《高等数学（第三版）》课件 第四章 导数的应用

高等数学

第四章

导数的应用

目录Contents罗尔定理1拉格朗日中值定理2罗尔定理1预备定理：

费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何，因提出费马大、小定理而著名于世.核心是拉格朗日中值定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广.

我们首先介绍罗尔定理导数与应用的桥梁微分学的理论基础微分中值定理

罗尔定理

定理4.1几何意义：

实际上,切线与弦线AB平行.例1解：

拉格朗日中值定理2拉格朗日中值定理

定理4.2几何意义：

切线与弦线AB平行例2证：

练习

证：

证：

思考：思考并讨论上述问题，完成学习通平台的习题.课后任务课堂小结罗尔定理：三个条件缺一不可；拉格朗日中值定理：满足两个条件；高等数学

第四章

导数的应用

洛必达法则

目录Contents

1其它型未定式2

1在前面我们学过哪些求函数极限的方法？1、极限的四则运算法则：2、两个重要极限：3、无穷小与无穷大的关系：注意：每种运算法则都有其使用范围知识回顾：4、等价无穷小代换：知识回顾：

？洛必达法则

定理4.3注：

拓展延伸例1解：

求

例2解：

求

例3解：

求

例4解：

求

极限不存在，因而不能用洛必达法则.

说明洛必达法则是求未定式极限的一种简单有效方法，但它并不是万能的.当使用洛必达法则无效时，并不能说明所求极限不存在，只是不能用洛必达法则而已，这时需要用其他方法去考察所求极限.其它型未定式求极限2解决方法：取倒数，通分，取对数

例5

例5解：

例6

例6

解：

例7解：

求未定式极限时，最好将洛必达法则与其它求极限方法结合使用，能化简时尽可能化简.思考：思考并讨论上述极限值，完成学习通平台的习题.课后任务求课堂小结洛必达法则的内容，针对的未定式的类型；其他型未定式极限的计算.Thankyou高等数学第四章

导数的应用

函数的单调性与极值

目录Contents函数的单调性1极值的概念2极值的必要条件3极值存在的第一充分条件4极值存在的第二充分条件5函数的单调性1上山部分y随x的增大而增大，可以看成是单调递增的曲线；下山部分y随x的增大而减小，可以看成是单调递减的曲线.内容引入：爬山路线图

在爬山路线中：斜率为正曲线上升

斜率为负曲线下降

判定方法定理4.4在上连续,在内可导，（1）若在内则在内单调增加；（2）若在内则在内单调减少.设函数例1

解：例2

解：总结

极值的概念2观察发现：DECOBA

定义4.1

极值的概念函数的极值是局部性概念DECOBA

DECOBA

极值的必要条件3

定理4.5极值的必要条件可导的极值点必定是其驻点，但函数的驻点不一定是其极值点.

函数在其导数不存在的点也可能取得极值.注意极值存在的第一充分条件4判定定理1定理4.6

总结

例3解：

极值存在的第二充分条件5判定定理2定理4.7

（极值存在的第二充分条件）：例4解：

思考：思考并讨论上述函数的单调性与极值，完成学习通平台的习题.课后任务

课堂小结函数单调性的判断；极值的概念；极值的必要条件；极值存在的充分条件.Thankyou高等数学第四章

导数的应用

函数的最值

目录Contents最值的概念1最值的判断2最值的实际应用3最值的概念1引入新知：

最值问题在实际生活中，经常遇到类似的问题，需要解决在一定条件下，用量最小，利润最高，距离最短，设计最优等问题，这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题.

函数的最值最值的判断2总结

例1解：

最值的实际应用3在经济管理、工农业生产、工程技术和科学实验中，经常要面临最优规划、最优设计、最优决策及资源的最优利用等，讨论这些问题构成了一个称为最优化的领域.这类问题在数学上归结为求某一目标函数的最大值或最小值问题.解决这类问题，通常是根据所给条件建立目标函数，利用导数知识求出目标函数的最大值和最小值，根据实际问题要求给出结论.例2解：

要围一矩形场地，一边利用房屋的一堵墙，其他三边用长为20m的篱笆围成，问怎样围才能使面积最大？最大面积是多少？问：思考并讨论上述问题，完成学习通平台的习题.课后任务课堂小结最值的概念；函数最值的判断；最值问题的实际应用.Thankyou高等数学第四章

导数的应用

函数图像的描绘

目录Contents曲线的凹凸性与拐点1函数凹凸性的判断方法2曲线的渐近线3函数图形的描绘4曲线的凹凸性与拐点1情境引入：

某种液体从一圆锥形漏斗流入正方体容器中.开始时漏斗盛满液体，经过t秒漏完.已知正方体容器液面上升的速度是一个常量，H是圆锥中液面下落的距离，则判断H与下落时间t的函数关系.

从图形中看到，0A和AB两段曲线都是单调递增曲线，但是曲线弯曲方向不同，这是因为它们的增长速度不同，也是本节课要学习的曲线的凹凸性——数学上描述一个函数曲线的弯曲方向.凹凸性的概念定义4.2

定义4.3曲线上“凹”与“凸”的分界点称为曲线的拐点.函数凹凸性的判断方法2凹凸性的判断定理4.8

例1解：

例2解：

定义域为(,

).因为f

(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x

-12

=6(x

-2

)，令

f(x)=0，可得x=2.当

x(,2)时，f(x)<0，当

x(2,+)时，f(x)>0，此区间是凹区间．此区间是凸区间．当

x=2时，f(x)=0，因f(x)在x=2的两侧变号，而f

(2)=3，所以

(2,3)是该曲线的拐点.曲线的渐近线3函数的渐近线如果动点沿某一曲线无限远离原点时，动点到一条定直线的距离趋于0，称此直线为该曲线的一条渐近线.水平渐近线

垂直渐近线

例3解：

为水平渐近线.为垂直渐近线.函数图形的描绘4函数图形的描绘（1）确定函数的定义域.（2）求出函数的一阶导数和二阶导数.（3）求出一阶导