案：（1）最小正周期（2）；（3）解析：思路：（1）由二倍角公式、两角差的正弦公式化简函数式，然后结合正弦函数周期可得；（2）利用正弦函数的增区间求解；（3）求出的解后可得的范围．（1），最小正周期为；（2），，所以增区间是；（3），，，，因为函数在区间上有且只有一个零点，所以，所以实数的取值范围为.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.（1）求证：平面（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：