新版2026年中考数学（河北卷）真题详细解读及评析

2026年河北省中考数学真题完全解读试题分析2026年河北省中考数学试卷总分120分，考试时间120分钟，共设24题，题型包括选择题(12题，36分)、填空题(4题，12分)和解答题(8题，72分)。全卷立足课标、回归教材，注重基础性与综合性并重，在保持稳定结构的同时，突出了对数学核心素养和关键能力的考查。试卷覆盖了数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等全部主干知识模块，其中函数与几何综合题占据较大分值，体现了中考数学‘重基础、强综合、显应用’的命题导向。选择题第1至8题侧重基础概念和基本运算，第9至12题开始融入几何直观与数形结合；填空题第13至16题考查基本技能，第16题以旅游路线方案设计为载体，渗透了优化思想；解答题第17至19题分别考查方程不等式、乘法公式和尺规作图与相似，难度适中；第20题以家务劳动时长统计为背景，考查数据分析观念；第21题融合数学文化(会圆术),体现了河北卷对传统文化的关注；第22题以登山模型考查一次函数应用；第23题二次函数综合题和第24题几何综合题作为压轴题，区分度明显。整体而言，本卷注重思维过程考查，强调在真实情境中运用数学知识分析和解决问题的能力。 试题亮点河北文化情境与数学建模深度融合，彰显地方卷育人底色：第4题以河北博物院藏‘错金铜博山炉为素材考查三视图，将地方文物资源与空间几何知识有机结合；第2以学校铅球场地为实践场景，考查弧长计算和数学文化理解，体现了河北卷立足本土、传承文化的命题特色。这类题目不仅考查了学生的空间观念和数学建模能力，也增强了试卷的文化厚度和地域辨识度。压轴题思维含量提升，几何与函数综合仍是区分核心：第23题以二次函数y-(x-t)(x-3t)为载体，综合考查坐标系中的旋转、对称、最值等问题，涉及分类讨论和参数思想，对学生的数形结合和代数推理能力提出点G移动1个单位时点E移动d个单位为设问，将几何直观与代数运算深度融合。两道题均注重思维过程而非机械计算，有效区分了不同层次学生的数学素养。命题趋势地方文化情境持续入题，传统文化与学科育人双线并进：河北卷近年持续将地方文化、传统科技融入数学迹、科技成就为背景的试题将继续保持，且情境与知识点的结合将更加紧密，不仅考了生活化情境，从美术调配颜料到登山用时模型，涵盖了比例、优化、统计、函数等多个知识领域。未来命题将继续从学生熟悉的生活场景、社会热点和地方产业中选取素材，引导学生经历·发现问题—建立模型—求解验证—反思优化’的完整过程，强化数学建模和应用意识的核心素养考查。基础题送分到位但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：本卷选择题前8题和填空题前3题总体难度不高，但第2题以‘点P在直线AB外'的图形为背景考查邻补角，需要学生准确识别图形关系；第6题分式化简虽然计算量不大，但涉及因式分解和通分技巧，要求学生真正理解分式运算的本质而非死记步骤。未来命题将继续以基础题为基本盘，但通过图形识别、概念辨析和‘反套路’设计，检验学生是否真正理解数学概念的本质。动态综合延续了河北卷压轴题的传统风格，涉及参数t的讨论、动点轨迹分析、最值求解等高阶思维。预计未来河北卷将继续以函数图像性质与几何变换综合为压轴方向，强化数形结合、分类讨论和从特殊到一般的探究路径，思维过程考查将继续成为顶尖区分度的重要载体。考情分析考情分析题号题型具体考点关键能力13数与式→整式→合并同类项运算能力23图形的性质→相交线与平行线→邻补角几何直观33运算能力43图形的变化→投影与视图→三视图空间观念5363数与式→分式→分式的加减运算能力73力83统计与概率→概率→古典概型93观3推理能力3函数→反比例函数→反比例函数的图象与性质推理能力3函数→一次函数→一次函数与面积力填空3运算能力填空3图形的性质→平行四边形→平行四边形的判定与性质、解直角三角形力填空3方程与不等式→一元二次方程→根与系数的关系力填空3力7方程与不等式→一元一次方程、一元一次不等式→解一元一次方程与不等式运算能力8数与式→乘法公式→平方差公式的应用运算能力8图形的性质→三角形→尺规作图、相似三角形的判定与性质观8统计与概率→统计→频数分布直方图、平均数、样本代表性9综合与实践→圆的综合→弧长公式、数学文化(会圆术)模型观念、应用意识9函数→一次函数→一次函数的实际应用模型观念、应用意识函数→二次函数→二次函数综合(旋转、对称、最值)力综合与实践→几何综合→正方形、相似、全等、动点问题观数与式模块(约19%,23分):重点考查整式加减、二次根式运算、分式化简、乘法公式及有理数运算等基础代数内容，对应第1、3、5、6、13、18题，函数模块(约22%,26分):重点考查一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质及综合应用，对应第11、12、22、23题。