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文档简介

高等数学

第一章

函数

函数的性质

目录Contents函数的奇偶性1函数的周期性2函数的单调性3函数的有界性4函数的奇偶性1知识引入观察下列函数的图象，完成表格，你有哪些发现？关于y轴对称-3-2-10123

关于原点对称-3-2-1123

知识引入奇偶函数定义偶函数奇函数

设函数

的定义域

关于原点对称.偶函数的图像关于y轴对称.奇函数的图形关于原点对称.例1判断下列函数的奇偶性

12345解：解：定义域关于原点对称是研究函数奇偶性的前提。

12利用定义判断函数的奇偶性奇偶函数运算性质奇函数代数和是奇函数，偶函数代数和是偶函数；奇数个奇函数相乘是奇函数，偶数个奇函数相乘是偶函数；偶函数的乘积是偶函数；奇函数与偶函数乘积是奇函数.1234解：练习函数的周期性2函数的周期性且若则称为周期函数,称l为周期(一般指最小正周期).例如，例2解：求下列函数的周期

【注】本题也可以直接用公式求解：函数的单调性3函数的单调性

设函数

的定义域,区间

增函数函数的单调性

设函数

的定义域,区间

减函数注：单调性是与“区间”紧密相关的概念,反映的是函数的局部性质.1任意取

，“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换.2函数单调性定义的等价形式(对于任意的)：【1】

在D上为增函数；【2】

在D上为减函数；【3】

在D上为增函数；

【4】

在D上为减函数.

即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积异号，函数为减函数.【1】判断(证明)单调性：【2】比较函数值大小：【3】已知函数值大小比较自变量：

并非所有函数都有单调性或者单调区间.如函数虽然它的定义域为R，但是它不具有单调性.例3例4解：判断函数

在区间

内的单调性.

利用定义判断函数单调性的步骤：12345总结函数在某个区间上图像从左向右呈上升趋势,则该区间为单调递增区间;若从左向右呈下降趋势,则该区间为单调递减区间.例5函数的有界性4函数的有界性设函数且有区间使称

在I上有界.使称

在I上无界.

oyxM-My=f(x)有界M-MyxoI无界I例如，因此，有界性是针对某一区间而言的.函数是否有界与所给区间有关.例6在实数范围内，下列函数中为有界函数的是()答案：A课堂小结函数奇偶性概念、如何判断函数的奇偶性；函数周期性概念；

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