2025-2026学年江苏省镇江市丹阳市高二下册期中质量检测数学试题 含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则整数x的值为（）A.2 B.3 C.1或2 D.2或32.定义在R上的函数，若，则（）A.2 B.1 C. D.3.已知函数，则的值为（）A.8 B.4 C.0 D.4.已知函数在区间上是单调递增函数，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.5.学校各选派了2位男、女教师参加某项活动，且4位教师被分到3个不同的小组，其中两位女教师不能分派到同一个小组，则不同的分配方案有（）A.66种 B.60种 C.30种 D.24种6.设n为正奇数，则被6整除的余数为（）A. B.0 C.4 D.57.定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.8.已知不等式对任意恒成立，则正数的取值范围（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求函数的导数正确的有（）A. B.C. D.10.若，其中，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.11.在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的有（）A.直线与直线共面B.直线C.点到平面的距离为D.直线与直线所成角的正弦值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.函数的单调递减区间为_________.13.的展开式中的系数是________.14.已知函数f(x)=3−2ax,x四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的展开式中第三项的系数为7.（1）求n；（2）求展开式中的有理项.16.已知函数（其中）在处取得极小值.（1）求，的值；（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的最大值.17.某种圆柱形饮料罐的容积固定为125πmL，底面半径为rcm，上、下底面用料成本均为0.4分，侧面用料成本为0.1分，忽略饮料罐的厚度，每毫升饮料可获利1分.（1）请用含r的式子表示每罐饮料的实际利润分；（2）当饮料罐的底面半径多大时，每罐饮料的实际利润最大？并求出最大实际利润.注：每罐饮料的实际利润=每罐饮料获利-饮料罐用料总成本.18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是的中点，，，，.（1）求证：；（2）求证：平面，并求直线和平面的距离；（3）求平面与平面所成角的余弦值.19.已知函数f(x)=（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有两个零点，求a的取值范围.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则整数x的值为（）A.2 B.3 C.1或2 D.2或3答案：D解析：解答过程：根据组合数性质：若，则或.已知，分两种情况：①，解得；②，即，解得.且组合数上标均满足，，均成立.2.定义在R上的函数，若，则（）A.2 B.1 C. D.答案：B解析：思路：利用导数的定义求解即可解答过程：已知，由导数的定义可以知道，f′设，当时，，且，所以limΔ3.已知函数，则的值为（）A.8 B.4 C.0 D.答案：D解析：思路：先求导，解方程求出，最后求的值.解答过程：，，所以，，.4.已知函数在区间上是单调递增函数，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由函数在区间上是单调递增函数，求的导数，再由在区间内单调递增可得求解即可.解答过程：因为函数在区间−π3,π所以，即在区间−π3,当时，sinx<sinπ6=125.学校各选派了2位男、女教师参加某项活动，且4位教师被分到3个不同的小组，其中两位女教师不能分派到同一个小组，则不同的分配方案有（）A.66种 B.60种 C.30种 D.24种答案：C解析：解答过程：若2位男老师在同一个组，则4位教师被分到3个不同的小组有种不同的分配方案；若2位男老师不在同一个组，则其中一个组只有1位男老师，另1位男老师与其中1位女老师一组，此时4位教师被分到3个不同的小组有种不同的分配方案；综上：不同的分配方案有30种.6.设n为正奇数，则被6整除的余数为（）A. B.0 C.4 D.5答案：D解析：思路：先将给出的代数式求和得，再将5n=解答过程：==这项中，前项均为6的倍数，因为为正奇数，所以第项Cnn×所以被6整除的余数为5.7.定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：首先通过构造函数gx=fx−2x，根据已知条件判断其单调性，再结合得到的值，最后将不等式解答过程：对任意，，设gx=fx−2，故，f2x−1>4x因为增函数，所以，解得，则不等式的解集为.8.已知不等式对任意恒成立，则正数的取值范围（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：构造函数后对函数求导，通过分析导数的符号确定函数的单调性，找到函数的最大值，即可求解的范围.解答过程：将原不等式移项整理得：，构造函数ft=et−t，对求导得：，令当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；原不等式对任意恒成立等价于：对任意，都有，因为任意，都有，，而在上单调递增，因此等价于：ax≥变形得对任意恒成立，只需a≥lnx令，求导得，令得，时，，单调递增；时，，单调递减；因此的最大值为，故.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求函数的导数正确的有（）A. B.C. D.答案：BC解析：解答过程：选项A：因为是一个常数，所以；选项B：对数函数的导数公式为，代入，可得；选项C：；选项D.10.若，其中，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：对于A：根据多项式次数分析求解即可；对于BC：利用赋值法，分别令运算求解即可；对于D：求导，令运算求解即可.解答过程：对于选项A：因为的次数为1，的次数为，则的次数为，又因为，则的次数为7，可得，即，故A正确；对于选项BC：因为，令，可得；令，可得，所以，故B错误；令，可得，所以，故C正确；对于选项D：因为，求导可得，令，可得，故D正确.11.