10、14、19题。长计算及几何综合探究，对应第4、9、16、21、24题。统计与概率模块(约9%,11分):重点考查概率计算、统计图表分析与平均数，对应第8、20题。复习策略复习策略(1)优先巩固数与式、方程不等式、函数图象等核心概念，做到概念清晰、运算准确、表达规范。选择题和填空题的前半部分占分较多，基础扎实即可稳定得分。(2)重视课本例题和课后习题的变式训练，尤其是整式运算、分式化简、解方程不等式、二次根式运算等高频考点，确保基本计算不丢分。(1)针对图形的变化(翻折、旋转、平移)和相似全等专题，归纳常见辅助线作法(如作高、作平行线、(2)对函数综合题(尤其是二次函数),重点训练待定系数法、数形结合、分类讨论和最值分析，掌握参数问题的处理策略。(1)多关注以生活实际、传统文化、地方特色为背景的统计与概率、方案设计、函数应用题，培养从情境中提取信息、建立模型、求解验证的能力。(2)注重规范表达和步骤完整性，尤其是解答题要写出关键依据(如定理、公式、性质),避免因步骤缺失或表述不清而失分。避坑提醒(考试最易踩的雷)×运算符号出错：分式化简和根式运算中，符号处理(负号、括号)是常见失分点，建议分步书写、及时检×忽视题目条件限制：如第15题求m的值后忘记验证判别式；第23题分类讨论时忽略参数t的取值范围。×统计题忽略样本代表性：第20题分析原因时要指出样本特殊性(学生家长的劳动时长),不能泛泛而谈。真题解读真题解读一、单选题A.2abB.2a+2bC.a²b²命题透视◆核心考点：合并同类项命题分析：(1)情境创设：以代数式化简为背景，直接考查同类项的识别与合并运算。(2)问题设计：(1)情境创设：直接给出代数式a+a+b+b,不设生活情境，回归代数运算本质；(2)问题设计：要求将同类项合并，选项设置包含2ab、2a+2b等易混淆项：(3)考查目标：考查学生对同类项概念的理解和基本代数运算能力。(3)考查目标：考查运算能力和代数符号意识，要求学生准确识别同类项并正确合并。答案与解析【答案】【答案】B知识总结①核心概念：同类项是指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，系数相加，字母及指数不变。②解题方法：直接合并a的系数得2a,合并b的系数得2b,结果为2a+2b,③拓展关联：合并同类项是整式加减运算的基础，后续学习整式乘除、因式分解时均需熟练运用。2.如图，点P在直线AB外，点C是直线AB上的动点，则∠1与∠2的关系一定成立的是()命题透视▶核心考点：邻补角(平角)命题分析：(1)情境创设：以点P在直线AB外、点C在直线AB上为背景，考查角的位置关系。(2)问题设计：(1)情境创设：以简单的几何图形为背景，突出对基本图形中角关系的识别；(2)问题设计：通过图形给出∠1和∠2,要求判断它们之间的数量关系；(3)考查目标：考查学生对(3)考查目标：考查几何直观和推理能力，要求学生能从图形中发现∠1+∠2=180°的关系，答案与解析知识总结②解题方法：点C在直线AB上，则∠ACB为平角，∠1与∠2组成平角，故∠1+∠2=180°。③拓展关联：邻补角是研究相交线、平行线性质的基础，后续学习平行线的性质与判定时常需利用A.√5B.5命题透视核心考点：二次根式的乘法命题分析：(1)情境创设：直接给出根式乘法算式，考查二次根式乘法法则。选项设计包含√5、5、5√6、6√5等，次根式乘法运算和化简能力。(3)考查目标：考查运算能力，要求学生熟练运用√a·√b=√(ab(3)考查目标：考查运算能力，要求学生熟练运用√答案与解析【详解】解：知识总结①核心概念：二次根式乘法法则√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)。②解题方法：根式化简密切相关。4.河北博物院收藏的错金铜博山炉(如图1所示)是汉代颇具代表性的香薰器物.将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体(如图2所示),则这个几何体的主视图中没有出现的图形是()命题透视(1)情境创设：以河北博物院藏‘错金铜博山炉’为素材，将其近似为由圆锥、半球和圆柱组成的几何体，考查主视图。