第12讲 对数运算及对数函数的应用（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

第12讲对数与对数函数TOC\o"1-2"\h\u题型一对数式的运算 2题型二对数型函数的定义域 6题型三对数型函数的值域 10题型四对数函数的单调性及解不等式 15题型五对数函数的比较大小 19题型六对数函数的图像及应用 24课时精练 31【基础回顾】知识点1：对数的概念一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数。以10为底的对数叫作常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫作自然对数，记作lnN.知识点2：对数的性质与运算性质（1）对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．（2）对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．（3）对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．知识点3．对数函数的图像与性质图像定义域(0，＋∞)值域R性质过定点（1,0），即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0增函数减函数知识点4：反函数指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称。【必备知识】1.logab·logba＝1（a>0，且a≠1，b>0，且b≠1），＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1，b>0)2.如图，给出4个对数函数的图像。则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图像从左到右底数逐渐增大。可以令y=1得到x值，即为底数。题型一对数式的运算解决对数运算问题的常用方法（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简。（2）将同底对数的和、差、倍合并。（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用。【例题精讲】1．（25-26高一下·云南·开学考试）若log4log3log2A．8 B．27 C．64 D．3【答案】A【详解】由log4log3log2所以x=8.2．（25-26高一上·福建三明·期末）已知2a=3,log25=bA．45 B．95 C．59 【答案】B【分析】先处理指数幂22a的值，再运用指数与对数的互化求出b【详解】因为22a又因为log25=b，所以所以22a−b故选：B.3．（25-26高一上·贵州毕节·期末）823−A．2 B．1 C．0 D．−1【答案】A【分析】根据指数的运算律及对数的运算，即可求解.【详解】因为82故选：A.4．（25-26高三下·浙江嘉兴·月考）设a>0,a≠1,x>y>0，下列等式：①loga②loga③loga④loga其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据给定条件，取特殊值逐一计算判断即可.【详解】对于①②③，由a>0,a≠1,x>y>0，令x=2,y=1，logalogaloga对于④，取x=1,y=12，因此①②③④都错误.5．（25-26高一上·广西钦州·期末）lg12−A．2 B．1 C．−1 D．−2【答案】D【分析】依据对数运算法则即可求解.【详解】lg1故选：D.6．（25-26高三上·全国·月考）log42026logA．14 B．12 C．2【答案】C【分析】利用对数的运算法则及换底公式化简求值即可.【详解】log4故选：C．7．（24-25高一上·山东滨州·期末）式子31+log3A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得.【详解】3=3×2+lg故选：C.8．（25-26高一上·全国·单元测试）计算下列各式：(1)log4(2)lg25+【答案】(1)0(2)-7【分析】（1）（2）根据对数的运算法则计算即可.【详解】（1）原式==5故答案为：0（2）原式==2lg5+lg故答案为：-79．（24-25高一上·湖北恩施·期末）（1）若xlog32=1（2）计算：lg2+【答案】（1）3；（2）7【分析】（1）根据对数运算性质先求出2x（2）根据对数运算和指数幂的运算法则，即可求出结果.【详解】（1）∵xlog∴4（2）原式==lg10．（2024高三·全国·专题练习）求下列各式的值．(1)12(2)lg(3)2lg(4)log(5)log(6)log5【答案】(1)−(2)19(3)1(4)1(5)7(6)2【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得所给各对数式的值.