初高中数学暑假衔接材料：高一暑假收心卷01（暑假测试）（解析版）

2/14暑假收心卷01（考试时间：120分钟试卷满分：150分）训练范围：人教B版必修第一册。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（

）A．充分必要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【答案】C【解析】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性，“不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”，其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性，故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，所以．3．下列命题是假命题的为（

）A．若，，则B．若且，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】对于A：由，所以，故A正确；对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确；对于C：当时，，故C错误；对于D：由，所以，所以，故D正确.4．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用是上的偶函数可知，，由于，又在区间上单调递增，则,故.5．已知，，若是的必要条件，则实数m的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由集合，，因为是的必要条件，则，当时，此时集合为空集，满足；当时，由不等式，可得，即，要使得，则满足，即，解得；当时，由不等式，可得，即，要使得，则满足，即，解得，综上可得，实数m的取值范围为.6．学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（

）A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数【答案】B【解析】由题意，设高一学生去甲地的人数为A，去乙地的人数为，高二学生去甲地的人数为C，去乙地的人数为D，∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：，∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得，∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误.7．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，，当且仅当即时等号成立，的最小值为．8．设函数，其中表示，y，中的最小者．若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数，当且时，.解不等式组得，；当且时，.解不等式组得，；当且时，.解不等式组得，；所以，①当时，，若，即，则，不等式恒成立，故符合题意；若，即，则，不等式化为，解得或，所以符合题意，所以符合题意；②当时，，此时，故，不等式为，即，解得，综合可得符合题意；③当时，，，不等式为，即，无解．综上所述，实数的取值范围为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知集合，，若，则a的取值可以是（

）A． B．0 C．2 D．【答案】BC【解析】因为，又，，所以或，解得或或，当时，，，满足要求，当时，，，满足要求，当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求,所以或2.10．下列说法错误的是（

）A．已知集合，且，则实数m为或3B．当时，的最小值是5C．不等式解集为或D．命题“”的否定是【答案】ACD【解析】对选项A：∵，∴或，解得或或.根据集合元素的互异性，若，则，元素重复，舍去；若，则，元素重复，舍去；若，则，满足互异性，故，选项A错误.对选项B：∵，∴，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5，选项B正确.对选项C：不等式等价于，解得或，选项C中将纳入解集，忽略分母不为的要求，错误.对选项D：全称命题的否定为特称命题，仅否定结论，不改变量词的限定范围，故命题“”的否定为“”，选项D中错误修改了限定范围为，错误.11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．B．为偶函数C．当时，在区间上单调递增D．当时，【答案】AB【解析】A：∵，∴，∵，∴，∴，故A正确.B：函数定义域为，关于原点对称，若，则，，若，则，，∴对任意，均有，即为偶函数，故B正确.C：令，在上，，当时，，不满足单调递增的定义，故C错误.D：取，满足，∵，∴，∵，∴，此时，故D错误.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若对任意，不等式都成立，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】对任意，不等式都成立，所以，即，解得，即k的取值范围是.13．已知，y均为正数，若，则最小值为________.【答案】【解析】已知，对已知等式变形得x(y+1)=8−y⟹x=8−yy+1将上式代入中化简得.由基本不等式得，因此，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.14．已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由方程有两个不等实根，，由判别式可得，解得，根据韦达定理，得到，所以，因为在上单调递增，所以，所以，即，解得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知集合，或，，．(1)求，(2)若，求实数m的取值范围．【解析】（1），或，或；又，则.（2），则需，解得，故实数m的取值范围为.16．（15分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）.(1)将利润表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？【解析】（1）设月产量为台，利润为元，则总成本为元，因，则当时，；当时，.故；（2）当时，，所以当时，取得最大值25000；当时，是减函数，所以.所以当时，的最大值为25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.17．（15分）已知关于x不等式．(1)若时，求不等式的解集；(2)若，解这个关于的不等式；(3)，恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1）当时，则，即，因式分解可得：，所以，则不等式的解集为.（2）当时，则为，即，当时，则，因式分解可得：，当时，有，则此时不等式解集为，当时，等价于，若，即时，不等式解集为，若，即时，不等式解集为，若，即时，不等式解集为空集，综上所述，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.（3）因为，所以，因为，则，则题目等价于，，令，因为，所以，则，由基本不等式，当且仅当时取等号，因此的最大值为，即，所以实数a的取值范围为.18．（17分）已知满足对任意，都有，且，当时，．(1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)判断并证明在上的单调性；(3)求不等式的解集．【解析】（1）依题意，函数对任意的，都有，令，得，是奇函数，证明如下：用代替y，得，则，所以是奇函数.（2）在上是单调递减的函数，理由如下：任取，则，由已知得，则，∴，∴在上是单调递减函数．（3）由于，则，所以，又因为，所以．因为又因为，所以不等式可化为，由于在上是单调递减，，即，即，所以不等式的解集为.19．（17分）对于定义在上的函数，如果存在实数（），使得对任意的，都有，且存在使得，存在使得，则称是上的“闭函数”，区间称为的“闭区间”.(1)判断函数在区间上是否为“闭函数”，并说明理由；(2)若函数在区间上是“闭函数”，求实数m的取值范围；(3)若函数是R上的“闭函数”，求实数k的取值范围.【解析】（1）函数在区间上，当时，取最小值；当或x=2时，取最大值.所以对任意，有，且存在使，存在或使.因此函数在区间上是“闭函数”，闭区间为.（2）因为函数在区间上单调.若，则在上单调递减，所以，即.由“闭函数”定义得，所以.此时闭区间为.同理，若，则在