2025-2026学年永川中学校高三下册考前自测数学试题 含答案

/数学考试时间120分钟，试题满分150分，试卷共4页.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）.1.样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（）A.6 B.6.5 C.7 D.7.52.复数，则（）A. B. C.2 D.13.若集合，集合，则（）A. B.C. D.4.已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（）A. B. C. D.6.随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（）A.0.6 B.0.8 C.1.25 D.1.67.若直线上存在点，圆上存在点，使得，则实数的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.88.实数满足，则（）A.2025 B.2026 C.2027 D.2028二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.9.在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（

）A.圆的面积为 B.椭圆的长轴长为C.抛物线的焦点到准线的距离为1 D.双曲线的离心率为10.设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（）A. B.C. D.11.数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（）A.“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形B.“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形C.三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为D.三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.12.用斜二测画法画一个边长为的正方形，其直观图面积为.则展开式的常数项为_____.13.已知定义在上的偶函数满足，且，则________.14.有正整数，满足，且，现从以上6个正整数中任选3个组成三位数，则组成的不同三位数个数有___________．四、解答题（本题共5小题，共77分）.15.我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度(单位：)，与其根茎长度(单位：)之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：样本编号1234根茎长度10121416植株高度6286112132参考数据：，，.（1）由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系(若，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001)；（2）求y关于x的经验回归方程．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，16.的内角的对边分别为，且.（1）判断的形状；（2）若为锐角三角形，，求的最大值.17.如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．（1）证明：平面；（2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．18.已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限交于点，.（1）求p的值.（2）设点B，D，E均在第一象限，且点B直线l上，点D，E在C上.①是否存在点B，D，使得四边形FBAD是以FB，FD为邻边的平行四边形？若存在，求出平行四边形FBAD的面积；若不存在，请说明理由.②是否存在点B，D，E，使得四边形FBED是以FB，FD为邻边的矩形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由.19.已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若在上恰有2个零点，求m的取值范围；（3）若，是的极值点，求证：．

数学考试时间120分钟，试题满分150分，试卷共4页.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）.1.样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（）A.6 B.6.5 C.7 D.7.5答案：C解析：思路：首先明确上四分位数即第75百分位数，再根据个数据的第百分位数的求法求解即可.解答过程：已知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，由，该样本数据是从小到大排列的，故样本数据的上四分位数为第8个数据7.故选：C2.复数，则（）A. B. C.2 D.1答案：D解析：思路：根据复数的除法运算化简复数，从而根据模长公式得.解答过程：复数，故.故选：D.3.若集合，集合，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先解不等式得到集合，集合，所以由交集的运算得到.解答过程：由得到,则，由，则所以集合，集合，所以故选B4.已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：C解析：思路：根据为、的等差中项得出，结合可求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.解答过程：一方面，若，由可得，此时，则为、的等差中项，所以“”“为、的等差中项”；另一方面，若为、的等差中项，所以，所以，解得，故“”“为、的等差中项”.所以“”是“为、的等差中项”的充要条件.5.函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由直线与函数图象的相邻两交点间距离为，求得最小正周期；根据正切函数的对称性求得，从而求得其最小值.解答过程：因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为，所以函数的最小正周期为，所以，所以.由函数的图象关于点对称，得，所以.所以正实数的最小值为.6.随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（）A.0.6 B.0.8 C.1.25 D.1.6答案：B解析：思路：由题可得，，代值化简即可求解./解答过程：已知工时递减速率，且,所以，由于生产前件产品的平均工时：，生产前件产品的平均工时：，所以，将​，代入：，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.87.若直线上存在点，圆上存在点，使得，则实数的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：D解析：思路：设点和，根据题意，得到，代入圆的方程，整理得到关于的一元二次方程，结合，列出不等式，即可求解.解答过程：因为点在直线上，不妨设点，且，又因为向量，可得，解得，因为点在圆上，可得，整理得，该方程是关于的一元二次方程，存在实数解的充要条件为，即，整理得，即，解得，所以实数的最大值为.8.实数满足，则（）A.2025 B.2026 C.2027 D.2028答案：C解析：解答过程：设，因为，所以当时，，即，又函数和函数在上都单调递增，故在上也单调递增，又，，，.二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.9.在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（

）A.圆的面积为 B.椭圆的长轴长为C.抛物线的焦点到准线的距离为1 D.双曲线的离心率为答案：AD解析：思路：利用平面几何知识可判断AB，建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程可判断CD.解答过程：由题意底面半径为1，圆锥高，对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的，即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确；对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为，为母线的中点，，，椭圆的长轴长，B错误；对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为x轴，在平面中建立平面直角坐标系，则，，设抛物线方程为，则，解得：，则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误.对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上，

