2025-2026学年云南开远市第一中学高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.52.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.设，则（）A. B.C. D.4.已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.5.在中，内角所对的边分别为，且，则（）A. B. C. D.6.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.7.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值为（）A. B. C. D.8.已知平面向量满足，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部为B.复数在复平面中对应的点在第三象限C.D.10.一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（）A.事件与事件是互斥事件 B.事件与事件是对立事件C.事件与事件相互独立 D.11.已知函数，则（）A.是奇函数B.C.在上单调递减D.若，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为___________.13._____．14.在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C；（2）若的面积为，求a、b的值．16.已知幂函数在上单调递增.（1）求的值；（2）当时，求函数的最小值.17.已知函数的最小正周期为，最大值为.（1）求函数的解析式和对称中心；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.18.某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值以及自习时间在内的学生人数；（2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.19.如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且．（1）若二面角的大小为，求DM的长；（2）当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：C解析：思路：利用基本不等式计算可得.解答过程：因为，所以（当且仅当，即时取等号）.所以的最小值为.故选：C2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，，可得.3.设，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用对数、指数函数的单调性，分别和，比较大小即可.解答过程：对数函数在上单调递增，且，因为，所以，即；因为指数函数在上单调递增，且，因为，所以，即；又因为，因此大小关系为.4.已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由题意所求变为或，求解即可得答案．解答过程：因为是定义在上的减函数，且，所以当时，，当时，，由，得或，即或，解得或，所以解集为．故选：C．5.在中，内角所对的边分别为，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解.解答过程：由，根据正弦定理得，设，可得，故选：B.6.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据条件，可得弧长、半径和圆心角的关系，结合面积公式，即可得答案.解答过程：设扇形的半径为r，弧长为l，则，解得，所以.7.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意求出圆锥的底面半径，高，母线长，再结合圆锥的轴截面构造等式即可求出.解答过程：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，有，可得，圆锥的轴截面如图，设体积最大的球的半径为，有，有，解得，故该球的最大体积为．故选：C.8.已知平面向量满足，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：将两边平方，整理得，令，所以，即可求解．解答过程：因为，且，所以，所以，令，所以，其中，所以，即的取值范围是．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部为B.复数在复平面中对应的点在第三象限C.D.答案：BC解析：思路：由复数除法求得，然后根据复数的概念、几何意义，复数的运算判断各选项．解答过程：的虚部为5，故A错误；在复平面中对应的点在第三象限，故B正确；，故C正确；虚数不能比较大小，故D错误，故选：BC.10.一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（）A.事件与事件是互斥事件 B.事件与事件是对立事件C.事件与事件相互独立 D.答案：BC解析：思路：根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案.解答过程：样本空间为．因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误；因为，所以事件与事件为对立事件，故正确；因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确；因为，所以，故D错误．故选：BC.11.已知函数，则（）A.是奇函数B.C.在上单调递减D.若，则的最大值为答案：AC解析：思路：求得函数定义域，结合奇函数定义可判断A，由函数定义域可判断B，通过时，，结合和的单调性即可判断C，由得到，再结合基本不等式即可判断D.解答过程：对A：，要使得函数有意义，则，解得且，所以的定义域关于原点对称，且，从而是奇函数，A正确；对B：当时，，由定义域可知无意义，故错误；对C：当时，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，故在上单调递减，C正确；对D：当，且时，即，化简得，则，当且仅当，即或时取“=”，的最大值为，D错误．故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为___________.答案：10解析：思路：根据分层抽样的特点：按比例抽样，即所占比例不变．解答过程：高二人数占总人数的比例为，高二抽取的人数为故10．13._____．答案：解析：思路：由，利用两角和的正切公式变形即可得解.解答过程：，，．故答案为.14.在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______.答案：解析：思路：利用等体积法求得点到平面的距离，进而可求得点到平面的距离的最大值.解答过程：因为平面，，平面，所以，，又，，所以，又，所以，因为，，所以，所以，设到平面的距离为，等体积法可得，即，解得，所以点到平面的距离为，又，所以点到平面的距离的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C；（2）若的面积为，求a、b的值．答案：（1）；（2），或，．解析：思路：（1）利用余弦定理结合，即可求角C；（2）利用面积公式可以求出，再利用余弦定理可以求得，进而可得a、b的值．解答过程：（1）由余弦定理有，因为，可得；（2）由题意有，可得，由余弦定理得：，将，代入可得：，可得，所以，所以，由，解得或故，或，．16.已知幂函数在上单调递增.（1）求的值；（2）当时，求函数的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据幂函数的定义以及单调性求得的值.（2）讨论对称轴与区间的关系，根据函数的单调性求得在上的最小值．（1）由题意可得：，解得：；（2）由（1），则，对称轴为直线，当，即时，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递减，所以．综上所述，17.已知函数的最小正周期为，最大值为.（1）求函数的解析式和对称中心；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.答案：（1）；，（2）解析：思路：（1）利用已知函数的性质求参数，再由正弦型函数的性质求对称中心；（2）经过变换得到解析式，将零点问题转化成交点问题求解.（1）由，得

，而，得.所以由，得，而，所以，则.由解得，，所以的对称中心为，.（2）将的图象向左平移个单位，得到函数，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数.由函数在区间上有两个不同的零点，即在区间上有两个不同的交点.而时单调递增，时单调递减，且，，，所以有.18.某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值以及自习时间在内的学生人数；（2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.答案：（1）；（2）105小时（3）解析：思路：（1）利用频率直方图的性质即可求解；（2）利用频率直方图的中点值结合均值算法，可估计总体平均值；（3）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率.（1）由频率分布直方图可知：，解得，一个学期自习时间在内的学生人数为；（2）该校学生一个学期自均时间，即估计该校每个学生一个学期自均时间为105小时；（3）一个学期自习时间落在的抽取人数为，这4人分别记为A，B，C，D，一个学期自习时间落在的抽取人数为，这2人分别记为a，b，再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为：，共有15个样本点，其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点，所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.19.如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且．（1）若二面角的大小为，求DM的长；（2）当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）利用直棱柱和底面是有角的菱形，可作出二面角的平面角，从而解直角三角形即可.（2）利用等体积法来求线面角，即只需要求出点N到平面的距离，再用距离与长度的比值就是线