(2)问题设计：(1)情境创设：将河北地方文物资源融入试题，增强文化认同感：(2)问题设计：判断主视图中没有出现的图形，需要分别分析圆锥、半球、圆柱的主视图；(3)考查目标：考查空间观念和三视图知识。(3)考查目标：考查空间观念和几何直观能力，要求学生能准确判断简单组合体的三视图。【分析】根据三视图的定义，分别分析圆锥、半球、圆柱的主视图形状，即可得出结论.【详解】解：该几何体上部是圆锥，中部是半球，下部是圆柱∴这个几何体的主视图中出现的图形有三角形、半圆、矩形，没有菱形.知识总结①核心概念：主视图是从前向后观察物体所得的视图。圆锥的主视图是三角形，半球的主视图是半圆，圆柱的主视图是矩形。②解题方法：分别判断三种几何体的主视图，然后找出未出现的图形。③拓展关联：三视图是空间几何体与平面图形之间的桥梁，是培养空间观念的重要载体。5.嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色，如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类，用6g红色颜料和4g黄色颜料调配出的颜色属于()红色颜料占比调配出的颜色(1)情境创设：以美术课调配颜料为背景，给出红色和黄色颜料的质量，要求判断调配出的颜色类别。(2)问题设计：(1)情境创设：美术课调配颜料，贴近学生生活；(2)问题设计：先计算红色颜料占比，再结合数轴上的分类范围判断类别；(3)考查目标；考查比例计算和数据观念。(3)考查目标：考查数据观念和运算能力，要求学生能正确计算比例并结合分类标准进行判断。【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合数轴上的分类范围进行判断.【详解】解：∵红色颜料质量为6g,黄色颜料质量为4g∴调配出的颜料总质量为6+4=10(g)∴红色颜料的占比知识总结①核心概念：比例=部分量÷总量×100%。②解题方法：红色颜料质量6g,黄色颜料4g,总质量10g,红色占比60%,结合分类范围判断为③类。③拓展关联：比例应用广泛存在于化学配比、地图比例尺、统计图表等领域。6.计算；命题透视◆核心考点：分式的加减命题分析：(1)情境创设：直接给出分式减法算式，考查分式化简能力。(2)问题设计：(1)情境创设：纯代数运算情境：(2)问题设计：计算x/(x-1)-(2x-1)/(x”2-x),需要先因式分解、通分，再化简；(3)考查目标：考查分式加减运算和因式分解能力。(3)考查目标：考查运算能力，要求学生掌握分式加减的通分技巧和因式分解方法。答案与解析答案与解析【答案】A【详解】解：知识总结①核心概念：分式加减需先通分，最简公分母为各分母因式的最高次幂的积。②解题方法：x/(x-1)-(2x-1)/(x(x-1))=[x^2-(2x-1)]/[x(x-1)]=(x-1)^2/[x(x-1)]=(x-1)/x。③拓展关联：分式化简是后续学习分式方程、函数化简的基础。7.如图，将一个边长为a的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48,A.6(1)情境创设：以正方形切割为6个全等矩形为背景，通过周长关系求正方形边长。(2)问题设计：(1)情境创设：图形分割问题，直观形象；(2)问题设计：已知切割后总周长增加48,求原正方形边长a;(3)考查目标：考查几何直观和方程建模能力。(3)考查目标：考查几何直观和运算能力，要求学生能根据切割特点建立周长变化的方程。【答案】【答案】B【分析】根据图形切割的特点，每切一刀，总周长增加两个切线长度，据此建立方程求解即可，【详解】解：根据题意可知正方形的边长为a,由图可知，将正方形分成6个全等矩形，需要横向切2刀，纵向切1刀，∵每切一刀，周长之和增加2a,∵6个矩形周长之和比原正方形的周长多48,知识总结①核心概念：每切一刀，总周长增加两个切线长度。②解题方法：横向切2刀、纵向切1刀，共增加2a×3=6a=48,解得a=8.③拓展联想：图形切割问题常考查‘每切一刀增加两条边长’的规律。8.掷两枚质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数),若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为n的概率相等，则n=()A.3B.4C.11(1)情境创设：掷两枚质地均匀的骰子，已知点数之和为2的概率与点数之和为n的概率相等，(2)问题设计：(1)情境创设：经典概率模型，通过列表或树状图分析：(2)问题设计：先计算点数之和为2的概率，再逐一验证各选项；(3)考查目标：考查概率计算和数据分析能力。