10.4 随机变量的分布

第十章概率§10.4随机变量的分布教学目的：掌握随机变量的概念了解随机变量的分类掌握离散型随机变量的概率分布掌握两点分布、二项分布、泊松分布的概念掌握连续型随机变量的分布函数、概率密度的概念掌握均匀分布、指数分布、正态分布的概念教学重点：1.随机变量的概念2.离散型随机变量的概率分布3.几种常见的离散型随机变量的概率分布4.均匀分布、指数分布、正态分布的概率密度教学难点：随机变量的概念连续型随机变量的分布函数、概率密度的概念几种常见的连续型随机变量的概率密度教学内容：一、随机变量1、定义如果随机试验的每一个可能结果e都唯一对应着一个实数X(e),则这个随试验结果不同而变化的量称为随机变量.随机变量通常用X，Y，Z⋯表示,也可用希腊字母ξ，例如,掷一枚骰子,“出现的点数”是随机的,可能结果是:“出现1点”,“出现2点”,……,“出现6点”,可以用变量“X”来表示事件“出现的点数”:{X=1}表示事件{出现1点},X=2表示事件{出现2点},……，{X=6}表示事件{出现6点}．类型随机变量按其取值的情况,我们研究其中两类:离散型随机变量：随机变量的所有可能取值只有有限个或可列无限多个；连续型随机变量：随机变量取值不能一一列出﹐而是连续地充满某个区间.例如灯泡的寿命,这个随机变量可以取区间[0，+∞)内的一切值.二、离散型随机变量的分布律定义设离散型随机变量X的所有可能取值为x1,x2,...,xn,...,X取xk的概率为pk,即称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律.分布律也可以用图表的形式来表示，如下:例题例1某银行举行有奖储蓄活动,发行有奖储蓄券10万张,其中一等奖100张,二等奖500张,三等奖2000张,现任抽一张储蓄券,试求中奖等级X的分布律.解：若不中奖用{X=0}表示,其概率表示为P0=P{X=0}.根据题意,X为随机变量,其可能取值为0，1，2，3.例2设随机变量X的概率分布列为（1）求常数α；（2）求P{0.5≤X≤4}；解：(1)利用随机变量概率分布列规范性的性质,即可求出α.因为0.1＋0.1＋α＋0.3+0.2=1,所以α=0.3.P{0.5≤X<4)=P(X=1}＋P{X=2}＋P{X=3}=0.1＋0.3+0.3=0.7.3、几种常见的离散型随机变量的概率分布：1.两点分布如果随机变量X的概率分布为其中，0<P<1,则称随机变量X服从两点分布，又称(0-1)分布，记作X~(0−1).2.二项分布如果随机变量X的概率分布为其中，0<p<1，q=1−p,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记作X~B(n,p).很明显，又由二项式定理知因此,该随机变量X满足概率分布的两条性质.由于Cnkpkqn-k恰好是(p＋q)的通项,所以称其为二项分布.二项分布的实际背景就是n次伯努利概型.当n=1时,二项分布就成为两点分布.3.泊松分布如果随机变量X的概率分布为则称随机变量X服从参数为𝜆的泊松分布，记作X~π(λ).三、连续型随机变量的概率密度定义（1）随机变量的分布函数设X是一个随机变量，x是任意实数，函数：称为连续型随机变量X的分布函数：分布函数具有以下性质：（2）连续型随机变量的概率密度对于随机变量X的分布函数F(X)，若存在非负可积函数f(x)(-∞<x<+∞),对任意实数x都有则称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.概率密度具有如下性质：（3）几种常见连续型随机变量的概率密度均匀分布：如果连续型随机变量X的概率密度则称X在区间(a,b)服从均匀分布，记作X~U(a,b).其分布函数为指数分布：如果随机变量X的概率密度为则称X服从参数为λ的指数分布，记作X~E(λ).指数分布有着重要应用.在元器件寿命、动植物寿命、随机服务系统中的服务时间等数据都可用指数分布来描述.正态分布正态分布是概率分布中最常见的也是最重要的一种分布,在自然现象和社会现象中,大量的随机变量都服从或近似服从正态分布,例如:商品的使用寿命,零件长度,螺钉直径,人的身高、体重等随机变量都服从或近似服从正态分布.如果连续型随机变量的概率密度为则称X服从正态分布，记作X~N(μ,σ2),μ,σ为其两个参数.正态分布概率密度的函数图像为：当μ=1，σ=0时称X服从标准正态分布,记作X~N(0,1).其概率密度为分布函数为练习：1、从六个数1、2、3、4、5、6中任取三个数x1,x2,x3,试求随机变量X=min(x1,x2,x3)的分布列以及P{X≥3}.2、一批晶体管中有5%是次品,从中随机抽取8个,试求8个中含有的次