2025-2026学年四川嘉祥教育集团高二下册期中质量监测数学试题 含答案

/数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列求导运算错误的是（

）A. B. C. D.2.在等差数列中，，，则（

）A. B. C. D.3.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A. B.C. D.4.已知函数满足，则在处的切线斜率为（

）A. B. C. D.5.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为C1，C2，C3，C4，则C4=（

）A. B. C. D.6.在等比数列中，“数列递减”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.若，恒成立，则的最大整数值为（

）A. B. C. D.8.若函数fx=4x+A.2 B. C.1 D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．有2个正确答案的，每选对1个，得3分；有3个正确答案的，每选对1个，得2分；凡选错1个答案的，得0分）9.已知数列是等差数列，为其前项和，是等比数列，为其前项和，则必有（

）A. B.C.，，成等差数列 D.，，成等比数列10.下列不等关系中，正确的是（

）A. B.C. D.11.已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（

）A. B.是极小值点C. D.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.函数的单调递减区间是___________．13.若直线与曲线y=lnx+3相切于点P，与曲线y=ln14.已知为各项均为正整数的递增数列，且满足，则_______，_______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求使成立的n的最小值.16.已知函数在处取得极值，且．（1）求解析式（用表示）；（2）若，求在闭区间上的最值．17.已知数列满足，．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．18.已知函数，其中．（1）令，讨论的单调性；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围；（3）若函数存在两个极值点，，且，求的值．19.（1）证明：当时，；（2）在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，…，，其中为函数的阶导数．对于给定的正整数，，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为．例如，（为常数）．（i）求的值并证明当时，；（ii）若数列满足，，记，求证：．

数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列求导运算错误的是（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：借助导数运算法则计算即可得.解答过程：对A：，故A正确；对B：，故B正确；对C：，故C正确；对D：ln22.在等差数列中，，，则（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求出等差数列的公差，再结合求解即可.解答过程：由题意可知，等差数列的公差为，故.3.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据函数单调性与导数符号之间的关系判断即可.解答过程：由导函数的图象可知，当时，且在单调递增，所以函数在上单调递增，且在上的图象增长速度越来越快，排除AD选项，当时，，则函数在上单调递增，排除C选项.4.已知函数满足，则在处的切线斜率为（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：借助导数运算法则计算即可得.解答过程：，则，即，解得，即在处的切线斜率为.5.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为C1，C2，C3，C4，则C4=（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：观察图形可知是首项为，公比为的等比数列，即可求得结果.解答过程：原正三角形边长为，共条边，因此C1=3×2=6.每次操作时，原来的每条边被三等分后，会从1条边变为4条长度为原边长​的新边，因此操作后总周长变为原来的倍，即Cn=根据规律：C46.在等比数列中，“数列递减”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：利用等比数列的通项公式和充分条件、必要条件的定义分析判断即可.解答过程：当时，设公比为，则，若，则，即，此时，显然数列是递减数列，若，则，即，此时，数列也是递减数列，反之，当数列是递减数列时，显然．故“数列递减”是“”的充要条件．7.若，恒成立，则的最大整数值为（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先确定时的情况，当时，参变分离可得，构造函数fx=ex−x解答过程：当时，，不等式成立，；当时，恒成立，即a≤ex令fx=e令，，则，则在上单调递增，所以，即.所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，故fxmin=综上，故的最大整数值为.8.若函数的零点为，则4x0(A.2 B. C.1 D.答案：C解析：思路：由已知有，根据零点得到，利用指对数的关系及运算性质得到关于t的表达式，进而计算确定t值即可.解答过程：由题知，由得4x0+log2若，可得，若，可得，综上，，即22x记22x0=m，则t令gx=xmx所以gx=x因为t·mt=m二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．有2个正确答案的，每选对1个，得3分；有3个正确答案的，每选对1个，得2分；凡选错1个答案的，得0分）9.已知数列是等差数列，为其前项和，是等比数列，为其前项和，则必有（

）A. B.C.，，成等差数列 D.，，成等比数列答案：ABC解析：思路：借助等差中项与等比中项性质可得A、B；借助等差数列求和公式及等差数列定义计算可得C；举出反例可得D.解答过程：对A：，故A正确；对B：b3对C：设等差数列的公差为，则，，，则，S18−即有S12故，，成等差数列，故C正确；对D：当时，有，故此时，，不成等比数列，故D错误.10.下列不等关系中，正确的是（

