2025-2026学年广东深圳高级中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学满分150分，用时120分钟一､单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的公差为，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.42.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种3.若函数的图象与直线相切，则实数（）A. B.1 C.0 D.24.甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的不同情况有（）种.A.27 B.36 C.54 D.605.甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（）A. B. C. D.6.苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（）种分配方案A.90 B.120 C.360 D.5407.某次数学测试有8道单选题（4选1）.小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任选1道题，小王做对该题的概率为（）A.0.8 B. C. D.8.已知函数，若恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量的分布列如下表所示，则下列结论正确的是（）12450.20.350.3A. B.C. D.10.已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（）A.双曲线与双曲线有相同的渐近线B.若，则的周长为C.若，则的面积为2D.若为圆上一点，则的最大值为711.牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当与的近似值相等时，该近似值即作为函数的一个零点的近似值.对于函数，用该方法近似计算方程的根，取初始近似值为，下列说法正确的是（）A.B.直线的方程为C.D.对任意非负整数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数在处取得极值3，则__________.13.已知的展开式中的系数为0，则实数的值为__________.14.某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在区间上的最大值.16.已知的二项展开式有项.（1）求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；（2）求该展开式中含的项；（3）求该展开式中系数最大的项.17.定义函数为数列的“生成函数”，且．（1）求的通项公式；（2）求．18.甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响.（1）求甲同学做对试题没有做对试题的概率；（2）求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率；（3）若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列.19.用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数.（1）证明：若，则为函数；（2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论.（3）若有两个不同的零点.（i）求实数的取值范围；（ii）证明.

数学满分150分，用时120分钟一､单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的公差为，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：解答过程：由，得，得，故．2.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种答案：D解析：思路：利用“元素相邻捆绑法”求解即可.解答过程：将甲和乙看作一个整体，有种方法，将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法，根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种．3.若函数的图象与直线相切，则实数（）A. B.1 C.0 D.2答案：B解析：思路：设出切点，结合导数的几何意义进行求解即可.解答过程：设切点为，由，，所以有，所以切点为，代入中，得.4.甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的不同情况有（）种.A.27 B.36 C.54 D.60答案：C解析：思路：首先根据条件得到排列的要求，再按照受限制元素优先的原则，进行排列，即可求解.解答过程：由条件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名，所以先排乙有3种方法，再排甲有3种方法，其他就是全排列种方法，所以5人的名次排列有种方法.5.甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，然后根据条件概率公式计算.解答过程：甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，则，，，所以.6.苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（）种分配方案A.90 B.120 C.360 D.540答案：D解析：思路：先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算.解答过程：先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况：情况一：按分组：则有种；情况二：按分组：则有种；情况三：按分组：则有种；所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案，故选：D7.某次数学测试有8道单选题（4选1）.小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任选1道题，小王做对该题的概率为（）A.0.8 B. C. D.答案：B解析：思路：根据独立事件的乘法公式以及互斥事件概率的加法公式,计算任一题做对概率.解答过程：选做完整做对的题目且做对概率,选做有思路的题目且做对概率,选做完全没有思路且做对概率,综上,任选一题能做对概率.故选:B.8.已知函数，若恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据一次函数和指数型函数的单调性，结合零点的定义、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可.