2025-2026学年福建省漳州市高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省漳州市高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在空间直角坐标系中，点A（0，2，5），B（-1，3，4），则=（）A.（1，-1，1） B.（-1，1，-1） C.（1，1，1） D.（-1，5，9）2.已知函数，则f（x）的导函数f′（x）=（）A. B. C. D.3.已知函数f（x）=2ex-3ax的极值点为0，则a=（）A.0 B. C. D.4.在空间直角坐标系中，O是平面ABC外一点，平面ABC的一个法向量为，△ABC的面积为3，且，则三棱锥O-ABC的体积为（）A.1 B. C.2 D.35.若函数为减函数，则必有（）A.f′（x）≤f（x） B.f′（x）≥f（x）

C.f′（x）≤3f（x） D.f′（x）≥3f（x）6.某企业的一个产品的月均产量y（单位：百件）与月份数x（x∈N*）的关系式为y=x3-6x2+95，则该企业这个产品的月均产量的最小值为（）A.56件 B.63件 C.5600件 D.6300件7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，，∠A1AB=∠A1AD=60°，则∠ABC=（）A.60° B.90° C.120° D.150°8.函数f（x）=e2x-（2x+1）ex+x2+x的最小值为（）A. B.ln2 C.1 D.0二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在四面体P-ABC中，，则（）A. B.

C. D.10.若∃x∈（0，4]，3x2-a2＜x3+10a,则a的取值可以为（）A.-10 B. C.-4 D.111.在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四面体SABC的四个顶点的坐标为A（0，0，0），，，S（m,n,t）（t＞0），点N（x1，y1，z1）在四面体SABC外接球的球面上，且CN⊥平面ABC，点H（x2，y2，z2）在四面体SABC内切球的球面上，则下列结论正确的有（）A.

B.的最大值是最小值的2倍

C.四面体SABC外接球的体积为108π

D.当取得最小值时，点H的坐标为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为

.13.在空间直角坐标系中，已知A（0，1，2），B（2，3，2），C（3，3，1），则点A到直线BC的距离为

.14.若a6-2a4+2a2≥8b-22b+1+2b+1（a＞0，b＞0），则的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=x-2sinx.

（1）求值；

（2）求f（x）在上的极值.16.(本小题15分)

将正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到如图所示的几何体，且H为AC的中点.

（1）证明：A1H∥平面B1CD1.

（2）求二面角A-B1H-A1的正弦值.17.(本小题15分)

已知函数f（x）=a3x-lnx.

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）讨论f（x）的单调性.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，PA⊥AB，底面ABCD是正方形，E，F分别为AD，PC的中点.过点D的直线l与PA平行，且l⊥BE.

（1）证明：PA⊥底面ABCD.

（2）已知平面PAB与平面BEF的夹角为α.

（Ⅰ）求sinα；

（Ⅱ）若Q是l上的一个动点，直线BQ与平面BEF所成的角为β，证明：α＞β.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ex-e-x-ax.

（1）证明：当a=2，x∈[0，+∞）时，f（x）≥0.

（2）讨论f（x）的零点个数.

（3）若a＞2，正数x0满足f（x0）=0，证明：.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】9

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】-1

极小值为，无极大值

16.【答案】取B1D1的中点M，连接A1M，MC，

易证A1M∥AC，且，

又H为AC的中点，所以A1M∥HC，且A1M=HC，

则四边形A1MCH是平行四边形，

所以A1H∥MC，

因为A1H⊄平面B1CD1，MC⊂平面B1CD1，

所以A1H∥平面B1CD1

17.【答案】y=7x+1

当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增

18.【答案】因为l∥PA，l⊥BE，

所以PA⊥BE，

因为PA⊥AB，AB∩BE=B，AB⊂底面ABCD，BE⊂底面ABCD，

所以PA⊥底面ABCD

（Ⅰ）；（Ⅱ）设Q（0，2，a），得，

则，

因为，函数y=sinx在上单调递增，

所以要证α＞β，只需要证，即证a2+4a+12＞0，

因为Δ=42-4×12=-32＜0，

所以a2+4a+12＞0恒成立，

故α＞β

19.【答案】当a=2，x∈[0，+∞）时，f（x）=ex-e-x-2x，

f′（x）=ex+e-x-2≥2-2=0，当且仅当ex=e-x，即x=0时，等号成立，

所以f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上单调递增．

又f（0）=e0-e0-0=0，所以当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即f（x）≥0

当a≤2时，f（x）的零点个数为1，当a＞2时，f（x）的零点个数为3

证明：由f（x0）=0，得，即．

要证，只需证，

即证，即证，

设k（x）=xex+x-ex+e-x，x＞0，