2025-2026学年广东广州市白云区颜乐天纪念中学高二下册期中调研数学试题 含解析

/数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若函数在处可导，则（）A. B. C. D.2.6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有（）A. B. C. D.3.在等差数列中，，且，，构成等比数列，则公差d等于（）．A. B.0 C. D.0或4.函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.5.高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（）（单位：万元）参考数据：，，A.2.5 B.2.0 C.2.2 D.2.66.已知，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.7.已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（）A.80 B.208 C.680 D.7808.已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列运算正确的是（）A.B.C.D.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则t的最小值为211.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（）A.从第2行起，第行的第个位置的数是B.记第行的第个数为，则C.从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则D.从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足，，则________.13.的展开式中的系数是________（结果用数字表示）．14.已知函数的两个极值点为，，且，则的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种?（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）老师不站中间，女生甲不站左端.16.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17.已知在时有极值0.（1）求常数a，b的值；（2）如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数.18.已知数列满足，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式；（3）记，数列的前项和为，证明.19.已知函数，．（1）已知在处的切线斜率为，求实数的值；（2）若，且关于的方程有个不相等的实数解，求的取值范围；（3）若函数在上单调递增，求的取值范围．

数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若函数在处可导，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用导数的定义求解.解答过程：因为函数在处可导，所以.故选：B.2.6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据分步乘法即可.解答过程：对于每个班来说有7种选择，则根据分步乘法有种安排方法，故选：D.3.在等差数列中，，且，，构成等比数列，则公差d等于（）．A. B.0 C. D.0或答案：D解析：思路：根据题意列出等式，即可求得答案.解答过程：由题意得：，则，解得或，符合题意，故选：D4.函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案.解答过程：由图象可知在上单调递增，，

故，即．故选：B．5.高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（）（单位：万元）参考数据：，，A.2.5 B.2.0 C.2.2 D.2.6答案：C解析：思路：本题是复利计息问题，逐年分析寻找规律，然后根据等比数列的求和公式即可求解.解答过程：由题意，2025年存的2000元共存了10年，本息和为万元，2026年存的2000元共存了9年，本息和为万元，2034年存的2000元共存了1年，本息和为万元，所以到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为万元，故选：C.6.已知，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由赋值法逐项判断A，C，D即可，对于B，求展开式中第7项的系数即可.解答过程：对于A，取，得，故A错误；对于B，的展开式中第7项为，所以，故B错误；对于C，取得，所以，故C错误；对于D，由，取得，取得，所以，故D正确.故选：D7.已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（）A.80 B.208 C.680 D.780答案：B解析：思路：根据题意求出等差数列的首项，可得到通项公式以及前项和，再根据通项公式判断出前20项中，前8项为负数，后12项为正数，故所求数列的前20项之和为，代入计算即可得到答案.解答过程：因为，即，解得，所以，前项和，所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数，所以.故选：B．8.已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可.解答过程：由题知函数的定义域为，，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增；因为函数在区间上不单调，所以，，解得，所以，实数的取值范围是.故选：D．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列运算正确的是（）A.B.C.D.答案：BD解析：解答过程：对于A项：，所以A错；对于B项：，所以B对；对于C项：，所以C错；对于D项：，所以D正确．10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则t的最小值为2答案：ABC解析：思路：首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．解答过程：对于A，由，得，∴，故A正确；对于B，，当时，，当时，，∴在，上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.方法提示：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．11.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（）A.从第2行起，第行的第个位置的数是B.记第行的第个数为，则C.从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则D.从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则答案：BCD解析：思路：由杨辉三角形的特征，可直接判断A；逆用二项展开式，即可判断B；由题意易知，根据累加法即可判断C；D选项，根据题意可得，利用裂项相消法计算可判断D.解答过程：A选项，从第2行起，第行的第个位置的数是，故A错误；B选项，第行的第个数为，则，因为，故B正确；C选项，由题意可得，则,，以上各式相加得，因此，故C正确；D选项，由题意可得从第3行起，每行第3个位置的数，所以所以.故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足，，则________.答案：解析：解答过程：由题意可得，所以，，…，，上式累加可得，，则，，又，满足上式，所以.13.的展开式中的系数是________（结果用数字表示）．答案：210解析：思路：由二项展开式的通项即可求出每一个的系数，求和得出答案，或者根据，快速计算结果.解答过程：∵的通项为，∴的通项为，∴的展开式中的系数为，同理得展开式中的系数为，展开式中的系数为，故展开式中的系数为.（也可以根据性质：，因为，故）故21014.已知函数的两个极值点为，，且，则的取值范围是______．答案：解析：思路：先求解出，然后根据极值点确定出满足的关系式，根据函数解析式以及的关系式将化简为，构造函数并分析其单调性和值域，由此求解出的取值范围.解答过程：因为，且，是两个极值点，所以，是的两个根，所以，满足，又因为，所以且，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以解得，令，设，所以，所以在上单调递减，所以，所以，所以的取值范围是，故答案为.方法提示：思路点睛：导数中求解双变量问题的一般步骤：（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种?（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）老师不站中间，女生甲不站左端.答案：（1）1440种（2）144种（3）3720种解析：思路：（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数.（2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数.（3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数.（1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法．（2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法．（3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法：当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法．根据分类加法计数原理知共有（种）站法．16.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据与的关系可将已知化为，再根据等比数列的定义可求出数列的通项，再根据与的关系即可得解；（2）利用错位相减法求解即可.（1）由，得，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，当时，，当时，上式不成立，所以；（2）由（1）得，则，即，，两式相减得，所以.17.已知在时有极值0.（1）求常数a，b的值；（2）如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数.答案：（1）（2）20解析：思路：（1）利用函数的极值点的意义，列出方程组，求得，回代入导函数，判断函数的单调性，检验极值点即得；（2）利用导数，求得函数在区间上的最值，根据题意，须使，即在上恒成立，即得满足条件的最大整数.（1）由可得，因在时有极值0，可得，即，解得：，（因，故舍去）或，当时，，由可得或，由可得，即函数在和上单调递增，在上单调递减，故函数在时取得极小值，符合题意.故.（2）由（1）可知，，1

+00+

0增4减0增20所以函数在和上单调递增，在上单调递减.且，如果存在使得成立，等价于．而.故得，因时，，所以，即满足条件的最大整数为20．18.已知数列满足，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式；（3）记，数列