解答过程：因为，且函数和都是上的增函数，所以要想恒成立，则需函数和的零点相同，令，令，所以，则，设，则，当时，在上单调递增，当时，在单调递减，故，所以最大值为.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量的分布列如下表所示，则下列结论正确的是（）12450.20.350.3A. B.C. D.答案：AC解析：解答过程：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，因为，故C正确；对于D，因为，故D错误.10.已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（）A.双曲线与双曲线有相同的渐近线B.若，则的周长为C.若，则的面积为2D.若为圆上一点，则的最大值为7答案：ABD解析：思路：直接求解渐近线方程判断A；结合双曲线的定义求解即可判断B；设，则，结合勾股定理得，再求解面积判断C；根据题意得为双曲线的左焦点，再结合双曲线的定义求解即可．解答过程：对于A：双曲线，渐近线方程为；双曲线的渐近线方程为，故A正确；对于B：由题意得，，由双曲线的定义得，，故的周长为，故B正确；对于C：在右支上，设，则，因为，所以，解得（负值舍去），所以的面积为，故C错误；对于D：圆的圆心的坐标为，半径为1，易知为双曲线的左焦点；故，则，当为线段的延长线与圆的交点时等号成立，所以的最大值为7，故D正确．11.牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当与的近似值相等时，该近似值即作为函数的一个零点的近似值.对于函数，用该方法近似计算方程的根，取初始近似值为，下列说法正确的是（）A.B.直线的方程为C.D.对任意非负整数答案：ACD解析：思路：根据题意，，，可判断AC；由切线方程判断B；由于，令利用导数求最值.解答过程：A：函数，，由牛顿迭代法可知曲线在点处的切线方程为，令，即可得、，，故A正确；B：的方程为，代入整理得到，故B错误；C：由牛顿迭代法公式，得，或通过将代入切线方程中，整理得C正确；D：对任意非负整数，作以及切线的图象可知对任意正整数，故对任意非负整数，令，故，从而，当且仅当时等号成立，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数在处取得极值3，则__________.答案：12解析：解答过程：因为，所以，因为函数在处取得极值3，所以，解得，检验：当，时，函数，则，所以当时，，函数在上单调递减，当或时，，函数在，上单调递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，经检验，满足题意，所以.13.已知的展开式中的系数为0，则实数的值为__________.答案：1解析：思路：根据二项式通项公式结合条件即得.解答过程：，所以展开式中含的项为，因为展开式中的系数为0，所以，解得.14.某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________.答案：解析：思路：根据题意，分析三个年级中分配的最少名额数的取值情况，及相应的分配方案数，得到相应的概率，根据数学期望的公式求得的数学期望.解答过程：若三个年级名额数分别为，则，又每个年级至少一个名额，所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种，由题意，则，且各年级人数为，其中的情况有一种情况，即，的情况有､九种情况，即，所以，综上，.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在区间上的最大值.答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）解析：思路：（1）将代入，求函数的导数即可求解.（2）求的导数，令，再由即可求解.（1）当时，，令，解得：；令，解得：；所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由得：，令，解得对恒成立，在递减，.16.已知的二项展开式有项.（1）求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；（2）求该展开式中含的项；（3）求该展开式中系数最大的项.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先根据二项式系数和为求出的值,再通过赋值求出多项式各项系数和,最后作比算出两者的比值.（2）先写出二项展开式的通项公式,整理得到的指数表达式,令指数等于7解出,再把代回通项算出对应项.（3）沿用已得的通项,取出各项系数构造相邻项系数大小的不等式组,化简不等式求出的取值范围,结合为自然数确定,进而求出系数最大的项.（1）因为二项展开式有7项，所以，解得.所以二项式系数和为，令，得各项系数和为.因此各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.（2）由（1）可得展开式通项为.令，解得.代入通项得.故含的项为.（3）由（1）可得展开式通项为设第项系数最大，则第项系数为.列不等式组，即化简得，解得，又，故.系数最大的项为.17.定义函数为数列的“生成函数”，且．（1）求的通项公式；（2）求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用已知条件求出的前项和，再结合数列的性质求出；（2）先求出，再利用错位相减法求出．（1）由已知可得，故的前项和为，当时，，当时，，满足，．（2）由可得，令，则，则，，．18.甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响.（1）求甲同学做对试题没有做对试题的概率；（2）求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率；（3）若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列.答案：（1）（2）（3）分布列见解析解析：思路：（1）利用事件拆分原理，把做对试题拆分为做对且做对、做对且做错两个互斥事件，用做对的总概率减去两题都做对的概率，直接求出做对却做错的概率.（2）先由互斥事件概率公式求出做错且做对的概率，再算出做错试题的对立事件概率，代入条件概率公式，用交集概率除以条件事件概率算出对应条件概率值.（3）先逐一算出甲做对题、题、题的概率，确定随机变量的所有取值，再结合乙做题的固定概率，分类枚举甲乙答对题目数量的组合情况，分别算出每个取值对应的概率，进而列出分布列.（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件.由题设可知，所以，所以甲同学做对试题没有做对试题的概率为（2）由题设可知.又，所以.故.（3）根据题意甲做对题概率为.甲做对一题的概率为分析可得（甲乙）（甲乙或甲乙）（甲乙或甲乙）（甲乙）可得的分布列为01230.150.350.350.1519.用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数.（1）证明：若，则为函数；（2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论.（