天津市部分区2026届高三数学下学期质量调查二含解析

天津市部分区2026届高三质量调查试卷（二）

数学

一、单选题

1．已知集合AxN∣*1x5,B1,3,5，那么AB（）

A．0,1,3B．1,3C．0,1,3,5D．1,3,5

2．“lnalnb”是“ab”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．已知函数yfx的部分图象如图，则fx的解析式可能为（）

xx

A．fxB．fx

exexexex

x2x

C．fxD．fx

exexexex

4．设an为等差数列，Sn为其前n项和，若S3S8，则a6（）

A．8B．6C．3D．0

5．已知m，n是两条直线，，是两个平面．下列命题正确的是（）

A．若m//n,m,n，则//

B．若m//,n//,m,n，则//

C．若m//n,n，则m//

D．若m,mn,n//，则

6．下列结论中正确的是（）

A．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强

B．若随机变量X服从正态分布N1,2，且PX20.7，则P0X10.3

C．若PA0.5，PB0.4，PAB0.3，则PB∣A0.6

D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有

16个

1

7．函数fxlogxx的一个零点所在区间为（）

23

A．7,8B．8,9C．9,10D．10,11

1

8．把函数fx3sinxcosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右

2

π

平移个单位长度后得到函数ygx的图象，则ygx的解析式为（）

3

11π

A．gx2sinxB．gx2sinx

223

π

C．gx2sin2xD．gx2cos2x

6

9．如图，阴影部分的边界为四叶草曲线C，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且

这四条抛物线的焦点共圆．记x轴上的两个焦点为F1,F2，C在第一象限端点为P，若点P在以F1,F2为焦点

的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

41541524

A．2B．C．D．

8105

二、填空题

1i

10．i是虚数单位，___________．

2i

5

2

11．在x的展开式中，x的系数为___________．（结果用数字作答）

x

12．若过点1,0的直线l与圆x2y26x50只有一个公共点，则l的斜率为___________．

13．甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，

若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率

均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第

1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________．

π

14．在平行四边形ABCD中，AB3,AD4,BAD,CB2CE，CF2FD，点M在线段EF上．若

3

AMxAByADx,yR，则3x4y___________；AM的最小值为___________．

ex,x0

1

15．设aR，函数fx1，若关于x的方程fx1恰有一个根，则a的取值范围是

,x0fx

xa

___________．

三、解答题

13

16．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知b13,c1，cosA

13

(1)求a的值；

(2)求B的值；

(3)求cos2AB的值．

17．如图，多面体ABCDA1B1C1是直四棱柱被平面A1C1D所截剩余的较大部分，其中正方形ABCD的边长

为2，BB13．

(1)求证：A1C1平面BB1D；

(2)求直线BC与平面A1C1D所成角的正弦值；

(3)若点P在线段BB1上，且BP2，求平面PA1D与平面A1C1D夹角的余弦值．

x2y2a

18．设椭圆1ab0的上顶点为A，点B1,0，O为坐标原点．已知△OAB的面积为．

a2b24

(1)求椭圆的离心率；

(2)已知直线l：x=2与椭圆相切，过点B的直线l与椭圆交于C,D两点，过点C,D作l的垂线，垂足分别为

M,N两点（M,N两点不重合）．记直线CN,DM的斜率分别为k1,k2，求k1k2的取值范围．

∣，

19．已知数列A:a1,a2,,ann2的各项均为正整数，设集合Txxajai1ijn，记T的元素个

数为PT．

(1)若数列A:1,2,3,5，求集合T；

(2)已知an为正项等比数列，a14，a3是6a2与8a1的等差中项．

（i）求PT；

n

5n4ai

n

（ii）令bnn2，求1bi．

2PTi2

20．已知函数fxx1lnx1x．

(1)求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)证明：fxsinxx；

121n1

(3)证明：sin1sinsinlnn1，nN*．

232n1n

参考答案

1．B

【详解】因为AxN∣*1x51,2,3,4，又B1,3,5，

则AB1,3.

2．A

【详解】若lnalnb，则ab0；

当ab0时，lnalnb不成立，

故“lnalnb”是“ab”的充分不必要条件.

3．A

【详解】由图象可知，函数fx定义域为R，为奇函数，且f10，

x

因为fx定义域为0,，不符合题意，故排除B选项；

exex

22

因为xx，

fxfx

exexexex

x2

所以fx是偶函数，不符合题意，故排除C选项；

exex

1x

因为f10，故fx不符合题意，故排除D选项；

ee1exex

xx1

因为fxfx，f10，

exexexexee1

x

所以fx定义域为R，为奇函数，且f10，

exex

x

故fx的解析式可能为fx，A符合题意.

exex

4．D

【详解】因为S3S8，则a4a5a6a7a85a60，所以a60.

