2027届高考数学一轮总复习7.4空间直线、平面的垂直【课件】

第4节空间直线、平面的垂直课标解读

1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握空间中线面垂直的有关性质和判定定理.3.能用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间基本图形的垂直关系的简单命题.强基础•固本增分1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理

定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直

性质定理垂直于同一个平面的两条直线

平行

射影90°0°3.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个

所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作

的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围:

.

半平面垂直于棱l[0,π]4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的

,那么这两个平面垂直

性质定理两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的

,那么这条直线与另一个平面垂直

(2)判定定理与性质定理

垂线交线[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.(

)(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(

)(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(

)×解析

此无数条直线中需要有相交直线才能得到l⊥α.×解析

垂直于同一个平面的两个平面平行或相交.×解析

只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(

)×解析

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1⊥AB,所以BC1垂直于平面ABCD内所有与AB平行的直线,而平面ABC1D1过BC1,显然平面ABC1D1与平面ABCD不垂直.2.(人A必修二教材习题改编)已知直线m,n和平面α,如果n⊂α,那么“m⊥n”是“m⊥α”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B解析

由n⊂α,m⊥n不能推出m⊥α,充分性不成立;若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,必要性成立.故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件.故选B.3.(人A必修二教材习题改编)已知平面α,β和直线m,l,则下列说法正确的是(

)A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥βB.若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥βC.若α⊥β,l⊂α,则l⊥βD.若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥βD解析

若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊂β或l∥β或l与β相交,故A错误;若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l与β相交但不一定垂直,故B错误;若α⊥β,l⊂α,则l⊂β或l∥β或l与β相交,故C错误;由面面垂直的性质定理可知D正确.故选D.4.(人A必修二教材例题改编)如图,AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD垂直于圆柱的底面,则必有(

)A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABDB解析

因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC,又AD垂直于圆柱的底面,所以AD⊥BC.因为AC∩AD=A,AC,AD⊂平面ACD,所以BC⊥平面ACD.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.5.(苏教必修二教材习题改编)在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的投影为点O.(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的

心;

(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的

心.

外垂解析

(1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB,所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.(2)如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点H,D,G.因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,所以PC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,所以PC⊥AB.因为AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面PGC,所以AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,所以AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.图1图2研考点•精准突破考点一直线与平面垂直的判定与性质例1

(2025·广东湛江期末)如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,点E,F分别在PB,PC上,AE⊥PB,AF⊥PC.(1)求证:AE⊥平面PBC;(2)设平面AEF交PD于点G,求证:AG⊥PD.(1)证明

∵四边形ABCD为矩形,∴BC⊥AB.∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥PA.又PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,∴BC⊥平面PAB.又AE⊂平面PAB,∴AE⊥BC.又AE⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,∴AE⊥平面PBC.(2)解

由(1)知AE⊥平面PBC,∵PC⊂平面PBC,∴AE⊥PC.又AF⊥PC,AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,∴PC⊥平面AEF.又AG⊂平面AEF,∴PC⊥AG.∵四边形ABCD为矩形,∴CD⊥AD.∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA.∵PA,AD⊂平面PAD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又AG⊂平面PAD,∴CD⊥AG.∵PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,∴AG⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD,∴AG⊥PD.规律方法

证明线线垂直的思维流程

[对点训练1]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.证明

(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又AB⊥AD,且PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE,∴PD⊥平面ABE.考点二平面与平面垂直的判定与性质例2

(2023·全国甲,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.(1)证明

∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA.∵A1C∩CA=C,A1C,CA⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BB1C1C,∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.

规律方法

1.判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义;(2)面面垂直的判定定理2.面面垂直性质的应用(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.[对点训练2]如图1,山形图是两个全等的直角梯形ABCD和ABEF的组合图,将直角梯形ABEF沿底边AB翻折,得到图2所示的几何体.已知AB∥CD∥EF,AB=2CD=2EF,AB⊥BE,点N在线段CE上,且EN=2NC.在几何体BCE-ADF中,解决下面问题.图1图2(1)证明:AE∥平面BND;(2)若平面BDE⊥平面ABCD,证明:BE⊥AD.证明

(1)连接AC,交BD于点O,连接ON,由于AB=2CD,且AB∥CD,所以OC∶OA=CD∶AB=1∶2,又EN=2NC,所以ON∥AE.又AE⊄平面BND,ON⊂平面BND,所以AE∥平面BND.(2)过点C作CM⊥BD,交BD于点M,由于平面BDE⊥平面ABCD,且平面BDE∩平面ABCD=BD,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面BED,BE⊂平面BED,故CM⊥BE.又四边形ABEF为直角梯形,故AB⊥EB,所以CD⊥EB.又CD,CM⊂平面ABCD,CD∩CM=C,所以BE⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,故BE⊥AD.考点三平行、垂直关系的综合应用例3

(1)(2025·安徽六安期末)设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则下列说法正确的是(

)A.若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥mB.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥αC.若l⊥m,m⊥α,n⊂α,则l⊥nD.若l⊥α,n⊥l,n⊄α,则n∥αD解析

对于A,由n⊥α,l⊥n,得l∥α或l⊂α,m与l可以相交、平行或是异面直线,故A错误;对于B,m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,要使l⊥α,则必有m,n相交,故B错误;对于C,由l⊥m,m⊥α,得l∥α或l⊂α,n与l可以相交、平行或是异面直线,故C错误;对于D,由l⊥α,n⊥l,得n∥α或n⊂α,而n⊄α,因此n∥α,故D正确.故选D.(2)(多选题)(2025·重庆沙坪坝模拟)如图所示,AB为圆锥SO的底面圆的直径,N为母线SA的中点,点C为底面圆上异于A,B的任一点,则圆O上存在点M满足(

)A.MN∥SC B.MN∥平面SBCC.SM⊥AC D.AM⊥平面SBCBC解析

对于A,若存在点M使得MN∥SC,则M,N,S,C四点共面,因为A∈SN,所以A∈平面MNSC,易得A,M,C为平面MNSC与平面ABC的公共点,所以A,M,C三点共线,与题设矛盾,故A错误;对于B,如图所示,过点O作OM∥BC,交劣弧AC于点M,连接ON.由于N,O分别为SA,AB的中点,所以ON∥SB,由于OM,ON⊄平面SBC,BC,SB⊂平面SBC,所以OM∥平面SBC,ON∥平面SBC,又因为OM∩ON=O,所以平面OMN∥平面SBC,由于MN⊂平面OMN,所以MN∥平面SBC,故B正确;对于C,由AB为底面圆的直径,可知AC⊥CB,又OM∥BC,所以AC⊥OM,又易知AC⊥SO,SO∩OM=O,SO,OM⊂平面SMO,因此AC⊥平面SMO,又SM⊂平面SMO,可得SM⊥AC,故C正确;对于D,假设存在点M使AM⊥平面SBC,则AM⊥SB,又因为AM⊥SO,SO∩SB=S,SO,SB⊂平面SBO,所以AM⊥平面SBO,故平面SBC∥平面SBO,与题意不符,故D错误.故选BC.规律方法

1.