2025-2026学年云南德宏州高二下册普通高中学校期中教学质量监测数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)．1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3.学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是（）A.20 B.30 C.35 D.404.在的展开式中，的系数是（）A.15 B. C.30 D.5.已知在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.7.现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（）A.6 B.12 C.24 D.488.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.是的极值点B.是的极大值点C.的单调递减区间是D.10.已知函数关于下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.直线是函数的一条对称轴C.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象D.的导函数的值域为11.已知函数展开式中二项式系数和为256，则下列说法正确的有（）A.所有项的系数之和为1B.二项式系数最大项为第4项C.D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数在处的切线斜率为，则______.13.有4名学生准备去芒市勐焕大金塔，瑞丽一寨两国，梁河南甸宣抚司署这3个景点游玩．每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有______种（用数字作答）.14.已知正三棱柱内接于半径为2的球，则该正三棱柱体积的最大值为__________．四、解答题：本大题共5小题，其中15题13分，16－17题15分，18－19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在处取得极大值10．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．16.已知在中，角的对边分别为，向量，，.（1）求角C的大小;（2）若成等差数列，且，求c.17.如图，四棱锥的底面是正方形，且．（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积；（3）求平面BDQ与平面ADQ的夹角的正弦值．18.已知椭圆的离心率为，长轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且点是第一象限的点，若，求点的坐标；（3）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若的面积为，求.19.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：当时，．

数学一、单项选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)．1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：因为，.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义即可求解．解答过程：，所以复数的共轭复数为．3.学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是（）A.20 B.30 C.35 D.40答案：B解析：思路：根据组合的知识求得正确答案.解答过程：选出的志愿者中，个女生个男生时，方法数有种，个女生个男生时，方法数有种，所以不同选法有种.故选：B4.在的展开式中，的系数是（）A.15 B. C.30 D.答案：A解析：解答过程：二项式展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.5.已知在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由已知条件得出在上恒成立，利用参变量分离法得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围.解答过程：由可得，由条件只需，即在上恒成立，由基本不等式可得，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为4，故只需.故选：B.方法提示：结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.6.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：对函数求导得到，再利用导数的几何意义求解即可.解答过程：因为，所以，则在点处切线的斜率为，故切线方程为，即.7.现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（）A.6 B.12 C.24 D.48答案：C解析：思路：根据排列数以及分步计数原理即可求解.解答过程：根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法，然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有，最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法，根据分步计数原理可知排法种数为，故选：C.8.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由函数有两个不同的零点，转化为函数的图象与直线有两个交点，利用求导判断函数单调性和图象趋势，分析即得参数范围.解答过程：函数有两个不同的零点，则方程有两个不同的实根，也即函数的图象与直线有两个交点.由求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，且，当时，取得极小值.作出函数的图象：由图可知，当且仅当时，函数与直线有两个交点，故实数的取值范围是.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.是的极值点B.是的极大值点C.的单调递减区间是D.答案：BC解析：思路：根据给定的函数图象，求出函数的单调区间，结合极值点的意义逐项判断.解答过程：观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，但在两侧符号不变，所以不是的极值点，所以A错误，B正确；的单调减区间是，所以C正确；函数在上单调递增，所以，所以D错误.10.已知函数关于下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.直线是函数的一条对称轴C.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象D.的导函数的值域为答案：BCD解析：思路：根据周期公式判断A；代入验证可判断B；利用平移变换可判断C；求导后结合余弦函数性质判断D.解答过程：对A，由题知，所以的最小正周期，错误；对B，因为，所以直线是函数的一条对称轴，正确；对C，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得，正确；对D，令，，则，即，由余弦函数性质可知，的值域为，正确.11.已知函数展开式中二项式系数和为256，则下列说法正确的有（）A.所有项的系数之和为1B.二项式系数最大项为第4项C.D.答案：ACD解析：思路：对于A，令，代入计算即得；对于B，利用二项式系数的单调性可求；对于C，分别取和，计算即得；对于D，对二项式两边取导数，再代入计算即得.解答过程：由题意，，解得，对于A，在展开式中，令，可得所有项的系数之和为，故A正确；对于B，因，则二项展开式有9项，故二项式系数最大项为第5项，故B错误；对于C，在展开式中，令，得，令，可得，两式相减，得，故C正确；对于D，对两边求导得，令，得，即，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数在处的切线斜率为，则______.答案：3解析：思路：根据求解即可.解答过程：由题可知，，解得.13.有4名学生准备去芒市勐焕大金塔，瑞丽一寨两国，梁河南甸宣抚司署这3个景点游玩．每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有______种（用数字作答）.答案：36解析：解答过程：由题意，必有两个人去了同一个景点，所以不同的游玩方式有.14.已知正三棱柱内接于半径为2的球，则该正三棱柱体积的最大值为__________．答案：解析：思路：设的外接圆半径为r，边长为a，正三棱柱的高为，求得正三棱柱体积的表达式，然后利用导数求得体积的最大值.解答过程：设的外接圆半径为r，边长为a，正三棱柱的高为，则，，即，所以正三棱柱的体积．又，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以当时，函数取得最大值．故方法提示：关键点点睛：一是根据几何体的结构求得几何体体积的表达式；二是求得体积的表达式后，根据表达式的结构，选择合适的求最值的方法，如二次函数的性质、基本不等式、导数等等.四、解答题：本大题共5小题，其中15题13分，16－17题15分，18－19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在处取得极大值10．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．答案：（1）；（2）最大值为10，最小值为2.解析：思路：（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解，（2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答.（1），故且，解得，则，令，则，当时，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取到极大值，故满足题意.（2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减，且极大值为,极小值为，又因为故函数

