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文档简介

高等数学

第七章

微分方程

微分方程定义及基本概念

目录Contents微分方程的定义1基本概念2常微分方程偏微分方程微分方程的阶通解、特解显式解、隐式解初值问题积分曲线微分方程的定义1引例1

解：

对（1）式两边积分，得

引例2列车在以20m/s的速度行驶，当其制动时获得的加速度为-0.4m/s2,问开始制动后多长时间列车才能停住？在这段时间内列车行驶了多少路程？解：

对（4）式两边积分得

由题意知

在科学研究和生产实践中，常常需要寻求表示客观事物变量之间的函数关系.然而,在许多问题中,往往不能直接得到所求的函数关系，只能得到含有未知函数的导数或微分的关系式.这样的关系式即通常所说的微分方程,通过求解微分方程可以进而得到函数关系.定义含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程.未知函数为一元函数的方程叫做常微分方程.未知函数为多元函数的方程叫做偏微分方程.基本概念2微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶.等都是微分方程.其中，(8)、(9)是一阶微分方程，(10)是二阶微分方程，（11）是五阶微分方程.微分方程的解

通解与特解如果微分方程的解中含有任意常数，且其中独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该方程的通解.不含任意常数的解称为该方程的特解.例

通解特解显式解与隐式解以显函数形式表示的解称为显式解.以隐函数的形式表示的解称为隐式解.例

或显式解隐式解初值问题用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件.

对于二阶方程，通常要求的条件是：

或记为初始条件问题1

称为一阶微分方程的初值问题.问题2类似地，问题称为二阶微分方程的初值问题.积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线，称为该微分方程的积分曲线.

例1：

分析：要验证一个函数是否是一个微分方程的通解，只需将该函数及其导数代入微分方程中，看是否使方程称为恒等式，再看通解中所含独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.

要求微分方程满足所给初始条件的特解，只要把初始条件代入通解中，定出通解中的任意常数后，便可得到所需求的特解.把他们代入式（12）的左端，得

解：

把式（13）中的初始条件：

分别代入中，得

练习验证：函数

是微分方程

的解,并求满足初始条件的特解.课堂小结微分方程、常微分方程、偏微分方程的定义；微分方程的阶、通解、特解、显式解、隐

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