【详解】（1）1=lg5+（2）lg=（3）2=2==（4）log==（5）log===3−2（6）log=log题型二对数型函数的定义域定义域：1.真数，即解不等式（若对数函数为）。2.若存在复合函数（如根号、分式等），需结合其他函数定义域规则综合求解。值域：1.先确定内层函数的取值范围（）。2.根据对数函数的单调性，由t的范围推导的值域。【例题精讲】1．（25-26高一上·广东深圳·期末）函数fx=x+1A．0,5 B．1,5 C．−1,5 D．−1,+【答案】C【分析】根据负数不能开偶次方根以及对数的真数要大于零求解.【详解】由题可知，x+1≥05−x>0，解得−1≤x<5即函数f(x)的定义域为[−1,5).故选：C.2．（25-26高一上·广东佛山·期末）函数fx=logA．2,3 B．2,3C．−∞,2∪【答案】C【分析】直接根据真数大于零求解定义域即可．【详解】对于函数fx=log即x−2x−3>0，解得x<2或所以函数fx的定义域为−故选：C．3．（2026·湖南郴州·三模）已知集合A=x∈N∣x2−7x−18<0,B=A．−2,9 B．−2,3 C．0,1,2 D．1,2【答案】C【分析】解不等式求得集合A，求函数的定义域求得集合B，进而求得A∩B.【详解】对于集合A，x2所以A=0,1,2,3,4,5,6,7,8对于集合B，3−x3+x所以B=x|−3<x<3所以A∩B=0,1,24．（25-26高一上·贵州·期末）函数f(x)=log2(x+2)A．(2,+∞) C．(1,+∞) 【答案】B【分析】求出使函数解析式有意义的x的取值范围即可.【详解】因为函数f(x)=log所以x+2>0x−1≠0，解得x>−2且x≠1所以函数的定义域为：{x|x>−2且x≠1}.故选：B.5．（25-26高三上·河南·月考）函数fx=logA．4,6 B．−C．[4,6] D．(6,+∞)【答案】A【分析】根据对数型复合函数的定义域求解即可.【详解】由x−64−x>0，则则x−6x−4<0，解得所以函数的定义域为4,6.故选：A.6．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知集合A=xx2A．−1,0,1 B．−1,0 C．0,1 D．1【答案】D【分析】解一元二次方程得到集合A，根据对数函数的定义域求出集合B，再根据交集的定义即可得解.【详解】由题可得A=0,1，又x−12>0，则故选：D.7．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合A=xy=log21−2x，B=A．−∞,12 B．12,+【答案】D【分析】根据对数函数性质可得集合A，根据指数函数性质可求得集合B，根据集合的交集运算即得答案.【详解】由已知可得：A=xy=log所以A∩B=0,故选：D.（多选）8．（25-26高一上·重庆·期中）关于函数fx=logA．函数fx的定义域为B．函数fx的单调递增区间为C．函数fxD．函数fx的图像恒在x【答案】BCD【分析】利用二次函数的单调性和最小值，结合对数函数的单调性，可确定对数型函数的各选项.【详解】由x2−2x+3>0⇒x−1由二次函数y=x2−2x+3=结合对数函数性质可知函数fx的单调递增区间为1,+由二次函数y=x2−2x+3=x−12结合对数函数性质可知函数fx由于函数fx的最小值为1，所以函数fx的图像恒在故选：BCD（多选）9．（25-26高一上·广西南宁·期末）已知函数fx=logA．函数fx的定义域为0,+∞ B．当0<x<1C．fx>1的解集为12【答案】ABD【分析】根据对数函数的图像性质逐项解决即可.【详解】对于A：函数fx=log对于B：函数fx=log12x在对于C：函数fx=log12x在0,+∞单调递减，对于D：ff故选：ABD（多选）10．（25-26高三上·河北保定·月考）已知函数f(x)=ln|x−a|，则（A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为RC．f(x)在(a,+∞)上单调递增 D．f(x)的图像关于直线【答案】BCD【分析】根据对数函数的性质即可求解AB，根据复合函数单调性法则即可求解C，利用f(−x+2a)=fx【详解】由x−a>0可得x≠a，故f(x)的定义域为xx≠a，值域为由于函数y=x−a在a,+∞单调递增，在−∞,a单调递减，而y=lnx为由于f(x)的定义域为xx≠a关于x=a对称，且f(−x+2a)=ln|−x+2a−a|=lnx−a=fx故选：BCD题型三对数型函数的值域【例题精讲】1．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）函数fx=1−eA．1,+∞ B．−∞,1 C．0,+【答案】B【详解】依题意可知函数定义域为0,+∞，所以函数fx即fx的值域为−∞,12．（2025·湖北宜昌·二模）已知a>1，函数f(x)=14x3,x≤2logaA．[2,+∞) B．(1,2] C．