2025-2026学年山东济宁市邹城市高二下册期中教学质量检测数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.2.在的展开式中的系数是（）A. B. C.4 D.63.用0，1，2，3，4这五个数能够组成无重复数字的三位数的个数是（）A.48 B.36 C.24 D.164.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A. B. C. D.5.除以5的余数是（）A.4 B.3 C.2 D.16.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（）A. B. C. D.8.函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，且，的分布列如下：012若，则（）A. B. C. D.10.已知定义在上的函数的导函数为，且函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增 B.是函数的极大值点C.是函数的极小值点 D.11.二项式定理是代数版的二项分布，二项分布是概率版的二项式定理，组合数是二者共同的数学基础，则下列说法正确的是（）A.若，则B.C.若随机变量的概率分布列为P(X=k)=CD.若函数，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从4名男教师和3名女教师中选派3名教师下乡支教，要求选派的教师中男、女教师均至少有1名，则不同的选派方法共有__________种.13.已知，则在处的切线的斜率为__________.14.已知袋中有1个红球，2个白球，每次从中随机取一个球，若取出红球，则放回袋中并再放入一个白球；若取出白球，则不放回.记第次取球后，袋中白球个数为，则的数学期望__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知.（1）求展开式中所有项的二项式系数之和；（2）求；（3）求.16.某运动品牌店开展店庆促销活动：顾客购物每满200元可抽奖一次.抽奖箱中有3个蓝球、2个红球，每次随机抽取2个球，记录结果后将球放回，返现规则如下：抽中2个红球：返现40元；抽中2个蓝球：返现20元；抽中1蓝1红：返现10元．（1）顾客甲恰好消费200元，设获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望；（2）顾客乙消费了600元，若该店对购满600元的客户提供两个方案，方案一：参加抽奖活动，方案二：享受九五折优惠，但两种活动不能同时参与.请通过计算判断顾客乙选择哪种方案更优惠．17.已知函数在处取得极小值.（1）求a，b的值；（2）若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围.18.某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分．已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响.（1）求小张同学成功晋级复赛的概率；（2）已知小张同学已晋级复赛.（i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率；（ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，；（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B错误；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D正确.2.在的展开式中的系数是（）A. B. C.4 D.6答案：B解析：解答过程：因为的展开式中二项式通项为，令，得，则，所以的系数是.3.用0，1，2，3，4这五个数能够组成无重复数字的三位数的个数是（）A.48 B.36 C.24 D.16答案：A解析：思路：应用特殊位置优先处理方法结合排列数及分步乘法原理计算求解.解答过程：首位有4种选法，十位与个位选法为A4所以用0，1，2，3，4这五个数能够组成无重复数字的三位数的个数是种.4.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为随机变量服从正态分布，所以.5.除以5的余数是（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：C解析：思路：根据二项式展开式计算余数.解答过程：22026=4×16=4×15+1因为15+1506所以15+1506除以5的余数为1，所以4×15+1506所以4×15+1506+36.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：分析可知函数为奇函数，且在定义域内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可.解答过程：因为函数的定义域为，且f(−x)=又因为，当且仅当，即时，等号成立，可知函数在定义域内单调递增，若，则f(3a可得，解得，所以实数的取值范围是.7.五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分类讨论甲、乙是否选择两个主题体验，求得，，结合条件概率公式即可得结果.解答过程：若甲体验儒家文化，则有：当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为；当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为；综上所述：不同的选法种数为，即；若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有：当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1；当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为；当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为；综上所述：不同的选法种数为，即；所以.8.函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据函数的单调性分析值域，可知等价于与在内有2个不同的交点，利用导数分析的图象，结合图象即可得结果.