在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的有（）A.直线与直线共面B.直线C.点到平面的距离为D.直线与直线所成角的正弦值为答案：ABD解析：思路：利用线线平行可判断A选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量可逐个分析B，C，D选项.解答过程：连接，，，因为P，Q分别为棱，的中点，所以PQ//CD1，因为CD1//A1B，所以PQ//以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，由已知棱长为，所以，，，，所以，，所以,所以，所以B正确；点，，，所以,，设平面的法向量为，所以−4x−4z=04所以平面的一个法向量为，，所以点到平面的距离d=D1，，设直线与直线所成角为，所以，所以，所以D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.函数的单调递减区间为_________.答案：解析：解答过程：分析：首先对函数求导，由导数小于零求出自变量在定义域内的取值范围，即可求得函数的单调递减区间.详解：，令，求得，所以可知函数的递减区间是.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的单调性，要明确导数小于零时，函数单调递减，还有必须要明确定义域优先原则，这里对不等式的解法也要熟练掌握.13.的展开式中的系数是________.答案：解析：思路：写出的展开式的通项，然后对分类求得答案．解答过程：的展开式通项.展开式中的项由两部分相加而成：一部分为与展开式中的项（此时）的乘积，即；另一部分为与展开式中的项（此时）的乘积，即.总系数为.14.已知函数f(x)=3−2ax,x答案：解析：思路：以，和分段求解，分离参数后构造函数，用导数求出函数最值求解.解答过程：当时，，符合题意；当时，恒成立，即，随着的增大而减小，当时，，；当时，−4x3−ax令，，令，即，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值为，，综上，，即实数a的取值范围是.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的展开式中第三项的系数为7.（1）求n；（2）求展开式中的有理项.答案：（1）（2），，解析：思路：（1）根据题意可得第三项为nn（2）根据二项式定理可得，令16−3r4（1）因为的展开式中第三项为Cn2则，即，解得或（舍去），所以.（2）因为的展开式通项为Tr+1令16−3r4∈若，可得；若，可得T5=若，可得；所以展开式中的有理项为，，.16.已知函数（其中）在处取得极小值.（1）求，的值；（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的最大值.答案：（1）a=−12,（2）解析：思路：（1）根据极值点的导数为可得，再根据的值得到；（2）求导分析出的单调区间及极值点，并通过解方程得到等于极大值的另一个值，结合图像分析出的范围，从而得到的最大值.（1）对求导得f'(x)=3x2即有3×22+（2）由（1）有f(x)=当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，在处取得极大值，在处取得极小值，当m∈−3,−2时，在上的最大值为f(当时，在上的最大值为，当m∈2,+∞时，在上的最大值为或，令即x3−12x3即，由图像可知，当m∈2,4时，在上的最大值为，当m∈4,+∞时，在上的最大值为f(综上所述，m∈−2,4，所以的最大值为.17.某种圆柱形饮料罐的容积固定为125πmL，底面半径为rcm，上、下底面用料成本均为0.4分，侧面用料成本为0.1分，忽略饮料罐的厚度，每毫升饮料可获利1分.（1）请用含r的式子表示每罐饮料的实际利润分；（2）当饮料罐的底面半径多大时，每罐饮料的实际利润最大？并求出最大实际利润.注：每罐饮料的实际利润=每罐饮料获利-饮料罐用料总成本.答案：（1）（2）底面半径时，每罐饮料的实际利润最大，且最大利润为分.解析：思路：（1）由圆柱形饮料罐的容积固定为，且，求解，再分别求解上下底面成本，侧面成本，以及每罐饮料的成本，再由总获利减去总成本求解即可.（2）令fr=125−45r（1）因为圆柱形饮料罐的容积固定为，所以，则h=125r则每罐饮料的获利为容积乘以每毫升利润分，上下底面面积总共为，因为上、下底面用料成本均为0.4分，所以上下底面成本为分，侧面面积为，成本0.1分，则侧面成本为分，因此，总成本Cr利润W(r)=125（2）令fr=125−4令，解得，即，，可得，因为，所以时，单调递增，时，单调递减，故是极大值点，则代入，可得f52=125−0.8×所以分，即当饮料罐的底面半径r=52cm18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是的中点，，，，.（1）求证：；（2）求证：平面，并求直线和平面的距离；（3）求平面与平面所成角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据得证；（2）求出平面的一个法向量，根据可得平面，再求点到平面的距离即可；（3）利用两平面夹角的向量法求解.（1）因为平面，且，平面，则，，故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，因为为的中点，则，所以，则DE⋅PB=1×2+（2）设，根据，即0,4,−2=3a可得F0,43又，则BG=−设为，则n⋅BG=0n令，则，，故，因为，又平面，所以平面，且PE=1,1,−1，则点到平面的距离为PE所以直线和平面的距离为；（3）由PD=设平面的法向量为，则m⋅PD=0m⋅令，则，，故，所以平面与平面所成角的余弦值为.19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有两个零点，求a的取值范围.答案：（1）4x（3）解析：思路：（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即可写出切线方程；（2）先对函数求导并分解因式，再对参数分类讨论导函数的符号，以此确定原函数的单调性；（3）基于（2）的单调性结论，结合函数的极值、图像趋势与特殊值，对参数分类讨论，从而得到满足条件的取值范围．（1）当时，函数为：f(x求导：f'计算处的函数值与导数值：f(0)=2e0+2切线方程为：，即．（2）先求导:f'令,