【答案】D【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可.【详解】当x≤2时，函数fx单调递增，所以f(x)=要使得函数f(x)的值域为R，则当x>2时，loga2≤2，解得a≥2，所以实数a故选：D.3．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知a>1，函数fx=−x+a+1,x≤alogaA．R B．0,+C．1,+∞ D．【答案】C【分析】分段求出函数的取值范围，即可得解.【详解】因为fx=−x+a+1,x≤a当x≤a时，fx=−x+a+1，fx所以fx当x>a时，fx因为a>1，所以fx在a,+所以fx综上，fx的值域为1,+故选：C.4．（25-26高三上·重庆南岸·月考）下列函数中最小值为2的是（

）A．y=2x+C．y=x2+2+【答案】A【分析】求出最小值判断ACD；举例说明判断B.【详解】对于A，y=2x+对于B，当0<x<1时，lnx<0，则y<0对于C，令t=x2+2≥2，函数y=t+1t在[2,+∞)对于D，y=(x+1)2+1≥1故选：A5．（25-26高三下·青海西宁·月考）函数f(x)=lgx2A．(1,+∞) B．(lg5,+∞)【答案】A【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域.【详解】由x2−25>0x−5>0则f(x)=lg则f(x)为增函数，所以f(x)>lg6．（2026·湖南·三模）已知函数f(x)=1ax−logax（a>0且a≠1）A．4 B．2 C．12 D．【答案】C【详解】函数y=1ax所以f(x)在[1,+∞)上单调，要满足题意，则f(x)在所以f(1)=1a−7．（25-26高一上·天津滨海新·期末）已知函数f(x)=log2(x2A．当m=0时，函数f(x)的值域为RB．若函数f(x)的定义域为(−∞,1)∪(3,+C．若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增，则实数mD．对任意的m∈R，函数f(x)【答案】C【分析】求出函数的值域为R可判断A，由函数定义域求出m判断B，由函数的单调性求出m的范围判断C，根据函数的值域为R可判断D．【详解】对于A，当m=0时，fx=log2x所以fx=log对于B，由题意知x2−mx+m−1=0的两根为1,3，所以1+3=m1×3=m−1对于C，因为y=log2t单调递增，又函数f(x)在[2,+∞)上单调递增，所以由复合函数单调性知t=所以m2≤22对于D，因为对任意的m∈R，方程x2−mx+m−1=0令u=x2−mx+m−1，则y=log2u中，u故选：C.（多选）8．（25-26高一上·江苏常州·期末）下列说法正确的是（

）A．若函数f1−x的定义域为0,2，则函数fxB．y=1C．fx=D．“a=2”是“函数fx=x−a【答案】AD【分析】根据抽象函数的定义域求法判断A，举反例判断B，根据对数函数的性质判断C，根据充分条件、必要条件的定义判断D.【详解】对于A：因为f1−x的定义域为0,2，即0≤x≤2，所以−1≤1−x≤1所以函数fx的定义域为−1,1对于B：y=fx=1x的定义域为所以y=1对于C：令x2+x−6>0，解得x>2或x<−3，所以fx因为x2+x−6能取到所有的正数，所以fx对于D：当a=2时，fx则函数fx在区间2,+若函数fx=x−a=x−a,x≥a综上所述，“a=2”是“函数fx=x−a故选：AD.（多选）9．（25-26高一下·河南·月考）已知函数fx=lnx2A．fxB．当m2−4n≥0时，若fC．fx在定义域内的区间−D．当m2−4n<0时，f【答案】BD【详解】A选项，令g(x)=x2+mx+n，则f因为fx外层函数为lng(x)，而lng(x)且g(x)在定义域内可以取到任意大的正数，所以lng(x)因此fxB选项，g(x)=x2+mx+n的定义域为R则g(x)与x轴有交点，且开口向上，所以gx则fx=lnC选项，g(x)=x2+mx+n所以g(x)在(−∞若m=−1，n=−2，则gx则fxD选项，若m2−4n<0，则Δ=m2g(x)的最小值为：g(−m2)=所以fx=ln（多选）10．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数fx=lnA．fx为偶函数 B．fC．fx在区间1,+∞上单调递减 D．f【答案】ABD【分析】根据函数奇偶性的定义与判定方法，可判定A正确；令fx=0，求得【详解】对于A，由函数fx=lnx2−1，则满足所以函数fx的定义域为(−又由f−x=ln对于B，令fx=0，可得lnx2−1所以函数fx对于C，令t=x2−1，因为x∈1,+∞因为二次函数t=x2−1在1,+∞为单调递增函数，且根据复合函数单调性的判定方法，可得函数fx=ln对于D，由函数fx=ln令t=x2−1，则t>0，即t取遍所有正数，所以函数f即函数fx=ln故选：ABD.题型四对数函数的单调性及解不等式1.若对数底数a确定，直接利用单调性去掉对数符号，注意真数大于0，如：当时，；当时，．2.若底数a不确定，需分和两种情况讨论。3.比较大小时，若底数或真数不同，可引入中间值（如、）辅助判断。【例题精讲】1．（25-26高一上·北京延庆·期末）下列函数在其定义域内是增函数的是（

