2025-2026学年安徽阜阳市临泉县临化高级中学高一下册期中质量测评A卷数学试题 含答案

/数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.向量（）A. B. C. D.2.已知中，内角对应的边分别为，，，若，，则的面积为()A. B. C.4 D.3.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（）A.2 B. C.4 D.84.设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（）A. B. C. D.5.平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（）A. B.C. D.6.如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（）A.1 B. C.3 D.27.如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是（）A. B. C. D.8.如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数满足，则下列说法正确的是（）A.为纯虚数 B.在复平面内，对应的点位于第三象限C.的虚部为 D.10.正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（）A.是正六面体B.正方体的边长为2C.与正方体的表面积之比是D.平面与相交所得截面的面积是11.如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（）A.在折起的过程中始终有平面B.三棱锥的体积的最大值为C.当时，点到的距离为D.当时，点到平面的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，，则等于________．13.如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________.14.如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则_______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，与的夹角是（1）计算；（2）当与的夹角为钝角时，求的取值范围.16.已知向量，，.（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.17.在中，分别是角的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若，，求a的值．18.如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．（1）求证：平面（2）若，求四棱锥的表面积．（3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．19.如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.（1）求证：平面平面；（2）求证：；（3）若，求的值.

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.向量（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用平面向量加法的三角形法则计算.解答过程：根据平面向量加法的三角形法则，可得.故选：A.2.已知中，内角对应的边分别为，，，若，，则的面积为()A. B. C.4 D.答案：A解析：思路：已知两边之和与第三边，直接套用余弦定理公式求出两边之积，再代入面积公式计算.解答过程：由余弦定理可得，所以.所以．故选：A．3.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（）A.2 B. C.4 D.8答案：C解析：思路：根据圆台的侧面积公式可得答案.解答过程：设圆台的母线长为，上，下底面的半径分别为,则圆台的侧面积为，解得故选：C4.设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量的运算法则，分别求得，且，结合投影数量的公式，即可求解.解答过程：由单位向量的夹角为，可得，又由，可得，且，所以向量在上的投影数量为.5.平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：两边平方，结合得到，计算出，由基本不等式求出时，最大为，得到答案.解答过程：因为满足，，所以，所以，所以,由夹角公式得，当且仅当，即时等号成立，因为，在上单调递减，所以，即时，最大为，此时．故选：D6.如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（）A.1 B. C.3 D.2答案：C解析：思路：根据，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解.解答过程：解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则，由四边形是菱形，可得，则，所以，所以，又因为平面，平面，平面平面，所以，所以.故选：C.7.如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用向量的线性表示，表示出向量和向量，再由向量的数量积的运算律化简可得选项.解答过程：由已知得：，设，所以，又点C、O、E三点共线，所以，解得，所以，又，所以，所以，即，所以.故选：A.方法提示：本题主要考查平面向量的线性表示和向量的数量积的应用，属于中档题.8.如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：取的中点，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时，平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，在中，求得，结合，即可求解.解答过程：如图所示，取的中点，连接，，，在正方体中，可得且，因为，分别是棱的中点，则且，所以四边形为平行四边形，则，又因为平面，平面，所以平面，同理可证：平面，因为，且平面，所以平面平面，又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，因为正方体的边长为，可得，，在中，可得，且，则，所以的最小值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数满足，则下列说法正确的是（）A.为纯虚数 B.在复平面内，对应的点位于第三象限C.的虚部为 D.答案：BD解析：思路：先对化简，求出复数，然后逐个分析判断即可解答过程：解：由，得，所以，所以A错误；所以在复平面所对应点在第三象限，所以B正确；的虚部为2，所以C错误；，所以D正确，故选：BD10.正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（）A.是正六面体B.正方体的边长为2C.与正方体的表面积之比是D.平面与相交所得截面的面积是答案：BCD解析：思路：画出图形可判断A；设正方体的边长为a，求出的体积，求出可判断B；求出正方体的表面积，的表面积可判断C；画出截面，且是菱形，求出面积可判断以D．解答过程：对于A，如图，是各棱长均相等的正八面体，所以A错误；对于B，设正方体的边长为a，是正八面体，且是底面是对角线长为的正方形，上下两个四棱锥的高都为，则的体积为，所以，所以B正确；对于C，正方体的表面积是，的各个侧面的棱长都为等边三角形，所以的表面积是，所以，所以C正确；对于D，如图平面与相交所得截面，分别是的中点，且相等，，四边形是菱形，，其面积为，所以D正确．故选：BCD.11.如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（）A.在折起的过程中始终有平面B.三棱锥的体积的最大值为C.当时，点到的距离为D.当时，点到平面的距离为答案：ABC解析：思路：根据线线垂直可证线面垂直，可判断A；根据三棱锥体积公式可知当时，体积最大，即可判断B；设的中点为，连接，为点到的距离，求出可判断C；根据线面垂直可知点到平面的距离为，即可判断D.解答过程：A：因为，，且，，平面，所以平面，故A正确；B：由已知三棱锥的体积，所以当，即时，三棱锥的体积最大，最大值为，故B正确；C：当时，是等边三角形，且是以为底的等腰三角形，设的中点为，连接，