5．A

【详解】对于A，由m//n,m可得n，又有n，且，是两个平面，故//，即A正确；

对于B，如图，取m,n，l，且m//l,n//l，则易得m//,n//，但得不到//，故B错

误；

对于C，由m//n,n，可得m或m//，故C错误；

对于D，如图，设,为长方体的两个相对的底面，m,n是长方体的一条竖直和一条水平的棱，

显然满足m,mn,n//，但得不到，故D错误.

6．C

【详解】在A选项中，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度才越强，

相关系数为负时仅表示负相关，数值越小（负得越多）绝对值越大、相关程度越强，A错误

在B选项中，正态分布N(1,2)的对称轴为x1，由P(X2)0.7得：

P(X2)10.70.3，根据正态分布的对称性可知：

P(X0)P(X2)0.3，所以P(0X2)1P(X0)P(X2)10.30.30.4，

11

所以P(0X1)P(0X2)0.40.2，B错误，

22

在C选项中，根据条件概率公式可得：

P(AB)0.3

P(B∣A)0.6，C正确，

P(A)0.5

1234

在D选项中，正确答案至少选1个，总种数为C4C4C4C415，D错误.

7．C

1113xln2

【详解】fxlogxx定义域为0,，fx，

23xln233xln2

33

令fx0得0x，令fx0得x，

ln2ln2

133

所以fxlog2xx在0,上单调递增，在,上单调递减，

3ln2ln2

10

103

f9log293log29log280，f10log10log10log2，

2322

1010

310310

其中101000,21024，故102，3，3，

102f10log210log220

1

由零点存在性定理可得函数fxlogxx的一个零点所在区间为9,10，

23

其他选项均错误.

8．D

31π

【详解】fx3sinxcosx2sinxcosx2sinx，

226

1π

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y2sin2x，

26

ππ

再把y2sin2x图象向右平移个单位长度得：

63

πππ

gx2sin2x2sin2x2cos2x2cos2x．

362

9．B

pp

【详解】设F1,0,F2,0，

22

因为C在第一象限端点为P，所以点P为抛物线x22py和y22px的交点，

将x22py两边平方得到x44p2y2，

将y22px代入x44p2y2得到x44p22px8p3x，

解得x2p，

将x2p代入x22py解得y2p，则P2p,2p，

2

则p25p，

PF12p2p0

22

2

p241p，

PF22p2p0

22

因为点P在以F1,F2为焦点的双曲线上，

41p5p415p

2aPFPF，

21222

2cp2415

e

2cp，则离心率为2a415p4158，故选项B正确.

2

101

10．/10

55

1i1i2i13

【详解】由于i，

2i2i2i55

1i10

所以.

2i5

11．10

r

5r2

【详解】根据二项式定理，可得其展开式中第项的通项公式为r，

r1Tr1C5x

x

53r

化简可得rr2，

Tr1C52x

53r531

令1，解得r1，所以展开式的第2项为112，

2T2C52x10x

所以x的系数为10.

3

12．

3

【详解】依题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，

即kxyk0，

2

圆x2y26x50，即x3y24，圆心为3,0，半径为2，

3kk4k

直线l与圆只有一个公共点，所以2，

k21k21

3

解得k.

3

13．0.280.45

【详解】甲第1次听写错误的概率为10.60.4，此时第2次由乙听写，乙听写正确的概率为0.7，

故所求概率为0.40.70.28.

第1次听写的人是甲时，第2次仍由甲听写的概率为0.6；

第1次听写的人是乙时，第2次由甲听写的概率为10.70.3.

由全概率公式，第2次听写的人是甲的概率为0.50.60.50.30.45.

535

14．5/3

22

【详解】设EMEF，其中0≤≤1，

1

则AMABBEEMABBCEF

2

1

ABADAFAE

2

1

ABADADDFABBE

2

111

ABADADABABAD

232

211

1ABAD，

322

由于AMxAByADx,yR，

2

x1

3

所以，则x,y为正数，

11

y

22

211

且3x4y3145.

322

2

AMxAByAD9x22xyABAD16y2

π2

9x22xy34cos16y29x212xy16y23x4y12xy

3

2

3x4y2553

253x4y2525，

242

555

当且仅当3x4y,x,y时等号成立，

268

所以AM的最小值为53.

2

1515

15．,

22

ex1,x1

【详解】由题可得fx11，

,x1

x1a

当x0时，fxex，fx1ex1，

11

则fx1可以转化为：ex1，

fxex

1

即e2x11，得2x10，解得x，不满足x0，故舍去；

2

1

当1x0时，fx，fx1ex1，

xa

1

则fx1可以转化为：x1，即x1，

fxexaaex

设gxex1x，则gxex11，

令gx0，解得x1，

当1x0时，gx0，则gx在1,0单调递增，

则g(1)g(x)g(0)，即2g(x)e，

1

当2ae，方程fx1在1,0上有1个根；

fx

1

当a2或ae，方程fx1在1,0有0个根.

fx

11

当x1时，fx，fx1，

xax1a

11

则fx1可以转化为：xa，即(xa)(x1a)1，

fxx1a

151515

令txa，则t(t1)1，解得t，即xa,xa，

21222

1515

由xa1，得a，

122

1515

由xa1，得a，

222

151

故当a时，方程fx1在,1内有2个根；

2fx

15151

当a时，方程fx1在,1内有1个根；

22fx

1-51

当a£时，方程fx1在,1内有0个根；

2fx

1

因为关于x的方程fx1恰有一个根，

fx

1515

综上所述，a的取值范围是,.