）．A．y=12x B．y=−log2x【答案】D【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，反比例函数的单调性可判断选项.【详解】对于A，因为12<1，所以对于B，因为y=log2x对于C，由反比例函数的单调性可知y=−1x在区间−∞对于D，因为13>0，所以y=x又−x13=−x13，所以即y=x故选：D2．（25-26高一上·湖南常德·期末）设函数fx=−x2+2x+3，gA．−1,3 B．3,+∞ C．−∞,−1【答案】D【分析】利用对数型函数的定义域和单调性，结合内函数为二次函数的单调性，可判断单调递减区间.【详解】由gf由定义域可知：−x结合二次函数的对称轴x=1，可知：fx=−x2+2x+3因为0<a<1，所以函数gfx的单调递减区间为故选：D3．（2026·安徽安庆·二模）已知集合M=x0≤log2x+1A．0, 2 B．−∞, 0【答案】C【分析】分别解对数不等式与二次函数不等式，结合交集运算即可求解.【详解】解不等式0≤log2x+1<2得解不等式x2+x−2<0得−2<则M∩N=[0,1).4．（2026·江西抚州·二模）已知函数fx=2−log2−x+2,0≤x<2A．−12,1 B．12,+∞【答案】D【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式.【详解】根据复合函数的单调性可知函数fx=2−log当x∈−2,0时，−x∈0,2，则易知fx在−2,0而函数fx在x=0处连续，故fx在由f1−a<fa，得−2<1−a<a<2故实数a的取值范围是125．（2026·江苏·二模）若loga12a−1<1，则A．1,2 B．1,4 C．2,+∞ D．【答案】D【详解】由题可得：12a−1>0，a>0且a≠1，可得则loga12a−1根据y=logat解得a>4，即a的取值范围是4,+∞6．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数y=lgx2−ax−2a在区间2,+∞A．(1,2) B．(−∞,1] C．(−∞【答案】B【详解】因为函数y=lgx在函数y=x2−ax−2a在a函数y=lgx2−ax−2a在区间2,+∞上是单调函数，所以a所以a≤1．7．（25-26高一下·湖南长沙·月考）设a>0且a≠1，函数f（x）＝−x+112,x≤23+logax,x>2的定义域为RA．2,+∞ B．[4,+∞) C．(1,2【答案】D【分析】根据函数值域结合分段函数特征及对数函数单调性列式计算求解参数.【详解】若x∈−∞,2，则f当x>2时，fx若a>1，则fx在2,+∞单调递增，相应fx的取值范围是因此要使fx的值域是72,+∞，应当有3+loga2≥当0<a<1，则fx在2,+∞单调递减，相应fx的取值范围是−∞,3+log综上可得1<a≤4．（多选）8．（25-26高一上·四川遂宁·期末）下列说法正确的有（

）A．函数y=1B．任取x∈R，都有C．fx=D．在同一坐标系中，函数y=2x与函数y=log2x【答案】AD【分析】利用指数函数单调性求值域可判断A，利用指数函数性质即可判断B，利用对数函数的定义域可判断C，利用反函数性质判断D即可．【详解】对于A，由于x≥0，由指数函数的单调性得y=对于B，由于当x=−1时，4−1对于C，令x2−2x>0，解得则fx的定义域为(−∞,0)∪(2,+对于D，由于函数y=2x可得可得函数y=2x与函数则它们的图像关于直线y=x对称，故D正确.故选：AD（多选）9．（2025·辽宁·模拟预测）已知实数a,b满足log12(a−1)>A．3a<3C．12a−1>1【答案】AC【分析】根据给定条件，结合对数函数性质可得1<a<b，再结合指数函数性质、不等式性质逐项判断.【详解】由log12(a−1)>log1对于A，3a对于B，令a=2，b=3，则(a−b)(a+b−2)<0，B错误；对于C，2b−1>2a−1>1，则12a−1对于D，若a=1.5,b=2，则3(a−2)故选：AC（多选）10．（25-26高一上·重庆·月考）“给出下列结论，其中正确的结论有（）A．函数y=14B．已知函数y=loga3−ax(a>0且a≠1)在(0,1)C．函数y=fx的定义域为1,2，则函数y=f2D．若函数fx=lgax2【答案】ABD【分析】根据复合函数值域的求法，结合指数函数的单调性，即可判断A的正误；根据复合函数单调性的求法，可判断B的正误；根据抽象函数定义域的求法，计算化简，可判断C的正误；根据复合函数值域的求法，结合二次函数的性质，分析求解，可判断D的正误.