）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：通过构造函数，借助导数研究单调性，代特殊值，即可比较大小.解答过程：对于A选项，构造函数，其中，则，故函数在上单调递减，所以，即，即，即，故，A对；对于B选项，构造函数，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以gx所以当且时，，令，可得，即，B错；对于D选项，因为当且时，，故，所以当且时，，令，得ln1+1π>1−对于C选项，构造函数，其中，则，所以函数在上单调递减，所以h−15=e11.已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（

）A. B.是极小值点C. D.答案：BD解析：思路：结合导数的性质与零点存在性定理得到，，利用不等式的基本性质可判断A，不断构造函数并结合导数的性质判断B，利用正弦函数性质并结合题意代换判断C，对原函数合理变形得到，结合并利用导数判断D即可.解答过程：由题意得的定义域为，则，而极值点满足，即，因，则，即x∈2nπ,2nπ结合零点存在性定理得，，对于A，由已知得x1∈0,π2对于B，令，且，令，则，令，，当时，，则在上单调递增，而，，则，由零点存在性定理得存在作为零点，即存在作为零点，令，，令，，则在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，而，，，则，由零点存在性定理得存在作为零点，令，，令，，可得在上单调递减，在上单调递增，则是的极小值点，故B正确；对于C，由已知得，，则，而，，而，则，得到，由正弦函数性质得在上单调递减，则，得到，故C错误；对于D，由题意得，，满足，由已知得，则，可得，令，且，而m′x=1x则在上单调递增，则，即，故D正确.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.函数的单调递减区间是___________．答案：、解析：思路：求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得答案.解答过程：函数的定义域为，，由可得或，故函数的单调递减区间为、13.若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________．答案：解析：思路：对两个曲线函数求导，设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程，进而计算即可.解答过程：对曲线函数求导得，对曲线函数求导得，设切点，，因为直线与曲线相切于点P，所以k=1x因为直线与曲线相切于点Q，所以k=1x所以1x0=化简得x1x1+2=−214.已知为各项均为正整数的递增数列，且满足，则_______，_______．答案：①.②.解析：思路：通过不断代入得到，再结合其单调性即可求出的值；通过代入归纳总结得到时，，再代入合理值即可求解.解答过程：由已知，若，将有，矛盾；若，则，与单调性矛盾；故.由，有，，所以，，又，则，所以，，令，令，则，则时，，此外可求得a7=a且a27=a则时，，，时，，当时，时，，所以，在原式中令，可得.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求使成立的n的最小值.答案：（1）；（2）6.解析：思路：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得；（2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得.（1）设等差数列的公差为，首项为，由题意可得，化简得，解得，，所以.（2）由（1）可知.由，得，即，即，解得或.因为，所以n的最小值是6.即使成立的n的最小值为6.16.已知函数在处取得极值，且．（1）求解析式（用表示）；（2）若，求在闭区间上的最值．答案：（1）fx=x（2）最小值为，最大值为解析：思路：（1）利用极值点定义计算即可得；（2）利用导数求出该函数单调性后，计算即可得.（1），则有f′1=3+2a即fx检验：f'则−2a+33=1在上单调递增，无极值，不符合题意；当−2a+33>1若x∈1,−2则在、−2a+33,+此时是该函数极值点，符合题意；当−2a+33<1若x∈−2则在−∞,−2a+33此时是该函数极值点，符合题意；故的解析式为fx=x3（2）若，则fx=x3当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为f1=1+2−7=−4又f−2=−8+8+14=14，故的最大值为.17.已知数列满足，．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由可得，结合等比数列定义即可得证；（2）借助分组求和法、错位相减法与等差数列求和公式计算即可得.（1），由，故，则，故，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可得，即，则，令，数列的前项和为，则，则，则，则，故.18.已知函数，其中．（1）令，讨论的单调性；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围；（3）若函数存在两个极值点，，且，求的值．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）（3）解析：思路：（1）求导后，分及进行讨论即可得；（2）由题意可得在上恒成立，构造函数并借助导数求出在上的最小值即可得；（3）设、，由极值点定义可得，设，可得，则，由可得，构造函数，利用导数计算可得其单调，即可得，即可得解.（1），则，当时，恒成立，故在上单调递增，当时，若，则，若，则，故在上单调递减，在上单调递增；（2）由函数在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，设，，则恒成立，故在上单调递增，则，故，即的取值范围为；（3），则，令、，则，，即，由，则，设，则，由，则，即，故，即，则，故，令，则，令，则，故在上单调递增，则，即，故在上单调递增，又，故，即.19.（1