2025-2026学年四川省泸州市合江县高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间共120分钟.第I卷（选择题，共58分）一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.3.已知函数，则在处的切线斜率为（）A.1 B.C. D.4.设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（）A.4 B.9 C.16 D.255.在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.6.记等差数列的前项和为，数列满足，若，，则数列的前10项和（）A. B.C. D.7.已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.8.设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（）A.2 B. C. D.二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（）A.数列的公差B.数列的通项公式为C.数列的前项和D.数列是公比为2的等比数列10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称D.将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.的定义域为B.在上单调递减，在上单调递增C.的最小值为1，且无最大值D.若，且，则第II卷（非选择题，共92分）注意事项：（1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.（2）本部分共8个小题，共92分.三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的首项，公差，则的值为__________.13.已知椭圆的焦距为，则实数的值为__________.14.若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为__________.四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的值.16.已知等比数列的前项和为，公比，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为的中点.（1）若，求证：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求面积的最大值．19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；（3）若存在两个极值点，试证明.

数学满分150分，考试时间共120分钟.第I卷（选择题，共58分）一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：分别解不等式得到集合，然后利用交集，补集的定义运算即得．解答过程：，解得，即，，解得，即，，．2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数的四则运算法则和求复数的模长公式，化简已知条件，得到复数z，再求复数z的共轭复数，得解答过程：因为，所以，则，则故选：B3.已知函数，则在处的切线斜率为（）A.1 B.C. D.答案：D解析：思路：求出在处的导数即可解答过程：，.4.设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（）A.4 B.9 C.16 D.25答案：C解析：解答过程：由椭圆的定义可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为16.5.在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据线面角的定义得到直线在平面的夹角，再利用直角三角形即可求出该角的正弦值.解答过程：如图所示，连接，交于点，连接.因为正方体底面是正方形，所以；又平面，平面，故，又因平面,故平面.就是直线与平面所成的角.正方体棱长为，则，.在中.因此直线与平面所成角的正弦值为.6.记等差数列的前项和为，数列满足，若，，则数列的前10项和（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用等差数列的基本量运算求得通项，进而求得，再根据分组求和，裂项相消求和得解.解答过程：因为数列为等差数列，设公差为，由，得，所以，解得，所以，，所以.7.已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果.解答过程：因为，所以，由函数在上有两个极值点，可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根；令，则，由得；所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；即函数在上单调递减，在上单调递增；故；又由在上有两不等实根，即与曲线的图像有两不同交点，结合图像可得.8.设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（）A.2 B. C. D.答案：A解析：思路：先利用点到直线的距离公式求出，再可求得，则，而，再结合的面积为，从而可求出离心率.解答过程：双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则，所以，所以，因为的面积为，，所以，得，所以，令得，解得或，即或，或，因为，所以.二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（）A.数列的公差B.数列的通项公式为C.数列的前项和D.数列是公比为2的等比数列答案：AD解析：解答过程：对于A，设等差数列的公差为，因为，且，所以，解得：，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，令，，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称D.将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象答案：BC解析：思路：根据判断A选项；将看作一个整体，利用正弦函数单调递增区间判断B选项；因为正弦函数在对称轴处取最值，可将代入判断C选项；利用平移法则可判断D选项．解答过程：A选项：根据题意，该函数的最小正周期，故A错误；B选项：令，，解得，；当时，，故在区间上单调递增，故B正确；C选项：因为，故的图象关于直线对称，C正确；D选项：将的图象向左平移个单位长度，可得，故D错误．11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.的定义域为B.在上单调递减，在上单调递增C.的最小值为1，且无最大值D.若，且，则答案：BCD解析：思路：根据对数函数定义域要求确定的定义域，以此判断选项A；对求导，根据导数在不同区间的正负判断单调区间，以此分析选项B；结合单调区间找到极值点，进而确定最值情况，判断选项C；利用函数单调性构造函数，通过函数值的大小关系推导变量间的不等式，判断选项D；解答过程：选项A，对数要求真数，因此的定义域为，A错误.选项B，对求导得：，当时，，单调递减；当时，，单调递增，B正确.选项C，由B的单调性可知，在处取得最小值：，当时，，因此无最大值，C正确.选项D，不妨设，要证，即证.因为在单调递增，只需证.构造函数，求导得：，因此在单调递减，得，即，故，得，即，D正确.第II卷（非选择题，共92分）注意事项：（1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.（2）本部分共8个小题，共92分.三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的首项，公差，则的值为__________.答案：11解析：解答过程.13.已知椭圆的焦距为，则实数的值为__________.答案：或解析：思路：直接由椭圆的几何性质计算可得.解答过程：因为椭圆的焦距为，得且，当时，则，解得；当时，则，解得；因此实数的值为或.14.若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为__________.答案：1解析：解答过程：因为对于任意，不等式恒成立，即，令，，当时，，所以在上单调递增，所以，恒成立，当时，令，所以，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，令，，所以在上单调递减，又因为，所以，不满足恒成立.综上,.所以实数的最大值为.四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的值.答案：（1）（2）4解析：思路：（1）根据正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式化简求解即可.（2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可.（1）由正弦定理得，，又，所以，则，化简得，，在中，，所以，又因为，所以.（2）由三角形面积公式得：，解得，由余弦定理得，，所以，又，所以.16.已知等比数列的前项和为，公比，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等比数列的前项和的定义及等比数列性质可得；（2）由（1）知，进而再用错位相减法求数列的前项和可得.（1）由已知得：，，两式相减得：，即，所以，又因为，，解得，代入得：，即，又因为，所以，解得，因此数列的通项公式为；（2）由（1）知，所以，则①，两边同时乘得：②，由得：因此.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为的中点.（1）若，求证：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的坐标表示求解即可.（1）证明：因为底面，底面，所以，又因为底面为矩形，所以，因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，为的中点，所以，又因为，，平面，所以平面.（2）如图，以为原点，分别以､､所在的方向为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，又，可得，，又为的中点，所以，所以，，，.设平面的法向量为，则，即，令，解得，，故平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，所以，令，解得，故平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则，即所求锐二面角的余弦值为.18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求面积的最大值．答案：（1）；（2）．解析：思路：(1)由离心率为可得关系式；将代入方程，再根据求得椭圆的标准方程；(2)设直线方程，需要注意斜率是否存在的情况；联立直线与椭圆方程得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到坐标关系，利用找出直线参数之间的关系，结合弦长公式和距离公式计算面积的最大值．（1）由椭圆的离心率，得：，又因为，所以，椭圆的方程可化为，将点代入椭圆方程得：，解得，则；因此椭圆C的标准方程为；（2）设；①当直线l的斜率不存在时，设l：，代入椭圆方程得：，则；由得：，解得，此时；②当直线l的斜率存在时，设l：，联立，消去y得：；；解得：；由韦达定理得：，；由得：，又因为，代入得：将韦达定理结果代入得：；化简得：；所以，代入化简得，得：原点O到直线l的距离，因此：；化简：；由基本不等式可得：，当且仅当：时，“=”成立；即，因此，当且仅当时取等号，综上所述，，故面积的最大值为．19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；（3）若存在两个极值点，试证明.答案：（1）的单调递增区间为，无单调递减区间（2）（3）证明见解析解析：思路：(1)求导后构造辅助函数，通过二次求导来分析的符号.(2)利用这个特殊值，将恒成立问题转化为导数符号问题.(3)极值点等价于导数为零的根，利用构造辅助函数确定，最后根据的单调性将原不等式放缩后得证.19.当时，，的定义域为，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，即，当且仅当时取等号，因此在上单调递增，所以的单调递增区间为，无单调递减区间.20.，令，