【详解】选项A：令t=−x2+1，因为x因为y=14t在(−∞,1]上单调递减，所以当所以函数y=14−选项B：令u=3−ax，因为a>0且a≠1，所以u=3−ax为减函数，且u=3−ax>0在(0,1)恒成立，所以只需3−a×1≥0，解得a≤3，因为函数y=loga3−axy=logau综上实数a的取值范围是(1,3]，故B正确；选项C：因为函数y=fx的定义域为1,2所以1≤2x≤2，解得0≤x≤1，函数y=f选项D：因为函数fx=lgax所以内层函数g(x)的值域需包含(0,+∞当a=0时，g(x)=5x+4，值域为R，包含(0,+∞当a>0时，g(x)=ax需判别式Δ=25−16a≥0，解得a≤当a<0时，g(x)=ax2+5x+4综上，实数a的取值范围是0,25故选：ABD题型五对数函数的比较大小【例题精讲】1．（25-26高一下·河南开封·开学考试）设a=ln0.2,b=2A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<a<b【答案】B【分析】利用对数、指数函数的单调性，分别和0，1比较大小即可.【详解】对数函数y=lnx在(0,+∞因为0.2<1，所以a=ln0.2<ln因为指数函数y=2x在R上单调递增，且因为0.3>0，所以b=20.3>又因为c=1，因此大小关系为：a<c<b.2．（25-26高三上·海南海口·期中）已知a=log35,b=A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．a<c<b【答案】A【分析】利用对数函数的单调性比较a,b和2的大小，再判断c>2即可.【详解】因为函数y=log3x在(0,+∞)而c=512故选：A.3．（北京市顺义区2025-2026学年高三下学期第二次模拟考试数学试题）已知a=ln2，b=log23A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a【答案】B【分析】先通过对数的运算法则将c化简，再根据对数函数的单调性，即可判断a、b、c的大小.【详解】由题意，c=log根据对数函数的图像性质，y=lnx在0,+∞上单调递增，y=又2<e，所以ln又2<5<3，所以即a<1<c<b，所以a<c<b.4．（江西2026届高三5月月考数学试卷）若实数x、y、z满足1+2x=3y=5z，则A．x>y>z B．y>z>x C．x>z>y D．y>x>z【答案】C【分析】根据给定条件，求出x,y,z的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图像，数形结合即可判断.【详解】令1+2x=在同一直角坐标系内作出函数f(t)=log2(t−1),g(t)=则x,y,z分别是函数y′=f(t),y′=g(t),y′设B点的横坐标为x1，C点的横坐标为x2，观察图像得当1<a<x当x1<a<x2时，y>x>z，当所以ABD是可能的，C不可能.5．（25-26高三下·北京海淀·期末）已知a=log3e,A．c>a>b B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a【答案】A【分析】结合对数函数单调性，利用中间量“1”比较大小即可.【详解】因为0=log3又c=2ln3=因为b=log所以log352综上，0<b<a<1<c，即c>a>b.6．（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知函数fx的定义域为R,且f2−x=fx,当x>1时,函数fx单调递增,若a=fA．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】B【分析】由抽象函数可得函数fx的对称轴，再结合x>1【详解】根据函数对称轴的性质，若fa−x=fx，则函数fx的图像关于直线x=a又因为x>1时，函数fx由函数对称性知，当x<1时，函数fx比较自变量到对称轴x=1的距离，对于a=flog34，log同理，b=f(log45对于c=f2−log23，因为log2先比较log343与log232，因为y=log3x在0,+∞上单调递增，当x同取又log343同理，因为log454<log443，且对数函数当x同取43时，log443<即log4因为x>1时，函数fx单调递增，且自变量到对称轴x=1所以flog47．（25-26高一下·海南海口·期中）已知a=−log216，b=log24.9，c=20.8A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．c<a<b【答案】B【分析】根据对数的性质及对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.【详解】a=−log因为y=log2x在0,+∞上为增函数，所以又y=2x为增函数，所以20.8所以a>b>c.（多选）8．（24-25高一上·新疆·月考）下列大小关系正确的是（