在区间

上的大值为10，最小值为2.16.已知在中，角的对边分别为，向量，，.（1）求角C的大小;（2）若成等差数列，且，求c.答案：（1）；（2）6.解析：思路：（1）由已知、向量数量积坐标表示及和角正弦公式得，再由二倍角正弦公式化简，即可得；（2）根据等差数列的性质、正弦边角关系得，再由向量减法法则及数量积的定义得，最后应用余弦定理求边长.（1）由题设，又，在中，，则，所以，故.（2）由成等差数列，可得，则，因为，所以，即，所以.由余弦定理，得，所以，所以.17.如图，四棱锥的底面是正方形，且．（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积；（3）求平面BDQ与平面ADQ的夹角的正弦值．答案：（1）证明见详解；（2）；（3）.解析：思路：（1）利用勾股定理和正方形性质证明平面，然后由面面垂直判定定理可证；（2）作出辅助线，得到，由勾股定理得到各边长，由勾股定理逆定理得到，证明出线面垂直，由棱锥体积公式求出答案；（3）作出辅助线，得到OM，OD，OQ两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量夹角公式求出面面角的余弦值，进而由同角三角函数关系求出正弦值（1）因为，所以，所以，又底面为正方形，所以，因为是平面内的两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）取的中点，连接，因为，所以，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，，所以，四边形的面积为，四棱锥的体积为；（3）过作交BC于M，则，由（2）知平面，又平面，所以，以为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，所以，，，，故，，设平面的法向量为，则，故，取，则，，故平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，所以，所以，所以平面与平面的夹角的正弦值为18.已知椭圆的离心率为，长轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且点是第一象限的点，若，求点的坐标；（3）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若的面积为，求.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由离心率得，长轴长为，结合，解出即可；（2）设，代入椭圆方程中得到一个方程，再表示出，根据得出方程，联立解出即可；（3）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程得出韦达定理，表示出弦即为的底，再利用点到直线距离公式求出以为底的高，表示出的面积解出参数，然后代入的表达式中即可.（1）由椭圆的离心率为，所以，①长轴长为，则，②又，③联立①②③解得：，所以椭圆的方程为.（2）由题意如图所示：由（1）知，由点在椭圆上，且点是第一象限的点设，且，④此时，由，即，化简得：，⑤将⑤代入④解得：或（舍去），将代入⑤中解得或（舍去），所以点的坐标为.（3）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则设直线的方程为：即，如图所示：设，联立，消去整理得：，由，所以，根据弦长公式得：，又到直线的距离为：，所以，解得：，满足题意，所以.19.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：当时，．答案：（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）