2025-2026学年云南玉溪第一中学（北校区）高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.1.等比数列的公比为，则（）A. B. C. D.2.已知向量，，若，则|（）A.2 B. C.3 D.3.在中，已知，，，则（）A. B. C.12 D.284.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（）A. B.2π C. D.7π5.已知，则（）A. B.C. D.6.如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（）A.8 B.4 C. D.7.规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（）（参考数据：）A. B. C. D.8.设a∈R,b∈A.-2 B.-1 C.0 D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（）A.若，则圆和圆相离B.若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是C.若圆和圆外切，则D.若圆和圆内切，则10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的周期为B.的图像关于直线对称C.在区间上单调递减D.是的一个对称中心11.1688年，笛卡尔根据塔索研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程，则下列选项中正确的是（）A.笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点B.笛卡尔叶形线关于直线对称C.当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为D.当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.13.函数的最小值为________.14.笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为，则数学期望_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2）记，若，求.16.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.海水浓度（‰）34567亩产量(吨)0.620.580.490.40.31残差（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；（2）（i）完成上述残差表；（ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)(附：残差，决定系数)17.在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G.（1）求证：E，O，F三点共线；（2）若四边形为平行四边形，求的值.18.已知函数.（1）求证：；（2）若函数无零点，求a的取值范围.19.已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若动点为椭圆外一点，过P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，直线OP与椭圆交于A，B两点（点A在PO延长线上）．（ⅰ）求直线MN的方程；（ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出此时动点P的轨迹，若不存在，请说明理由．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.1.等比数列的公比为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：利用等比数列通项公式可得：.2.已知向量，，若，则|（）A.2 B. C.3 D.答案：D解析：思路：根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解.解答过程：因为向量，，且，所以，解得，所以，所以．3.在中，已知，，，则（）A. B. C.12 D.28答案：A解析：解答过程：由余弦定理，，所以.4.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（）A. B.2π C. D.7π答案：D解析：思路：首先求圆台的高，再代入体积公式，即可求解.解答过程：设圆台的高为，由题意可知，，得，圆台的体积.故选：D5.已知，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.解答过程：因为，又因为对数函数在上单调递增，且，所以，即.，，由于，，且函数在上单调递增，所以，即.综合以上两个比较结果，可得.故选：A6.如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（）A.8 B.4 C. D.答案：D解析：思路：根据求出直线方程，与抛物线联立求出点横坐标，再根据抛物线定义求解即可.解答过程：抛物线的焦点.设，因为，所以，直线方程为，与联立整理得，，即，解得或，所以点横坐标或，当时，，不符合题意，舍去.所以，所以.故选：D7.规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（）（参考数据：）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据，求得的值，即可得到的值，，化简整理，取以10为底的对数，计算即可得到所求最小值．解答过程：因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，根据题设，得，，可得，所以，，由，得，两边取10为底对数，整理得，，，因此，至少还需过滤20小时，故选：B.8.设若函数，则（）A.-2 B.-1 C.0 D.1答案：C解析：解答过程：由题意可知：的定义域为−b−1令解得；令解得；则当x∈(−b−1,−b)时，log当x∈(−b,+∞)时，log故，所以.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（）A.若，则圆和圆相离B.若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是C.若圆和圆外切，则D.若圆和圆内切，则答案：BD解析：思路：把圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，借助两圆的位置关系进行判断.解答过程：圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径.对A：当时，，因为故两圆相交，故A错误；对B：当时，两圆相交，公共弦所在直线方程为：，即，故B正确；对C：由两圆外切，得，故C错误；对D：由，故D正确.故选：BD10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的周期为B.的图像关于直线对称C.在区间上单调递减D.是的一个对称中心答案：ABC解析：思路：先用倍角公式合并，再作出图像，利用图像性质进行判断.解答过程：，画出函数图像，如图所示：

