2025-2026学年宁夏青铜峡市第一中学高二下册期中考试试卷（B卷）数学试题 含答案

/数学一、单选题1.若，则（）A. B.6 C.3 D.2.某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（）A.13种 B.40种 C.种 D.种3.函数的图象在处的切线方程是（）A. B.C. D.4.的展开式的第项的系数为

（）A. B. C. D.5.若函数，则（）A. B.0 C.1 D.26.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.7.函数的部分图像大致为（）A. B.C. D.8.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题9.展开式中二项式系数最大的是，则可以是（）A.8 B.9 C.10 D.1110.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.为函数的单调递增区间B.为函数的单调递增区间C.函数在处取得极小值D.函数在处取得极小值11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（）A.课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种B.课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种C.课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种D.课程“御”和“书”不相邻的不同排法共有480种三、填空题12.函数的单调减区间为______．13.二项式的展开式中的常数项为____________14.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．四、解答题15.已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值．16.已知的展开式中各二项式系数的和为．（1）求的值；（2）求该展开式中所有项的系数和．17.已知数列的首项，且满足．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式及前10项的和．18.如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）若不等式恒成立，求的最大值.

数学一、单选题1.若，则（）A. B.6 C.3 D.答案：B解析：思路：利用导数的极限表达式计算.解答过程：若，则．2.某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（）A.13种 B.40种 C.种 D.种答案：B解析：解答过程：第一步：从本不同的数学书中选本，有种不同的取法，第二步：从本不同的物理书中选本，有种不同的取法。根据分步乘法计数原理，从这些书中任取本数学书和本物理书的不同取法为．3.函数的图象在处的切线方程是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.解答过程：将代入函数，得，因此切点为，又因为，将代入，，即，所以，即．4.的展开式的第项的系数为

（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用二项式定理的通项可知展开式中的第项为，代入计算可得结果.解答过程：根据二项展开式的通项可知第项为，因此展开式的第项的系数为.故选：C5.若函数，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：C解析：解答过程：因为，所以，则，解得.6.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间.解答过程：因为函数，求导得，令，因此，函数的单调减区间是，故A正确.7.函数的部分图像大致为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：函数的定义域为R..当或时，；当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以排除B，C.又当时，.所以排除A.又当时，；当时，.所以D选项符合.8.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解．解答过程：，若在上单调递增，则在恒成立，即，令，其对称轴为，所以的最大值为，故只需．即．故选：D．二、多选题9.展开式中二项式系数最大的是，则可以是（）A.8 B.9 C.10 D.11答案：BCD解析：思路：根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解.解答过程：根据二项式系数的对称关系，当时，所有二项式系数中，，且均为最大；当时，所有二项式系数中，最大；当时，所有二项式系数中，，且均为最大；故选:BCD.10.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.为函数的单调递增区间B.为函数的单调递增区间C.函数在处取得极小值D.函数在处取得极小值答案：AC解析：思路：根据时以及时，导函数图象即可判断A，B；利用导数的正负与函数极值之间的关系，即可判断C，D解答过程：对于A，B，当时，，，，所以函数在单调递减，在单调递增，故A正确，B错误；对于C，当时，，当时，，故是函数的极小值点，故C正确；对于D，当时，，当时，，故是函数的极大值点，故D错误.11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（）A.课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种B.课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种C.课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种D.课程“御”和“书”不相邻的不同排法共有480种答案：ABD解析：思路：利用间接法计算判断A项；考虑到“射”与“御”的相对位置只有2种，即可求出排法判断B；利用插空法计算判断C，D两项即可.解答过程：对于A，应用间接法，总排法，减去“数”在第一天的排法种和“礼”在最后一天的排法种，再加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的排法种，即不同排法共有种，故A正确；对于B，“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等．总排法数为，故B正确；对于C，课程“御”、“书”、“数”互不相邻，则可先排“礼、乐、射”，有种排法，产生4个空位，将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即．故排法数为，故C错误；对于D，要使课程“御”和“书”不相邻，只需将课程“御”和“书”在另外四门课留下的5个空中选2个安排，有种排法，再将另外四门课进行全排有种排法，则不同排法共有种，故D正确.三、填空题12.函数的单调减区间为______．答案：解析：思路：求出导函数，然后解不等式即可求解单调减区间．解答过程：，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以函数的单调减区间为．故．13.二项式的展开式中的常数项为____________答案：解析：思路：写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解.解答过程：二项式的展开式通项为，令，解得，因此，展开式中的常数项为.故答案为.14.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．答案：72解析：思路：设各区域为，中间区域A与其他区域都相邻，从开始分步填涂其它区域可解.解答过程：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：①，对于区域，有4种涂法，②，对于区域，与相邻，有3种涂法，③，对于区域，与相邻，有2种涂法，④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法，若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有种涂色方法，则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种.四、解答题15.已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值．答案：（1）（2）的单增区间为，，单减区间为；极大值为，极小值为.解析：思路：（1）求导函数，从而可得，计算，利用导数的几何意义求切线方程即可；（2）求导函数的零点，确定函数的单调性与极值即可.（1），，所以，又，所以函数在处的切线方程为，即；（2）函数的定义域为，，令得，则的变化入下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增故函数的单增区间为，，单减区间为；函数的极大值为，极小值为.16.已知的展开式中各二项式系数的和为．（1）求的值；（2）求该展开式中所有项的系数和．答案：（1）（2）1解析：思路：（1）根据各二项式系数的和可得的值；（2）利用赋值法可求得所有项系数和为1.（1）由所有二项式系数的和为，可知，可得．（2）设二项式可化为．令，则．所以展开式中所有项的系数和为．17.已知数列的首项，且满足．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式及前10项的和．答案：（1）证明见解析（2），2036解析：思路：（1）利用递推证明等比数列即可；（2）利用等比数列通项公式和求和公式即可求解.（1）因为，所以，又，所以，，所以，即是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）得，即，设数列的前项和为，所以．18.如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可.（2）先求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用直线与平面所成角的计算公式求解即可.（1）由题意知，两两互相垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，.底面，又，平面，所以是平面的一个法向量.因为，所以.又平面，所以平面.（2）因为，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则由，解得，令，得平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则.故：直线与平面所成角的正弦值为.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）若不等式恒成立，求的最大值.答案：（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）解析：思路：（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得；（2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可；（3