(3)考查目标：考查数据分析能力，要求学生能利用列表法求出各种和出现的概率。【分析】通过列表法计算各选项概率即可得解.和123456123456723456783456789456789567896789对各选项逐一验证：当n=3时，共2种，排除A;当n=12时，共1种，与点数和为2的概率相等，知识总结①核心概念：古典概型中，P(A)=事件A包含的基本结果数÷总结果数。②解题方法：列表可知点数之和为2的概率为1/36,点数之和为12的概率也为1/36,故n=12.③拓展关联：列表法和树状图是解决两步及以上随机试验概率问题的常用工具。9.如图，在四边形ABCD中，ADIIBC,BC=3AD,过点A到△AB'E.B'A,B'E分别与直线DC交于M,N两点，则△MB'N与△ABE的面积之比为()命题透视◆核心考点：图形的翻折与相似三角形(1)情境创设：在四边形ABCD中，AD//BC,将△ABE沿AE翻折得到△AB'E,考查面积之比。(2)问题设计：(1)情境创设：以四边形和翻折变换为背景，考查动态几何中的不变关系；(2)问题设计：通过平行、翻折、相似三个层次递进，最终求面积比；(3)考查目标：考查推理能力和几何直观。(3)考查目标：考查推理能力，要求学生能通过平行四边形、翻折性质和相似三角形综合求解。答案与解析【答案】【答案】C①核心概念：翻折变换保持图形的形状和大小不变，对应边相等、对应角相等；相似三角形的面积比等于相似比的平方。②解题方法：先证四边形AECD为平行四边形，得BE=2EC;由翻折得BE=B'E,再证△B'MNO△B'AE,利用相似比为1/2,得面积比为1/4.③拓展关联：翻折与相似是动态几何中的常见组合，10.如图，在◎0中，ACB所对的圆心角为150°,点D在AC上.若∠CBO=n°,则∠ADC=()A.90°+nB.180°-nC.195°-n°D.2n°命题透视◆核心考点：圆心角、圆周角、圆内接四边形(1)情境创设：在圆中，已知弧ACB所对的圆心角为150°,∠CBO=n°,求∠ADC,(2)问题设计：(1)情境创设：以圆为背景，综合考查圆心角、圆周角、圆内接四边形等知识；(2)问题设计：通过连接辅助线，利用等腰三角形性质和圆内接四边形对角互补求解：(3)考查(3)考查目标：考查推理能力，要求学生能综合运用圆的有关性质进行角度计算。答案与解析【分析】如图，连接CO并延长交口0于点E,连接AE,首先利用等边对等角得到∠OCB=∠CBO=n°,然边形对角互补求解即可.【详解】解：如图，连接CO井延长交◎0于点E,连接AEB0知识总结①核心概念：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形对角互补。②解题方法：连接OA、OB、0C,由等腰三角形性质求∠BOC,再由圆心角与圆周角关系及圆内接四边形性质求解。③拓展关联：圆中角度计算常需添加辅助线，构造等腰三角形或直角三角形。11.平面直角坐标系中有A(1,n),B(m,6),C(m,n)三点.若直线AB经过原点，则点C一定在()B.函的图象上C.函数y=-x+5的图象上D.函数y=6x的图象上命题透视▶核心考点：反比例函数的图象与性质命题分析：(1)情境创设：已知三点A(1,n)、B(m,6)、C(m,n),直线AB经过原点，判断点C所在函数图象， (2)问题设计：(1)情境创设：坐标系中三点位置关系，考查函数与坐标的关联；(2)问题设计：先由A、B在过原点的直线上求出mn=6,再判断C(m,n)满足的关系：(3)考查目标：考查推理能力。(3)考查目标：考查推理能力，要求学生能通过坐标关系建立数量联系。答案与解析【答案】【答案】B【分析】先根据直线AB过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到m与n的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式，【详解】解：∵直线AB经过原点，∴设直线AB的解析式为y=kx,把A(1,n)代入解析式得n=k·1,即k=n,∴直线∴直线AB的解析式为y=nx,把B(m,6)代入y=nx得6=n·m,即mn=6,∵点C的坐标为(m,n),对函变形可得xy=6,满足点C的坐标特征，知识总结故mn=6,点C在y=6/x上。