2025-2026学年广东广州协和学校高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学满分为150分，考试时间为120分钟.第一部分选择题（共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.2.已知从甲地直接到丙地有2条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地中转到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有（）A.9条 B.14条 C.20条 D.24条3.已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（）A. B. C. D.4.已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论不正确的有（）034512021A.函数的极大值点有2个B.函数在是减函数C.对任意D.当时，函数有4个零点5.若，则的值是（）A. B. C. D.6.汽车在道路上每行驶100千米平均燃料消耗量（单位：升）称为百公里油耗，已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为.当该型号汽车以（）的速度匀速行驶时，百公里油耗最低.A.60千米/小时 B.80千米/小时 C.90千米/小时 D.100千米/小时7.在的棋盘中，放入颗黑子和颗白子（棋子除颜色不同，其他完全相同），它们均不在同一行且不在同一列，共有（）种不同的放法.A. B. C. D.8.已知函数.设和的零点分别为和，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各项也为定值的有（）A. B. C. D.10.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（）A.B.只有第3项的二项式系数最大C.若，则展开式中常数项为15D.若展开式中各项系数之和为64，则11.已知函数，直线，则下列说法正确的是（）A.若的极大值点为，则B.若在区间上为单调函数，则C.当时，曲线恒在直线的下方D.若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点.设点间的距离为，则当时，的最小值为第二部分非选择题（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为__________.13.6名学生参加数学竞赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第1名，也不是第6名”，对乙说：“你和甲的名次相邻”.从这个回答分析，6人的名次排列共可能有__________不同的情况.（用数字作答）14.已知数列的前n项积为，，，则____（用阶乘表示）；若数列的前n项和为，且恒成立，则m的最小值为_____.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且.（1）求和的通项公式；（2）求的前项和.16.已知在处取得极值.（1）求实数的值，并求出的极值；（2）求在上的最值.17.设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为.（1）求的值；（2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率；（3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率18.教材中介绍牛顿用“切线法”求方程的近似解时，给出一个数列，满足，这个数列被称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，，且数列满足（1）求和；（2）证明数列是等比数列，并求；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.19.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，设.（i）证明：存在唯一极小值；（ii）设的极小值点为，证明.

数学满分为150分，考试时间为120分钟.第一部分选择题（共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为ht=−4.9t2+2.6故该运动员在时的瞬时速度为.2.已知从甲地直接到丙地有2条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地中转到丙地，由甲地到乙地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有（）A.9条 B.14条 C.20条 D.24条答案：B解析：解答过程：依题意，由甲地经乙地中转到丙地有条路线，由甲地直接到丙地有2条路线，故从甲地到丙地不同的路线共有条.3.已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为成等比数列，则，又，所以，则，所以.4.已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论不正确的有（）034512021A.函数的极大值点有2个B.函数在是减函数C.对任意D.当时，函数有4个零点答案：C解析：思路：根据导函数图象判断的单调性与极值，可知和为极大值点，上单调递增，再结合表格数据推得极小值，否定选项C，而当时，结合端点值与极值判断有4个零点，故仅选项C不正确.解答过程：由图可知:当时，，单调递增;当时，，单调递减;当时，，单调递增;当时，，单调递减.选项A:由单调性可知，和是的极大值点，共2个，故A正确.选项B:当时，，单调递减，故B正确.选项C:在上单调递增，所以，故存在使得，故C错误.选项D:的极大值为,,极小值为和端点值,.已知,故.作函数草图：当时,直线与的图象交点个数:在上,由,,单调递增,有1个交点;在上,由,,单调递减,有1个交点;在上,由,,单调递增,有1个交点;在上,由,,单调递减,有1个交点.共4个交点,即有4个零点,故D正确.5.若，则的值是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：令，得，即.所以.令，得，所以.因此.6.汽车在道路上每行驶100千米平均燃料消耗量（单位：升）称为百公里油耗，已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为.当该型号汽车以（）的速度匀速行驶时，百公里油耗最低.A.60千米/小时 B.80千米/小时 C.90千米/小时 D.100千米/小时答案：B解析：解答过程：当速度为千米/小时时，汽车行驶100千米需小时，设百公里油耗为升，依题意得hx则h′x=1640当x∈0,80时，，故在上单调递减；当x∈80,120时，，故在80,120上单调递增，所以时，取得最小值h80.7.