则，即为点到的距离，，故C正确；D：当时，，，且，，平面，故平面，则就是点到平面的距离，且，故D错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，，则等于________．答案：解析：思路：利用向量加法的平行四边形法则，几何法求向量的模.解答过程：如图，由，∴四边形OACB为菱形．连接OC、AB，则，设垂足为D．∵，，∴在中，．∴故13.如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________.答案：解析：思路：根据空间向量的线性运算法则，即可得答案.解答过程：延长AM，交BC于点D，因为M为的重心，所以D为BC的中点，且，则.14.如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则_______.答案：2解析：思路：由已知可得向量与向量共线，设，根据向量线性运算法则可得，，由此可得，根据平面向量基本定理可得，，由此可得结论.解答过程：由已知向量与向量共线，故可设，所以，因为，所以，故，所以，又，，不共线，由平面向量基本定理可得，，，所以，故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，与的夹角是（1）计算；（2）当与的夹角为钝角时，求的取值范围.答案：（1）（2）且解析：思路：（1）把模转化为向量的平方；（2）两向量的数量积为负，但要去除两向量反向的情形。解答过程：由题意，（1），∴，，∴。（2），，又时，与方向相反，∴且。方法提示：本题考查求向量的模，向量的夹角问题。求向量的模通常平方后转化为向量积运算，两向量夹角为锐角，则，但时，的夹角为锐角或零角，两向量夹角为钝角，则，但时，的夹角为钝角或平角。解题时要注意。16.已知向量，，.（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.答案：（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值.解析：思路：（1）利用向量垂直的坐标表示可求得，结合的范围可求得的值；（2）将函数化简为，根据的范围可求得的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.解答过程：解:（1）因为，所以，于是，又，所以；（2）.因为，所以，从而于是，当，即时，取到最大值2；当，即时，取到最小值.方法提示：本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.17.在中，分别是角的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若，，求a的值．答案：（1）（2）1或3解析：思路：（1）根据正弦定理化简已知的等式,再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后,由不为0,即可得到的值,根据B的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）利用余弦定理得到,配方后把b,及的值代入,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值．解答过程：解：（1）由正弦定理得,得,代入,即,化简得：,,,,,,又∵角B为三角形的内角,；（2）将,,,代入余弦定理,得,,或．方法提示：本题主要考查了正弦与余弦定理以及三角函数和差角公式的运用,属于中等题型.18.如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．（1）求证：平面（2）若，求四棱锥的表面积．（3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）取中点，连，利用中位线定理证明四边形是平行四边形，即可得到，结合线面平行的判定定理即可得证；（2）通过勾股定理逆定理证明，，结合三角形面积公式即可运算求解；（3）由题意得，，从而可将面积比转换为线段比的平方即可运算求解。（1）取中点，连，因为点为中点，，且，同时因为分别是边的中点，，且，四边形是平行四边形，，又平面平面，平面.（2），，，根据对称性有，而，所以，所以，所以，而，四棱锥的面积.（3）由（1）知平面，平面平面，平面，，，又，，.19.如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.（1）求证：平面平面；（2）求证：；（3）若，求的值.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）由线面平行的判定定