则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为，设双曲线方程为，则，将代入双曲线方程得，解得，所以，故双曲线的离心率为，D正确.10.设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用二项分布的期望与方差公式可判定A，利用随机变量的期望与方差公式可判定B、C，由正态分布的对称性可判定D.解答过程：依据二项分布相关公式，．依据正态分布定义，．故而由期望可加性，A选项正确．由随机变量数学期望和方差的相关性质，，，因此B选项正确，C选项错误．由正态分布的相关性质，有，而，所以，D选项正确．故选：ABD11.数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（）A.“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形B.“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形C.三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为D.三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为答案：ABC解析：思路：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．解答过程：如图，将“等腰四面体”补成一个长方体.设此“等腰四面体”的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，则，得，，.结合图形，容易判断出AB都是正确的；对于C，由，，，得，，，因为“等腰四面体”的体积是对应长方体的体积减去四个小三棱锥的体积，所以“等腰四面体”的体积为，故C正确；对于D，三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为，故D不正确.故选：ABC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.12.用斜二测画法画一个边长为的正方形，其直观图面积为.则展开式的常数项为_____.答案：解析：思路：先根据斜二测画法求出直观图的面积，进而求出，再根据二项式定理求出展开式的常数项.解答过程：正方形斜二测画法直观图面积为，可得，展开式的通项公式为，令，则，所以展开式的常数项为.13.已知定义在上的偶函数满足，且，则________.答案：解析：思路：推导出函数是周期为的周期函数，结合周期性可得出的值.解答过程：因为定义在上的偶函数满足，所以，所以，所以函数是周期为的周期函数，且，因为，故.故答案为.14.有正整数，满足，且，现从以上6个正整数中任选3个组成三位数，则组成的不同三位数个数有___________．答案：13解析：解答过程：若，则无解；若，则，所以，因为5为质数，又，所以，解得，若1的个数小于等于3，由，可得，又，代入得，所以，因为，所以可得，所以，所以的值只能为4，5，6.若，只能是，则，解得，若，因5是质数，无法分解为两个大于等于2的整数的乘积，故舍去；若，只能是，则，解得，综上所述：若1的个数小于等于3，该方程无正整数解，所以6个数字为1，1，1，1，2，6.从中任选3个排成三位数，取3个1，有1种排法；取2个1，取1个2或1个6，有种排法；取1，2，6，有种排法；所以组成的不同三位数个数有.四、解答题（本题共5小题，共77分）.15.我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度(单位：)，与其根茎长度(单位：)之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：样本编号1234根茎长度10121416植株高度6286112132参考数据：，，.（1）由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系(若，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001)；（2）求y关于x的经验回归方程．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，答案：（1），可用线性回归模型拟合与的关系；（2）解析：思路：（1）求出，，，，根据，可判断出可用线性回归模型拟合与的关系；（2）求出和，从而得到关于的经验回归方程.（1），，，，，可用线性回归模型拟合与的关系；（2），，故关于的经验回归方程为.16.的内角的对边分别为，且.（1）判断的形状；（2）若为锐角三角形，，求的最大值.答案：（1）为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形（2）解析：思路：（1）利用三角恒等变换公式化简后分别讨论各项为0时的情况即可；（2）先根据（1）中的结论判断此时为等腰三角形，再利用正弦定理将边化为角，构造关于角B的三角函数求值域，注意角B在锐角三角形中的范围即可.（1）由题意：，整理得，故或，当时，，为直角三角形，当时，，为等腰三角形，当且时，，，为等腰直角三角形.所以为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.（2）由（1）知，若为锐角三角形，则一定为等腰三角形，，由正弦定理得，，，因为为锐角三角形，所以，解得，当时，即时取最大值，最大值为.综上，最大值为17.如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．（1）证明：平面；（2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）取的中点，连接，，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出；（2）法一：先根据体积求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值；法二：先根据体积求出点到平面的距离，延长和交于点，过作于，找到为平面与平面的夹角，再根据三角形面积相等得，同时结合即可求出.（1）取的中点，连接，，，分别是和的中点，与平行且xd；和都垂直于平面，且，与平行且相等，与平行且相等，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）设到平面的距离为，则，故．法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系，，，，，，，设，则，，，设平面的法向量为，则由得取，得，，因此平面的一个法向量．由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量．设平面与平面的夹角为，则，∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为．法二：延长和交于点，过作于，平面，，又,，且两直线在平面内，平面，，为平面与平面的夹角，由，得，而，所以，当且仅当时等号成立；，，∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为．18.已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限交于点，.（1）求p的值.（2）设点B，D，E均在第一象限，且点B直线l上，点D，E在C上.①是否存在点B，D，使得四边形FBAD是以FB，FD为邻边的平行四边形？若存在，求出平行四边形FBAD的面积；若不存在，请说明理由.②是否存在点B，D，E，使得四边形FBED是以FB，FD为邻边的矩形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）①存在，24；②存在，解析：思路：（1）根据抛物线的定义求；（2）①根据直线轴，得出直线的方程，进而计算平行四边形的顶点坐标，即可计算面积；②，，当时求出矩形顶点坐标推出矛盾，当时求出矩形顶点坐标，将点坐标代入抛物线方程中求出即可.（1）由抛物线定义知，，解得；（2）由（1）可得抛物线，，①若四边形FBAD是平行四边形，则，所以直线DF的方程为，由，得，因为点B，D均