解答过程：由题意可知：，且函数在区间上单调递增，若函数在区间上的值域为mem−则fm=ln令，，则在内恒成立，可知在内单调递增，则，令，，原题意等价于与在内有2个不同的交点，因为，令，解得；令，解得；可知在内单调递增，在内单调递减，则，当趋近于0或时，趋近于，则，所以实数的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，且，的分布列如下：012若，则（）A. B. C. D.答案：ABC解析：解答过程：对于A：由题意知0.2+a+b对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：因为，所以，故D错误.10.已知定义在上的函数的导函数为，且函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增 B.是函数的极大值点C.是函数的极小值点 D.答案：AD解析：思路：通过分析函数的图象判断的符号，从而得到的单调区间，再对各个选项进行判断即可.解答过程：结合函数的图象可知：当时，，故，所以在上单调递减；当时，，故，所以在上单调递增；当时，，故，所以在上单调递增；当时，，故，所以在上单调递增.对于A：在区间上，（仅在时等于0，其余点都大于0）恒成立，所以函数在上单调递增，故A正确；对于B：因为函数在左右两侧都为正，所以不是极大值点，故B错误；对于C：因为在左右两侧都为正，所以不是极小值点，故C错误；对于D：由上述分析可知，函数在单调递减，在单调递增，所以在取到极小值，也是最小值，所以，故D正确.11.二项式定理是代数版的二项分布，二项分布是概率版的二项式定理，组合数是二者共同的数学基础，则下列说法正确的是（）A.若，则B.C.若随机变量的概率分布列为，则当时，的方差为1013D.若函数，则答案：ABD解析：思路：A选项，根据组合数公式即可求解；B选项，利用组合数公式对两边化简即可求得；C选项，根据二项分布的概率公式可判断出随机变量服从的分布，再根据二项分布的方差公式即可求得；D选项，先对函数求导，再将代入导函数，最后结合二项式定理化简即可.解答过程：对于A：因为，即，整理得：，解得：或（舍去），所以，故A正确；对于B：根据组合数公式，，故B正确；对于C：因为随机变量的概率分布列为，而二项分布的概率公式为，令，所以，所以当时，，故C错误；对于D：对函数求导，可得，则，又因为（时，），令，则，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从4名男教师和3名女教师中选派3名教师下乡支教，要求选派的教师中男、女教师均至少有1名，则不同的选派方法共有__________种.答案：30解析：解答过程：分成两种情况：第一种是有1名男教师，2名女教师，共有种，第二种是有2名男教师，1名女教师，共有种，所以共有种.13.已知，则在处的切线的斜率为__________.答案：解析：思路：先求出导函数代入计算求出参数f'π3解答过程：因为f(x)=令，则f'(π3所以f'(x则在处的切线的斜率为.14.已知袋中有1个红球，2个白球，每次从中随机取一个球，若取出红球，则放回袋中并再放入一个白球；若取出白球，则不放回.记第次取球后，袋中白球个数为，则的数学期望__________.答案：##解析：思路：设取到红球的次数为Y∈1,2,3，可得解答过程：设取到红球的次数为Y∈1,2,3，则第3次取球后，袋中白球个数为由题意可知：随机变量的可能取值为1，3，5，则有：PXPXPX所以EX四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知.（1）求展开式中所有项的二项式系数之和；（2）求；（3）求.答案：（1）32（2）121（3）405解析：思路：（1）根据二项式系数之和的性质，可直接求得二项式系数之和；（2）先分别令和，得到两个等式，再将两个等式相减，即可求得结果；（3）先对已知等式两边求导，再令，即可求得.（1）因为中，，所以展开式中所有的二项式系数之和为.（2）因为，令，可得，即①，令，可得，即②，用①式减去②式得：，即.（3）对两边求导，可得，令，可得，即.16.某运动品牌店开展店庆促销活动：顾客购物每满200元可抽奖一次.抽奖箱中有3个蓝球、2个红球，每次随机抽取2个球，记录结果后将球放回，返现规则如下：抽中2个红球：返现40元；抽中2个蓝球：返现20元；抽中1蓝1红：返现10元．（1）顾客甲恰好消费200元，设获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望；（2）顾客乙消费了600元，若该店对购满600元的客户提供两个方案，方案一：参加抽奖活动，方案二：享受九五折优惠，但两种活动不能同时参与.请通过计算判断顾客乙选择哪种方案更优惠．答案：（1）随机变量的分布列为102040的数学期望（2）选择方案一更优惠解析：思路：（1）分析可知随机变量的可能取值有10，20，40，结合超几何分布求分布列和期望；（2）根据期望的性质分析求两种方案的最终花费，比较大小即可判断.（1）由题意可知随机变量的可能取值有10，20，40，则有：；；；所以随机变量的分布列为102040的数学期望.（2）若选择方案一：此时可以参与3次抽奖，最终花费的期望为元；若选择方案二：最终花费为元；因为，所以选择方案一更优惠.17.已知函数在处取得极小值.（1）求a，b的值；（2）若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意结合极值点和极值可得a=−4（2）令，原题意等价于与有且仅有1个交点，利用导数判断的性质和图象，结合图象即可得结果.（1）因为函数的定义域为，且，由题意可得：f2=8则f(x)=令，解得或；令，解得；可知函数在内单调递增，在内单调递减，则函数在处取得极小值，即a=−4b=4符合题意，综上所述.（2）对于方程，即为，可得，令，原题意等价于与有且仅有1个交点，因为，令，解得或；令，解得；可知函数在内单调递增，在内单调递减，则函数的极大值为，极小值为，且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0；由图可知：或，所以实数的取值范围为.18.某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分．已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响.（1）求小张同学成功晋级复赛的概率；（2）已知小张同学已晋级复赛.（i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率；（ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值.答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可；（2）设在复赛中每轮得分为Y∈0,2,4，并求对应的概率.（i）分