在的棋盘中，放入颗黑子和颗白子（棋子除颜色不同，其他完全相同），它们均不在同一行且不在同一列，共有（）种不同的放法.A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：先从行中选行放黑子，有种，再从列中选列放黑子，有种，选出的行列中放黑子，有种不同位置放法，所以黑子的总放法：种，再从剩下的行列中放白子，有种放法，根据分步计数原理，总放法数为种.8.已知函数.设和的零点分别为和，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用的单调性，得到，根据条件得到，利用的零点为，得到，令，得到，构造函数，从而将问题转化成求出的值域，即可求解.解答过程：因为恒成立，所以在上单调递增，又，则，由，得到，所以，又的零点为，则，得到，令，则，令，则，当时，，时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，则，所以实数的取值范围是.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各项也为定值的有（）A. B. C. D.答案：BC解析：思路：根据条件，利用等差数列的性质和前项和公式，可得，为定值，即可求解.解答过程：因为数列是公差为的等差数列，所以，又是一个定值，所以为定值，又为定值，故B和C正确，因为，所以变化时，不为定值，故A错误，又，当首项和变化时，不为定值，故D错误.10.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（）A.B.只有第3项的二项式系数最大C.若，则展开式中常数项为15D.若展开式中各项系数之和为64，则答案：AC解析：解答过程：A选项，由二项式系数和公式得，故A正确.B选项，为偶数，二项式系数最大的是中间项即第项，不是第3项，故B错误.C选项，若，展开式通项Tr+1=C6r(xD选项，令得各项系数之和为，即，得，或，故D错误.11.已知函数，直线，则下列说法正确的是（）A.若的极大值点为，则B.若在区间上为单调函数，则C.当时，曲线恒在直线的下方D.若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点.设点间的距离为，则当时，的最小值为答案：ACD解析：思路：对A，利用，得出值，再利用极值的定义进行检验，即可求解；对B，由的导函数可知，当时，恒成立，即可求解；对C，构造函数，求出的最大值，即可求解；对D，利用导数的几何意义在上求一点，使得在该点的切线与平行，将问题转化成两平线间的距离，即可求解.解答过程：，的定义域为，，对于A，的极大值点为1，，得到，解得当时，当时，，在区间上单调递增；当时，，区间上单调递减，是的极大值点，故A正确.对于B，因为在区间上为单调函数，又，当时，恒成立，此时在上单调递增，所以时满足题意，故B错误，对于C，当时，设则令，解得当时，，在区间上单调递增；当时，，区间上单调递减，当在处取得极大值，也是最大值，，即所以曲线恒在直线l的下方，故C正确，对于D，当时，，则直线的斜率为令，即，解得当时，，则曲线在点处的切线与直线l平行直线，直线，则点到直线l的距离所以的最小值为，故D正确.第二部分非选择题（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为__________.答案：解析：解答过程：由，得，所以，当时，，所以曲线在处的切线方程为，即.13.6名学生参加数学竞赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第1名，也不是第6名”，对乙说：“你和甲的名次相邻”.从这个回答分析，6人的名次排列共可能有__________不同的情况.（用数字作答）答案：解析：解答过程：第一步：根据约束条件，甲、乙不为第1、6名且相邻，排名可能为，共种排法；第二步：剩余名学生全排列，排法数为种；第三步：由分步乘法计数原理，总排列数为，综上，人的名次排列共有种不同情况.14.已知数列的前n项积为，，，则____（用阶乘表示）；若数列的前n项和为，且恒成立，则m的最小值为_____.答案：①.②.2解析：思路：变形给定的通项，利用乘法交换律、结合律，结合累乘法求出，再利用阶乘的性质，裂项相消法求和，进而求出m的最小值.解答过程：当时，，；，因此，由恒成立，得，所以m的最小值为2.故；2四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且.（1）求和的通项公式；（2）求的前项和.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）应用的关系求数列的通项公式；应用等比数列基本量的计算可求得等比数列的通项公式；（2）应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和即可.（1）当时，.当时，，也符合上式，所以.设正项等比数列的公比为，则，又，所以，即，解得，所以.（2）设的前项和为，所以.T=n16.已知在处取得极值.（1）求实数的值，并求出的极值；（2）求在上的最值.答案：（1），极大值为，极小值为（2）最小值为，最大值为解析：思路：（1）根据条件得，即可求出值，进而可得，再利用极值的定义，即可求解；（2）由（1）可得出在区间上的单调性，即可求解.（1）易知的定义域为，，因为在处取得极值，所以，解得，则，当或时，，当时，，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点，故符合题意，，且极大值为，极小值为.（2）由（1）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，又，，所以在上的最小值为，最大值为.17.设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为.（1）求的值；（2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率；（3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率答案：（1）3；（2）；（3）.解析：思路：（1）利用古典概率公式列式求解.（2）利用条件概率公式求解.（3）利用全概率公式求解.（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得33+3+m所以.（2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球”则，，，所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为.（3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为，则，，由全概率公式得，所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率.18.教材中介绍牛顿用“切线法”求方程的近似解时，给出一个数列，满足，这个数列被称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，，且数列满足（1）求和；（2）证明数列是等比数列，并求；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）（2）证明见解析，（3）解析：思路：（1）根据题设定义得，再结合条件，即可求解；（2）根据条件可得，