2025-2026学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知集合M={0，1，2，3，4}，N={x|2＜3x＜64}，则M∩N=（）A.{0，1，2，3} B.{1，2，3} C.{1，3} D.{1，2}2.若复数z满足zi=1+i，则z的共轭复数是（）A.-1-i B.1+i C.-1+i D.1-i3.在数列{an}中，a1=2，，则a7的值为（）A. B.2 C.-1 D.4.若直线x-my-5=0与直线x-y-1=0垂直，则这两条直线的交点坐标为（）A.（-3，4） B.（-3，-4） C.（3，-2） D.（3，2）5.函数f（x）=cos2x-2sinx+1的值域是（）A.[-3，2] B.[1，3] C.[-2，3] D.6.一组不全相等的数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（）A. B. C. D.7.已知函数，则不等式f（x）＜1的解集为（）A.（-∞，-1） B.（2，+∞）

C.（-∞，0）∪（2，+∞） D.（-1，0）∪（2，+∞）8.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是（）A.E，F，G，H四点共面

B.BB1与FH是异面直线

C.∠EGH=∠FHG

D.EG，FH，AA1三线共点

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若f（x）是偶函数，则a=1

B.若f（x）是奇函数，则a=-1

C.若f（x）＞0，则a的取值范围为（0，+∞）

D.f（x）的最小值为10.已（x+1）5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则（）A.a0=32 B.a1+a2+…+a5=211

C.a5=-1 D.a1+a3+a5=12111.下列说法正确的是（）A.

B.若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是锐角三角形

C.在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形或直角三角形

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（3-x）=f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=3x-1+1，则f（2026）=

.13.正三棱锥P-ABC中，AB=3，侧棱PC=3，则三棱锥P-ABC的外接球体积为

.14.设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），2f（x）+xf′（x）＞0，并且f（1）=1，则不等式（x-4）2f（x-4）＞1的解集为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}是等差数列，{an}的前n项和记为Sn，a3=3，S4=10.

（1）求{an}的通项公式；

（2）令，记bn的前n项和为Tn，求Tn.16.(本小题15分)

记抛物线Γ：y2=4x的焦点为F.

（1）设P（x0，y0）为Γ上一点.用含x0的代数式表示|PF|，并求当y0=2时|PF|的值；

（2）过点M（2，0）的直线l与Γ相交于A，B两点，满足•=-15.求l的方程.17.(本小题15分)

明德中学数理研究小分队调查学生物理成绩与数学成绩的关联，得到如下数据：在一次高一年级测试数据中，年级有的学生数学及格，这些学生中物理成绩“及格”的概率为；数学不及格的学生中，物理成绩“及格”的概率为.

（1）若从该年级任意抽取一名学生，求该学生物理成绩达到“及格”等级的概率；

（2）已知该小分队高一的8名学生中有5名物理成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记X为抽取的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）经统计，本次学生物理得分Z近似服从正态分布N（65，144），若得分Z≥77，则为“优秀”等级.现从年级抽取50名学生，记Y为这50名学生中“优秀”的人数，求Y的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）

参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ≤ξ≤μ+α）≈0.6827，P（μ-2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973.18.(本小题17分)

如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED=DC=CB=1，现在沿着BE把△ABE折起到△A1BE的位置，连接A1C，A1D，且使得A1C=2，如图2所示.

（1）求证：平面A1BE⊥BCDE；

（2）求直线A1B与平面A1CD夹角的正弦值.19.(本小题17分)

已知函数.

（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（2）当0＜x＜1时，若，求实数a的取值范围.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】AB

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】-2

13.【答案】36π

14.【答案】（5，+∞）

15.【答案】an=n

16.【答案】|PF|=x0+1；y0=2时，|PF|=2

17.【答案】

X的分布列为：X0123P

数学期望为8，方差为7

18.【答案】证明：取BE的中点为O，连接OA1，OC，OD，

由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE，

且ED=DC=CB=1，可得OC=OD=1，且，

因为A1C=2，所以，所以A1O⊥OC，

又由△A1BE