22

16．(1)4

π

(2)

3

23

(3)

26

13

【详解】（1）在ABC中，b13，c1，cosA.

13

根据余弦定理a2b2c22bccosA，

13

将b13，c1，cosA代入，

13

13

可得a2(13)2122131()16，

13

因为a为三角形的边长，即a0，所以a4.

（2）因为A是三角形内角，则A(0,π)，所以sinA0.

13239

由sin2Acos2A1，可得sinA1cos2A1()2.

1313

ab

a4，b13,c1，

sinAsinB

413

3

239sinB，sinB.

2

13

13

cosA，A为钝角，B为锐角，

13

π

B.

3

13239

（3）cosA，sinA，

1313

2391343

sin2A2sinAcosA2，

131313

2

21311，

cos2A2cosA121

1313

11143323

cos2ABcos2AcosBsin2AsinB.

13213226

17．(1)证明见解析

(2)322

22

(3)577

77

【详解】（1）补全直四棱柱，则底面A1B1C1D1是边长为2的正方形，连接B1D1，则B1D1A1C1，

由直四棱柱的性质可知，BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，

BB1A1C1，

直四棱柱中，BD//B1D1，

又BB1BDB,BB1,BD平面BB1D，

由线面垂直判定定理得，A1C1平面BB1D．

（2）以B为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，

已知正方形ABCD的边长为2，BB13，

则B0,0,0,A2,0,0,C0,2,0,D2,2,0,A12,0,3,B10,0,3,C10,2,3，

BC0,2,0,A1C12,2,0,A1D0,2,3，

设平面A1C1D的法向量为nx,y,z，则

A1C1n2x2y0

，令y3，则n3,3,2，

A1Dn2y3z0

设直线BC与平面A1C1D所成角为，则

BCn0323026322

sin．

BCn232322222222

（3）已知点P在线段BB1上，且BP2，则P0,0,2，

A1P2,0,1,A1D0,2,3，设平面PA1D的法向量为mx1,y1,z1，

A1Pm2x1z10

则，令，则，

x11m1,3,2

A1Dm2y13z10

由（2）知平面A1C1D的法向量为n3,3,2，

设平面PA1D与平面A1C1D夹角为，则

n/p>

cos

22．

nm323222132221477

18．(1)3

2

(2)4,3

【详解】（1）由已知ab0，点B1,0，有上顶点A0,b，O0,0，△OAB为直角三角形，

1baa

所以OAb,OB1，因此S△OAOB，解得b，

OAB2242

2

222a3

cabaa，

22

c3

故椭圆的离心率e.

a2

（2）由已知，椭圆的右顶点为a,0，xa是椭圆的切线，

而直线l：x=2与椭圆相切，所以a2，

ax2

由（1）知b，所以b1，故椭圆的方程为y21.

24

对于直线l，

①斜率不存在时，直线l:x1，

3333

此时C1,,D1,,M2,,N2,，

2222

=-，

则k13k23，所以k1k23；

②当斜率k0时，直线l:y0，此时M,N两点重合，不符合题意，所以k0；

③当斜率k存在且k0时，直线l:ykx1，

设点Cx1,y1，点Dx2,y2，则点M2,y1，点N2,y2，如下图，

x2

y21

联立椭圆与直线l方程：4，消去y，得14k2x28k2x4k210，

ykx1

22yyyy

8k4k12112

所以，又k1,k2，

x1x22,x1x22

14k14k2x12x2

2

y2y1y1y2y1y2

所以k1k2，

2x12x242x1x2x1x2

22

22216k3k1

其中yyk2xxk2xx4xx，

121212122

14k2

4k2

且42xxxx，

121214k2

16k23k21

2

22

所以14k43k1，

kk

124k214k2

14k2

t1

令t14k2t1，则k2，

4

t1

431

代入得43t143t11，

kk3

12tttt

11

因为t1，所以01，则433，即4kk3.

tt12

综上，k1k2的取值范围为4,3.

19．(1)T1,2,3,4

n1

nn1n4

(2)（i）PT；（ii）161.

2n

【详解】（1）由题意可知数列A:1,2,3,5，得

21321,31532,523,514，

则T1,2,3,4；

（2）（i）设等比数列an的公比为qq0，

2

由题意可知a14，6a28a12a36q82q，

解得q4或q1（不符合题意舍去），

n1n

所以ana1q4，

此时数列A:4,42,43,,4n，

因为1ijn，

nn1nn1

所以集合T中元素最多为C2个，即PT，

n22

23nji

对于数列A:4,4,4,,4，此时ajai44，

若存在aaaa，则j1i1j2i2，其中ji,ji，

j1i1j2i24