③拓展关联：反比例函数图象上点的横纵坐标之积为定值，这是判断点是否在反比例函数图象上的重要依据。12.如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为m,n,则m-n=()命题透视命题分析：(1)情境创设：在平面直角坐标系中，四条直线围成两个阴影部分，面积分别为m、n,求m-n。(2)问题设计：(1)情境创设：坐标系中直线围成的图形面积，综合性较强；(2)问题设计：先求出四条直线的解析式，再分别计算两个阴影部分的面积：(3)考查目标：考查推理能力和运算能力。(3)考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能准确求出直线方程并计算多边形面积。答案与解析四边形和一个三角形，分别计算面积，再计算面积差即可求解.【详解】解：如图，过点B作BJIx轴交直线l₁于点，过点F作EFIx轴交直线l₁于点E,∵直线l₁与L₂的斜率均为3.阴影部分m的面积=知识总结①核心概念：待定系数法求直线解析式；平行四边形和三角形面积计算。②解题13.计算：4-(-6)=._·命题透视命题分析：(1)情境创设：直接计算4-(-6)。(2)问题设计：(1)情境创设：纯计算题；(2)问题设计：直接考查有理数减法法则；(3)考查(3)考查目标：考查运算能力，要求学生掌握‘减去一个数等于加上它的相反数’的法则。答案与解析【分析】本题考查有理数的减法，熟练掌握减法法则是解题的关键.根据减【分析】本题考查有理数的减法，熟练掌握减法法则是解题的关键.根据减去一个数等于加上它的相反数将减法变加法计算即可.【详解】解：4-(-6)=4+6=10,①核心概念：有理数减法法则：a-(-b)=a+b。②解题方法：4-(-6)=4+6=10。③拓展关联：有理数运算是整个初中数学运算的基础。(1)情境创设：楼梯护栏侧面图，AB//CD,BD⊥DE,AC⊥DE,∠BAC=60°(2)问题设计：(1)情境创设：以楼梯护栏为背景，将几何问题融入生活场景：(2)问题设计：通过平行和垂直条件判定平行四边形，再利用三角函数求解；(3)考查目标：考查推理能力和运(3)考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能综合运用平行四边形性质和三角函数求解。【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得BDIⅡAC,结合已知ABIICD可判定四边形ABDC为平行四边形，从而得出CD=AB;利用平行线的性质得出∠DCE=∠BAC,最后在Rt△CDE中利用三角函数求知识总结①核心概念：两组对边分别平行的四边形是平行四边形：平行四边形对边相等：cos60°=1/2。②解题③拓展关联：解直角三角形是解决实际问题的重要工具，关键在于构造或识别直角三角形。15.已知关于x的一元二次方程：有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则(1)情境创设：已知一元二次方程x^2+(1/4)x+m=0有两个实数根，其中一个根是另一个根的平(2)问题设计：(1)情境创设：纯代数问题，考查根与系数关系；(2)问题设计：设两根为t和t*2,利用韦达定理建立方程求解；(3)考查目标：考查运算能力和推理能力。(3)考查目标：考查运算能力和推理能力，要求学生能灵活运用根与系数关系建立方程。【答案】【答案】再计算m,最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可.知识总结设两根为t和t^2,由韦达定理得t+t”2=-1/4,t^3=m,解得t=-1/2,m=-/8,验证判别式△>0.③拓展关联：根与系数关系(韦达定理)是处理一元二次方程根的问题的重要工具。16.一游客计划从A地出发到B,C,D三地旅游，然后回到A地.该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如A→D→B→C→A.若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用(单位：百元),则此次旅游的交通费用最少为百元，命题透视◆核心考点：最短路径与方案优化(1)情境创设：游客从A地出发到B、C、D三地旅游后回到A地，求最少交通费用。(2)问题设计：(1)情境创设：旅游路线选择，贴近生活实际；(2)问题设计：列举所有可能的路线方案，计算费用后比较大小；(3)考查目标：考查模型观念和推理能力。