）A．logB．logC．logD．log【答案】CD【分析】根据对数函数的单调性逐项比较大小即可.【详解】对于A，因为y=log15x在所以log1对于B，当a>1时，y=logax在0,+∞单调递增，且当0<a<1时，y=logax在0,+所以loga对于C，因为y=log0.6x在0,+∞单调递减，且因为y=log0.8x在0,+∞单调递减，且所以log0.6对于D，因为y=log8x在0,+∞单调递增，且故选：CD.（多选）9．（25-26高一上·山东青岛·期末）若b>a>1，则（

）A．12b>12a B．ab+1>a+b【答案】BCD【分析】根据指数函数的单调性判断A；根据不等式的基本性质利用作差法判断B；根据对数函数的单调性判断C；根据对勾函数的单调性判断D.【详解】对于A，由b>a>1，且函数y=12x则12对于B，由b>a>1，则ab+1−a−b=a−1所以ab+1>a+b，故B正确；对于C，由b>a>1，且函数y=logax则loga对于D，由对勾函数的性质可知，函数y=x+1x在而b>a>1，则a+1故选：BCD（多选）10．（2026·湖南·三模）若0<a<b<1，则下列结论正确的是（

）A．logab2C．logab<log【答案】ABC【分析】由对数函数的性质判断A，C；由基本不等式判断B；由loga【详解】由于0<a<b<1，则0<logab<logab+logba=loga题型六对数函数的图像及应用对数函数图像的识别及应用方法（1）在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项。（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解。【例题精讲】1．（25-26高二下·江苏常州·期中）函数y=xlnx的图像大致为（A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函数的奇偶性与函数值的正负，使用排除法求解.【详解】令函数f(x)=y=xlnx，定义域为f(−x)=−xln−x=−x其图像关于原点对称，排除选项A、C，当x→+∞时，f(x)>0，排除选项B所以函数y=xlnx的图像大致为选项2．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知函数fx=logax−b（a>0且a≠1A．0<a<1，−1<b<0 B．0<a<1，b<−1C．a>1，−1<b<0 D．a>1，b<−1【答案】A【详解】由函数图像知，fx在定义域内单调递减，所以0<a<1根据图像可知函数fx的图像是把y=所以0<−b<1，解得−1<b<0.3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数fx=loga2x−1+1（a>0且a≠1）的图像经过定点Px0,y0A．3+223 B．2+323 C．【答案】A【分析】求出函数fx的图像所过定点的坐标，可得出m+n+1=3，于是得出2【详解】对于函数fx=loga2x−1由2x−1=1可得x=1，且f1=loga1+1=1则有m+n−2=0，即m+n=2，故m+n+1所以2≥1当且仅当m+n=22n+1m故2m+14．（2026·陕西·模拟预测）已知函数fx=2x+1,x≤0lnx+1,x>0，若fxA．2−32ln32 B．2+3【答案】A【分析】根据函数解析式画出函数图像得−12<x1≤0<x2≤e−1【详解】由fx=2x+1,x≤0因为fx1=f所以−12<所以x2令gx=x−3则g′当0<x<12时g′x<0即gx在0,12所以gx5．（25-26高一上·广东汕头·期末）已知函数fx=2x,x≤0A．函数y=fx的零点为B．若k(x)=gx−t有四个零点，则tC．不等式fx−2>1D．若方程fgx+gx−a=0【答案】BCD【分析】根据零点定义计算判断A，根据分段函数图像数形结合判断B，分|x−2|=0，|x−2|>0两种情况计算不等式判断C，分类讨论函数零点判断D.【详解】A．因为2x>0,lnx=0，所以B．函数gx=x若k(x)=gx−t有四个零点，则y=gx与y=t有四个交点，由y=gx的C.∵|x−2|≥0，当|x−2|=0，f(x)=2当|x−2|>0，f(x−2)=lnx−2，D．令gx=t，y=gx则ft+t−a=0实根的个数即为函数y=ft与函数当a>1时，函数y=ft与函数y=a−t的图像即gx=t>1，函数y=gx与函数y=t则方程fg当a=1时，函数y=ft与函数y=a−t的图像有2个交点，tt1=0时gx=0，可得t2=1时gx=1，xx−2=1，可得即函数y=gx与函数y=t的图像则方程fg当a<1时，函数y=ft与函数y=a−t的图像即函数y=gx与函数y=t的图像有2个交点，分别为t即gx=t3<0当t3<0时，函数y=gx当0<t4<1时，函数y=gx与函数则方程fg综上，实数a的取值范围是a<1，D正确

