8.5 二重积分的计算

高等数学

第八章

多元函数微积分

二重积分的计算

目录Contents积分区域D的分类1X-型域Y-型域既是X-型，又是Y-型既非X－型域也非Y－型域2直角坐标下，二重积分的计算对X—型区域的二重积分的计算法对Y—型区域上的二重积分的计算法若区域既是X—型区域，又是Y—型区域若区域既不是X—型区域，又不是Y—型区域1积分区域D的分类[X-型域]

用不等式

，

来表示的区域，其中函数

、

在区间上连续，如图8-12、8-13所示，称为

—型区域；

【X—型区域的特点】穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.图8-12图8-13[Y-型域]用不等式

，

来表示的区域，其中函数

、

在区间

上连续，如图8-14、8-15所示，称为

—型区域。【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.图8-14图8-15[既是X-型，又是Y-型]积分区域D既是X-型，

，

，又是Y-型

，

，

，如图8-16所示，计算结果一样，但可做出适当选择。abdc图8-16［既非X－型域也非Y－型域］

如图8-17，则必须分割。在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)分别使用积分公式.由二重积分积分区域的可加性得图8-172直角坐标下，二重积分的计算对

—型区域

的二重积分的计算法

对

—型区域

上的二重积分的计算法

由此可得，二重积分的计算采取的方法是化为两次定积分法来计算。若区域

为

—

型，则先把

看成常量，对

进行积分，它的积分限一般是

的函数。然后在对

进行积分，它的积分限是常数。若区域

是为

—

型，则先把

看成常量，对

进行积分，它的积分限一般是

的函数。然后在对

进行积分，它的积分限是常数。这种先一个变量积分，然后再对另一个变量积分的方法，称为累次积分法。若区域既是—型区域，又是—型区域

这种类型区域的累次积分可以交换积分次序。即区域

既为

—型，可以用不等式

，

来表示。又为

—型的，可以用不等式

，

来表示，则若区域既不是

—型区域，又不是

—型区域

用平行于

轴或

轴的直线，把区域分成若干个属于同一类型的区域，如图8-17所示，然后在每个区域分别确定其上下限。最后根据积分的性质即可求解积分。

二重积分是化为两次定积分来计算的，关键是确定积分限.定限要注意的问题：1.上限>下限.2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数.3.外层积分上，下限应为常数(后积先定限).4.二重积分的结果应为常数.

注意：利用被积函数的奇偶性及积分区域

的对称性，常会大大化简二重积分的计算．

设函数

在闭区域

上连续，且

关于

轴对称，位于

轴上方的部分记为

，则在

上

若

，则

；若

，则

．

当区域关于

轴对称，函数关于变量

有奇偶性时有类似的结果．

在利用这种方法时，要同时兼顾到被积函数

的奇偶性和积分区域

的对称性两方面。例1

计算

，其中

是由直线

及

所围成的闭区域。解法1：首先画出积分区域

（图8-19）.解：图8-19

解法2：首先画出积分区域

，如图8-20，图8-20例2计算

，其中

是由直线

和

所围成的闭区域。

首先画出积分区域D，如图8-21所示.D既是X—型域，又是—Y型域解法1：解：

图8-21

解法2：首先画出积分区域D，如图8-22所示.注意到先对

的积分较繁，故应用法1较方便。图8-22

计算

，其中

是由抛物线

及直线

所围成的闭区域。

画出积分区域

，如图8-23所示。

既是

型的，又是

型的。

由与积分区域可表为

，用先对

后对

的积分次序，得例3解：

图8-23

画出积分区域D,如图8-24所示。如果用先对

后对

的积分次序，积分区域分成两个区域，即因此图8-24计算步骤及注意事项•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式充分利用对称性应用换元公式练习1.计算下列二重积分。（1）

其中（2）

其中

是顶点分别为

的三角形闭区域。2.画出积分区域，并计算下列二重积分。（1）

其中

是由圆周

及

轴所围成的右半闭区域。（2）

其中

是由直线