(3)考查目标：考查模型观念和推理能力，要求学生能有序列举并比较各种方案。答案与解析【答案】21【答案】21【分析】根据题意列举出所有可能的旅游路线，分别利用有理数加法法则计算各条路线的交通费用，通过比较大小得出最小值，【详解】解：根据题意，从A地出发到B,C,D三地旅游，然后回到A地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案：交通费用为：3+5+7+6=21(百元);交通费用为：3+8+7+4=22(百元);交通费用为：4+5+8+6=23(百元);交通费用为：4+7+8+3=22(百元);交通费用为：6+8+5+4=23(百元);交通费用为：6+7+5+3=21(百元);因为21<22<23,①核心概念：通过列举所有可能的方案，利用加法计算各方案总费用，再比较大小找出最优方案，②解题方法：列出6种路线方案，分别计算费用，最小值为21百元。③拓展关联：方案设计与优化是综合与实践领域的核心内容，常涉及最短路径、最小费用等问题。17.解方程、解不等式；(1)情境创设：解方程3x=12+x和解不等式x-3>(x-1)/2.(2)问题设计：(1)情境创设：基础运算题，考查基本技能；(2)问题设计：分别考查方程和不等式的解法；(3)考查目标：考查运算能力。(3)考查目标：考查运算能力，要求学生掌握解方程和不等式的基本步骤。【详解】(1)解：3x=12+x,移项，得3x-x=12合并同类项，得2x=12,系数化为1,得x=6;知识总结①核心概念：解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1;解不等式时不等号方向变化规则。②解题方法：(1)3x=12+x→2x=12→x=6;(2)x-3>(x-1)/2→2x-6>x-→x>5。③拓展关联：一元一次方程和不等式是后续学习二元一次方程组、分式方程的基础。18.用运算律或乘法公式可以简化运算，例如：=9604.(1)情境创设：用运算律或乘法公式简化运算，以982=982-22+22=(98+2)(98-2)+2~2为例，计算99*2和(-105)^2,(2)问题设计：(1)情境创设：以‘简便运算’为背景，考查乘法公式的灵活运用；(2)问题设计：通过例题引导，要求学生模仿方法完成计算：(3)考查目标：考查运算能力和创新意识。(3)考查目标：考查运算能力和创新意识，要求学生能理解并迁移平方差公式的简便运算方法。【答案】(1)【答案】(1)【详解】(1)证明见答案解：992=992-1²+1²=11025.知识总结①核心概念：平方差公式a2-+"2=(a+b)(ab)。②解题方法：99~2=(99+1)(99-1)+1=9800+1=9801;19.按要求解答下列问题：CC(1)尺规作图：如图1,在△ABC中，作出AB边的垂直平分线l;(保留作图痕迹，不写作法)命题透视◆核心考点：尺规作图、相似三角形的判定与性质命题分析：(2)问题设计：(1)情境创设：尺规作图与几何证明相结合；(2)问题设计：第(1)问考查基本作图，第(2)问通过等边对等角和外角性质证明相似，进而求解：(3)考查目标：考查几何直观和(3)考查目标：考查几何直观和推理能力，要求学生掌握尺规作图和相似三角形的判定与性质。答案与解析【答案】(1)如图1,直线【答案】(1)如图1,直线L即为所求；A【分析】(1)根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可：【详解】(1)略(2)解：∵DA=DB①核心概念：垂直平分线的作法；等边对等角；三角形外角等于不相邻两内角之和；两角对应相等则得CD=4。③拓展关联：相似三角形是初中几何的核心内容，常与勾股定理、圆的性质综合考查。20.为培养学生的劳动观念和家庭责任意识，某中学开展了“家长家务劳动时长”调查活动。在某一周，每名学生统计自己家长每天整理收纳、烧菜做饭、洗衣清扫等家务劳动时间，计算出家长日均家务劳动时长t(单位：h)并提交，(计算方法：淇淇随机抽取了40名同学提交的数据，如下；知识总结①核心概念：频数分布直方图是用小长方形的高度表示频数的统计图；平均数=各组中值×频数之和÷总数；样本代表性指样本能否反映总体特征。②解题方法：由数据得1.25<t<1.75有4个，3.25<t<3.75有6个，补全直方图；平均数=(1.5×4+2.0×11+2.5×12+3.0×7+3.5×6)/40=2.5h;差异原因主要是样本为学生家长，群体特殊，且样本量小、来源单一。