.6．（25-26高一下·湖北十堰·月考）已知fx=log2x2−mx+m+3A．若D=R，则B．对任意m∈R，使得C．对任意m∈R，fx的图像恒过一定点D．若fx在−∞,3上单调递减，则【答案】B【分析】对于A，根据题设得真数x2−mx+m+3不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得；对于B，直接代入求解即可；对于C，根据m∈R【详解】对于A，因为定义域为R，只需要x2所以判别式−m2−4m+3所以真数x2−mx+m+3不能取遍所有正实数，所以对于B，若f−5=f−7化简log2故28+6m>052+8m>028+6m=52+8m，解得对于C，x2因为与m无关，所以1−x=0，解得x=1，可得y=log24=2对于D，若fx在−只需要ℎx=x且ℎ3≥0，即m2≥3ℎ7．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数fx=2x+2+1，函数gx=3x+1+1，若y=fx与y=mx的图像关于直线A．mt<ntC．mt>nt【答案】B【分析】求出函数mx、nx的解析式，数形结合可得出mt【详解】在y=mx上任意取点x,y，点x,y关于直线y=x的对称点为y,x因为点y,x在fx=2x+2+1即mx=log在同一坐标系内画出mx=log2x−1得mt<nt<0或而nt（多选）8．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数fx=logax+ba>0且a≠1A．1a<1C．ab<b【答案】BC【分析】由题得0<a<1，f1>1，求得b>1，结合不等式性质求解可以判断A；由0<a2<1,【详解】因为fx=log由f1=loga1+b>1得b>1，所以a<b又0<a2<1,根据指数函数的性质可知，0<ab<ba−b+1故选：BC．（多选）9．（25-26高三下·重庆·开学考试）若loga3a2−5a+2>2（a>0，且a≠1），则函数A． B． C． D．【答案】BD【分析】对a进行分类讨论，结合特殊值排除法来确定正确答案.【详解】当a>1时，loga即3a2−5a+2>对于函数fx=logf−1当0<a<1时，loga所以0<3a2−5a+2<所以a−13a−2>0a−2对于函数fx=logf0.5（多选）10．（25-26高一上·广东深圳·期末）下列结论中，正确的是（

）A．函数y=logax−3+2（a>0且a≠1B．幂函数y=m+2C．不等式log12D．若函数fx=−x【答案】AD【分析】对于A，根据对数函数恒过定点的性质来判断；对于B，根据幂函数的定义求出m的值，再判断函数的奇偶性；对于C，根据对数函数的单调性求解不等式；对于D，根据分段函数的单调性列出不等式组求解.【详解】对于A，令x−3=1，则x=4，此时y=log所以图像恒过定点P4,2对于B，因为y=m+2xm2−3所以幂函数y=x对于C，因为log12x>1=对于D，因为函数fx=−所以函数y=−x2−2ax−a在(−所以−−2a2×(−1)≥0故选：AD课时精练一、单选题1．（25-26高三下·江西赣州·期中）设集合A=xlog3x<1，B=eA．∅ B．e C．π D．e【答案】B【详解】由log3x<1，得0<x<3，所以又B=e,2．（2026高二上·北京·学业考试）为了得到函数y=lgx+1的图像，只需将函数y=lgx的A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度【答案】A【详解】根据图形平移变换“左加右减”的规则，可得：y=lgx向左平移一个单位得到3．（2026·山东菏泽·二模）已知函数fx=log2xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】结合函数的解析式计算可得f0【详解】因为函数fx=log4．（25-26高二下·云南昭通·期中）设a=ln0.3，b=1，c=3A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b【答案】A【分析】借助对数函数与指数函数单调性计算即可得．【详解】解：对数函数y=lnx在(0,+∞因为0.3<1，所以a=ln0.3<ln因为指数函数y=3x在R上单调递增，且因为0.2>0，所以c=30.2>又因为b=1，因此大小关系为：a<b<c．5．（25-26高一上·山东潍坊·月考）函数gx=logA．B．C． D．【答案】D【分析】通过函数的定义域、对称性和单调性即可求解，得到答案.【详解】由|x−12|>0可知，x≠12因为外层函数y=log12t是减函数，内层函数t=|x−1根据“同增异减”原则，函数g(x)在(−∞,1故选：D6．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为R的偶函数fx在−∞,0上单调递减，若a=f−13log32A．c>a>b B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a【答案】D【分析】先根据偶函数性质得出fx在0,+【详解】因为定义域为R的偶函数fx在−∞,0上单调递减，所以f因为13log32=133所以51.5又a=f−13log37．