根据图像得，函数周期，故A正确；过最值点和零点的垂线都是对称轴，，所以的图像关于直线对称，故B正确；当时，，此时，且单调递减，故C正确.，则是的一个对称轴，无对称中心，故D错误；11.1688年，笛卡尔根据塔索研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程，则下列选项中正确的是（）A.笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点B.笛卡尔叶形线关于直线对称C.当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为D.当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为4答案：ABD解析：思路：令，计算可判断A；将点代入方程计算可判断B；结合题意根据B，令，得出点坐标计算可判断C；结合基本不等式计算可判断D.解答过程：对于A，在中，令，得，令，得，所以笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点，故A正确；对于B，在中，将点代入可得，显然方程不变，所以笛卡尔叶形线关于直线对称，故B正确；对于C，当时，方程，由B可知，笛卡尔叶形线关于直线对称，将代入曲线可得，解得，即，此时点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，，故C错误；对于D，当时，方程，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，解得，此时，经检验，点在曲线上，所以的最大值为4，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.答案：##解析：解答过程：在三棱柱中，，所以异面直线与所成的角即或其补角，因为，，所以，因为，，，平面，平面，所以平面，又，所以平面，因为平面，所以，因为，，所以，因为异面直线所成角的范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为.13.函数的最小值为________.答案：3解析：思路：先分离变量，再用均值不等式解答过程：，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立.14.笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为，则数学期望_________.答案：解析：思路：确定的可能取值，求得对应概率，即可求解.解答过程：依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为，其中：三次飞出同一只蝴蝶，选择蝴蝶的情况有6种，故PX：恰好两只不同蝴蝶飞出（即一只飞出两次，另一只飞出一次），选取飞出两次的蝴蝶有6种方式，选取飞出一次的蝴蝶有5种方式，其中选取飞出一次的蝴蝶的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，故PX：三只不同蝴蝶飞出，由排列数可知事件的可能情况有种，故PX所以EX=1×四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2）记，若，求.答案：（1）（2）当为偶数时，；当为奇数时，解析：思路：（1）由的关系，通过作差法即可求解；（2）通过裂项相消法即可求解.（1）数列中，，当时，an=而满足上式，所以数列的通项公式是.（2）由（1）得，Pn而，因此Pn故当为偶数时，；当为奇数时，.16.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.海水浓度（‰）34567亩产量(吨)0.620.580.490.40.31残差（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；（2）（i）完成上述残差表；（ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)(附：残差，决定系数)答案：（1）吨.（2）残差表见解析；，拟合效果较好.解析：思路：（1）先求出平均数，代入经验回归方程即可求出b，从而求解.（2）（i）根据经验回归方程求解，从而可得；（ii）根据公式求出决定系数，进而判断.（1）根据题中数据可知，，将样本中心点的坐标代入经验回归方程得，解得，所以经验回归方程为.当时，，即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为吨.（2）（i）由经验回归方程可得，；，；，；，；，.所以残差表如下：海水浓度（‰）34567亩产量(吨)0.620.580.490.40.31残差（ii）由上数据可知，，所以决定系数，与1比较接近，所以拟合效果较好.17.在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G.（1）求证：E，O，F三点共线；（2）若四边形为平行四边形，求的值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）因为是平面与平面的交线，由平面基本事实即可得E，O，F三点共线；（2）由线面平行的性质结合条件可得，易得为重心，则，进而可.（1）因为平面，平面，所以平面.同理平面，所以平面平面.又因为平面，平面，所以.即E，O，F三点共线.（2）若四边形为平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.在正三棱锥中，平面，则为正三角形的中心，即为重心.连接并延长交于点Q，则.由（1）可知，.又，则.所以.18.已知函数.（1）求证：；（2）若函数无零点，求a的取值范围.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）求出，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.（2）分三种情况讨论，当时求出，利用导数可得函数最大值，根据无零点建立不等式求解，当时，可得满足无零点.（1），则当时，，当时，，故在上为增函数，在上减函数，故即.（2），故，当时，在定义域上无零点;当时，，故，所以当时，，当时