③拓展关联：统计推断是从样本估计总体的过程，样本的代表性直接影响推断的可靠性，3.6,2.1,1.9,3.2,2.4,3.1,2.0,2.3,3.7,2.7,1.9,3.3,2.0,2.6,2.0,3.4,2.5,2.1,2.2,1.8,2.4,3.0,【整理数据】淇淇将数据适当分组后，绘制了如图所示的不完整的频数直方图.【分析数据】(2)把频数直方图中各组数据用该组的中间值来代替(如1.25-1.75的中间值为1.5),并利用图中信息，计算这40名学生提交的家长日均家务劳动时长的平均数E.(3)资料显示，我国6周岁以上居民的日均家务劳动时长约为1.28h,淇淇发现与之相比有明显差异，请结合统计知识分析原因.(写出一条即可)(1)情境创设：直接给出根式乘法算式，考查二次根式乘法法则。选项设计包含√5、5、5√6、6√5等，(3)考查目标：考查运算能力，要求学生熟练运用√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)进行计算。【答案】(1)补全频数分布直方图如图；【答案】(1)补全频数分布直方图如图；频数4(3)调查对象为学生家长，样本不具有代表性，家长群体家务时长普遍高于全国平均水平【分析】(1)根据40个数据确定，1.25<t<1.75和3.25<t<3.75的数据个数，即可补全频数分布直方(2)先求出各组的组中值，再根据平均数的定义求解即可；(3)本次调查的样本是某中学学生的家长，群体具有特殊性，家长群体需要照顾家庭、承担更多家务，劳动时长普遍高于全国全年龄段居民的平均水平，且样本仅来自一所中学，不具备存在明显差异.【详解】(1)解：由统计数据可得，1.25<t<1.75的数据有4个，3.25<t<3.75的数据有6个，则补全频数分布直方图：频数4(2)解：第一组的组中值为(1.25+1.75)÷2=1.5,同理可求其余各组组中值为2.0、2.5、3.0、3.5,答：平均数E=2.5h;(3)略21.在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动主题研究内容本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ(如图1所示),已知扇形OPQ所在圆的半径0M⊥PQ于点N,OP≈10.00m,用不同的方案分别求PQ的长I.图1工具软尺(长度足够)、测角仪(可测量角度的大小)等案与实践成果方案一方案二测量PQ的测量数据：用测角仪测角，利用弧长公式计算PQ的长，测量数据：MN≈0.50m用结果的平均利用弧长公 的方法减少误②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题.如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB为6m,拱高CD为1m,虽计算过程如下：.…请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：(1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；(写出一种方法即可)(2)分别利用方案二(结果保留π)和方案三计算PQ的长l;(3)求图2中弧长1～和圆心角∠AEB.(π取3.1)命题透视命题分析：(1)情境创设：综合实践活动，以学校铅球场地抽象为扇形为背景，用三种方案求弧长，引入北宋沈括《梦溪笔谈》中的‘会圆术’。(2)问题设计：(1)情境创设：综合实践活动+数学文化，既有实践操作又有历史传承；(2)问题设计：分三小问，分别考查误差控制、弧长公式与会圆术计算、以及实际应用；(3)考查目标；考查模型观念和应用意识。(3)考查目标：考查模型观念和应用意识，要求学生理解弧长公式和会圆术，并能应用于实际问答案与解析【答案】(1)多次测量取平均值【答案】(1)多次测量取平均值(2)方案二弧长为2πm;方案三弧长为6.225m【分析】(1)方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差；(2)方案二利用弧长公式求解即可，方案三代入已知数据求解即可；(3)先由垂径定理以及勾股定理求解(3)先由垂径定理以及勾股定理求解AE,再由“会圆术”求解弧长，最后根据弧长公式求解圆心角的度数即【详解】(1)解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差；(2)解：方案二：(m);方案三：,PQ≈6.20m,MN≈0.50m,OP≈10.00m(3)解；∵CD⊥AB,AB=6m在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE²=AD²+DE²知识总结①核心概念：弧长公式1=(nπr)/180;会圆术公式1=PQ+MN~2/OP。