（2026·山西太原·二模）已知函数fx=x2−a2A．1 B．32 C．2 D．【答案】B【分析】根据题意，分−b+1≤−a、−a<−b+1<a、−b+1>a、−b+1=a讨论，进而得到a=−b+1−a≤−b，则b=1−a≤a，得到a≥12【详解】fx=x又fx=0的解为x=−a或x=a或x=−b+1，且当−b+1≤−a时，易知−a<x<a时，fx当−a<−b+1<a时，易知−b+1<x<a时，fx当−b+1>a时，易知a<x<−b+1或−b<x<−b+1时，存在fx当−b+1=a，如图，函数y=x2−∴a=−b+1−a≤−b，即b=1−a≤a，解得∴a2+则a2+b8．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数fx是定义在0,+∞上的递增函数，且对∀x∈0,+∞，都有ffx−logax=1，若关于x的方程fA．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】设fx−logax=x0，则fx0=1，可得出logax0+x【详解】由题意，设fx−log令x=x0，得fx0−因为函数fx是定义在0,+∞上的递增函数，所以a>1，从而因为函数y=logax、y=x则函数y=logax+x由logax0+x因为fx=mm>0的两个根分别为x1和即loga即loga116=−2，即二、多选题（多选）9．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知lga>lgbA．2a−b>1 B．πa−b>ea−b【答案】AB【分析】利用对数函数的单调性判断A，利用幂函数的单调性判断B，利用作差法判断C，利用反例判断D.【详解】由对数函数的单调性可知：lga>则a−b>0，再根据指数函数的单调性可知：2a−b由幂函数的单调性可知：π>由作差法得：ba因为a>b>0，所以ba由a>b>0，不妨取a=2,b=13，则故选：AB（多选）10．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知函数fx=lnA．gx在22,44上单调递增 B．gxC．gx的图像关于直线x=44对称 D．g【答案】AC【分析】根据函数的对称性结合条件判断C，应用复合函数单调性结合对数函数单调性判断A，应用值域计算判断B，结合零点定义及对数方程计算判断D.【详解】由题可知gx的定义域为22,66，因为g所以gx的图像关于直线x=44因为gx且函数t=−x2+88x−1452在22,44上单调递增，ℎt=当x∈22,66时，t=−所以gx的值域为−令gx又因t=66−xx−22开口向下，且t∈(0,484]，所以gx（多选）11．（2026·湖南永州·三模）已知函数fx=lnA．fx的图像关于yB．fxC．不等式fx<fD．若fa+fb=0【答案】ABD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；分析函数fx的单调性，结合f1=f−1=0可判断B选项；将所求不等式转化为fx<f2−x，结合函数的单调性与定义域可得出关于x的不等式组，即可解得原不等式的解集，可判断C选项；分析可得【详解】对于A选项，函数fx=lnf−x所以函数fx为偶函数，其图像关于y对于B选项，当x>0时，fx因为函数y1=2lnx、y2故函数fx=2lnx+x−1故函数fx在−∞,0故函数fx对于C选项，因为函数fx是定义域为xx≠0上的偶函数，且该函数在由fx<f2−x可得fx<f2−x，所以所以不等式fx<f2−x对于D选项，因为f1所以f1由fa+fb=0可得因为函数fx在0,+∞上单调递增，所以a=所以a2当且仅当a=1ba=b时，即当三、填空题12．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·月考）已知f(x)=log2(4x−3)，则函数f【答案】3【详解】由题意得4x−3>0，解得x>34，故fx13．（25-26高一上·上海·期中）已知f(x)=lna−6x+3是奇函数，则实数【答案】1【分析】主要依据奇函数的性质得到等式，然后通过对数运算性质化简等式，最后求解方程并检验得到符合条件的值.【详解】不确定0是否在定义域内，故不能令f(0)=0，由0=f(x)+f(−x)=lna−得a−6x+3a+(ax)2−(3a−6)2=14．（2026·江苏·模拟预测）已知A,B两点在函数fx=4xx>0的图像上，C,D两点在函数gx=2xx>0的图像上，且AD平行于x轴，AC和BD平行于【答案】log【分析】设Ax1,【详解】解：设Ax1,线段AC的长度为4x1−2x因为BD=12AC，所以：4x又因为AD平行于x轴，所以点A与点D的纵坐标相等，即4x1=2x∴44x即222x∵x1>0∴2x1线段AD长度为x2四、解答题15．（25-26高一下·新疆和田·月考）计算：(1)2(2)27【答案】(1)−7(2)100【分析】（1）根据对数的运算公式计算化简即可；（2）根据