②解题方法：方案二利用弧长公式1=(36×π×10)/180=2π(m);方案三代入数据得1=6.20+0.50^2/10.00=6.225(m);第(3)问先由垂径定理和勾股定理求半径AE=5m,再算弧长1=6.2m,圆心角n=72°。③拓展关联：数学文化题不仅考查知识，更强调对数学历史和思想方法的理解，是河北卷的特色题型。22.某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时t(分钟)的模型：t=t₁+t₂.其中，t₁=kx(k为常数),x(千米)表示登山路线的长度：t₂=150h,h(千米)表示山顶与起点的海拔高度差，从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示.(说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间)★起点一等高线路线2B(1①求k,h的值；②计算路线3的长度，(2)已知山顶M的海拔高度为1000米，B在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度(单位：米),若该登山爱好者从B出发到山顶M的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶M的预估用时.(1)情境创设：登山爱好者总结登山用时模型t=kx+150h,已知路线长度x和海拔高度差h,求参数k、h和预估用时。(2)问题设计：(1)情境创设：以登山运动为背景，建立一次函数模型；(2)问题设计：第(1)问用待定系数法求参数，第(2)问代入模型求预估用时；(3)考查目标：考查模型观念和应用意识。(3)考查目标：考查模型观念和应用意识，要求学生能根据数据建立一次函数模型并求解。120,然后将t=195代入，解方程即可；(2)求出海拔差为0.6km,然后代入t=15x+15路线3同样从A到M,海拔差仍为h=0.8km,将t=195代入t=15x+120,得15x+120=195即路线3的长度为5千米：(2)解：由等高线图可知，B点位于400米等高线上，海拔为400m=0.4km;山顶M海拔为1000m=1km,因此海拔差：h=1-0.4=0.6km即预估用时为135分钟知识总结①核心概念：待定系数法求一次函数解析式：一次函数y=kx+b中k、b的几何意义。②解题方法t=15×3+150×0.6=135分钟。③拓展关联：一次函数模型广泛应用于行程、费用、利润等实际问题，关键23.如图，二次函数y=(x-t)(x-3t)(其中t>0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴(1)若t=1,求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C′是否在直线PD上；命题分析：(1)情境创设：二次函数y=(x-t)(x-3t)的图象与x轴、y轴交点，顶点P,将B绕A顺时针旋转90°得D。(2)问题设计：(1)情境创设：二次函数与几何变换综合，参数t贯穿始终；(2)问题设计：第(1)问求直线PD表达式并判断对称点是否在直线上：第(2)问求参数t使最大值等于9:第(3)问求m的最小值；(3)考查目标：考查推理能力和运算能力。(3)考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能综合运用二次函数性质、旋转对称、分类讨论和最值分析求解，答案与解析【答案】(1)y=x-3,点C'′不在直线PD上AB=3-1=2,P(2,-1),由旋转可得AD=AB=2,∠BAD=90°,则D(1,-2),再由待定系数法求解直线PD:y=x-3;然后求出点C关于二次函数图象对称轴的对称点C′为(4,3),再代入直线PD表达式验证即可；(2)先求出对称轴为直线：然后分三种情况，根据二次函数的图象与性质求解即可；(3)同(1)可求D(t,-2t),可求P(2t,-t²),设直线OP:y=px,求出,由DEIOP,可设直线DE:y=求出直线DE:,当x=0时，,再由二次函数的图象与性质求解即可；【详解】(1)解：如图，CB0pE