2025-2026学年江苏省镇江市丹阳市高一下册期中数学试题 含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，且与共线，则实数（）A.2 B. C.8 D.2.在中，内角的对边分别为，且，则角为A. B. C. D.3.已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（）A. B. C. D.4.已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则a，b，c共面C.若，则 D.若a，b异面，b，c异面，则a，c异面5.在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.7.在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（）A. B. C. D.8.在四边形中，，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知均为非零向量，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则与共线且反向D.若，且与的夹角为锐角，则10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则为钝角三角形C.若，则为直角三角形 D.若为锐角三角形，则11.在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（）A.底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线B.异面直线和所成角的范围C.存在点，使得D.若，则过点的截面面积为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12.在中，角所对的边分别为，若，则__________．13.已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________.14.若对于恒成立，则__________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量满足.（1）若的夹角为，求；（2）若，求当为何值时，.16.已知为锐角，.（1）求的值：（2）求的值.17.在中，点满足.（1）若点为AP的中点，试用向量表示；（2）若，求的余弦值；（3）过点的直线与AB，AC所在的直线分别交于点，求的最小值.18.如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.（1）过点作出一条直线，使得，并写出作图过程；（2）求直线与所成角的余弦值；（3）若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点.19.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且.（1）证明：；（2）若，求；（3）求的取值范围.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，且与共线，则实数（）A.2 B. C.8 D.答案：B解析：思路：由向量共线的坐标表示列出等式求解即可.解答过程：因为与共线，所以，解得，故选：B2.在中，内角的对边分别为，且，则角为A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用余弦定理可直接计算的大小.解答过程：因为，而，所以，故选B.方法提示：本题考查余弦定理的应用，属于基础题.3.已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据圆台的轴截面是等腰梯形即可求解.解答过程：如图所示，圆台的轴截面是一个等腰梯形，母线的长度就是线段的长度，由于圆台的上、下底面半径分别为，高为，因此等腰梯形的上底、下底分别为，高为，则，即，故B正确.4.已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则a，b，c共面C.若，则 D.若a，b异面，b，c异面，则a，c异面答案：C解析：思路：A.由直线与直线的位置关系判断；B.举例判断；C.由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条判断；D.举例判断.解答过程：A.若，则，a与b相交或异面，故错误；B.若，a，b，c不一定在同一平面内，如在正方体中，，,但不共面，故错误；C.由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确；D.若a，b异面，b，c异面，则a，c不一定异面，如在正方体中，与异面，与异面，但，故错误；故选：C5.在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：取的中点为，连接，在中，为的中点，为的中点，所以，所以即为异面直线与所成角或其补角，设三棱锥棱长为，则，，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为.6.已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为是单位向量，所以，由，得，所以，所以在上的投影向量为.7.在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意可得，求解即可.解答过程：如图所示，在中，内角，作于，要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中，即，因此边长的取值范围为，故A正确.8.在四边形中，，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：在中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.解答过程：如图，连接，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，当且仅当时，取等号，所以.所以面积的最大值为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知均为非零向量，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则与共线且反向D.若，且与的夹角为锐角，则答案：BC解析：解答过程：对于A，，当与的夹角为时，也符合题意，故A错误；对于B，，又因为，所以，故B正确；对于C，若，则与共线且反向，故C正确；对于D，当时，，此时与的夹角为，不是锐角，故D错误.10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则为钝角三角形C.若，则为直角三角形 D.若为锐角三角形，则答案：BCD解析：思路：A.由，利用二倍角公式和正弦定理转化，再利用大角对大边判断；B.利用余弦定理判断；C.利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和与差的正弦公式求解；D.根据为锐角三角形，得到，即，再利用在上的单调性判断.解答过程：A.由，得，即，又，，所以，由正弦定理得，则，即，由大角对大边得，故错误；B.因为，所以，又，则C为钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以为钝角三角形，故正确；C.由得，，化简得，因为，所以，则，所以为直角三角形，故正确；D.因为为锐角三角形，则，所以，因为在上递增，则，故正确；11.在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（）A.底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线B.异面直线和所成角的范围C.存在点，使得D.若，则过点的截面面积为答案：ABD解析：思路：对于A，根据异面直线的判定定理即可判断；对于B，异面直线和所成角即直线与所成角（或补角），结合正方体的性质即可求解；对于C，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度为的最小值，求出即可判断；对于D，延长交于点，利用相似可得为的中点，取的中点，连接，可得过点的截面为菱形，利用菱形的面积公式即可求解.解答过程：对于A，由异面直线的判定定理可知：底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线，故A正确；对于B，由于在正方体，,所以异面直线和所成角即直线与所成角（或补角）由于，当位于中点时，异面直线和所成角最大，最大角为，当位于或点时，异面直线和所成角最小，最小角为，所以异面直线和所成角的范围，故B正确；对于C，如图所示，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度为的最小值，在，可得所以不存在点，使得，故C错误；对于D，延长交于点因为，所以，所以，即为的中点，取的中点，连接，所以，且，即四边形为平行四边形，则过点的截面为平行四边形，由于，则平行四边形为菱形，由于，，则菱形的面积为，即过点的截面面积为,故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12.在中，角所对的边分别为，若，则__________．答案：解析：思路：根据已知的和计算出的度数，再结合正弦定理求解.解答过程：根据三角形内角和为，则，由正弦定理，得，又，，，则.13.已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________.答案：##0.5解析：思路：根据向量垂直列方程，求得，进而求得与的夹角的余弦值.解答过程：已知，由于与垂直，则，解得，设与的夹角为，，则由向量数量积的定义，有，即与的夹角的余弦值为14.若对于恒成立，则__________.答案：解析：思路：利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解.解答过程：因为，其中，，所以.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量满足.（1）若的夹角为，求；（2）若，求当为何值时，.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量模的计算公式及数量积运算律计算即可；（2）根据向量垂直得到，再根据向量数量积的运算律计算可得.（1）因为，，的夹角为，所以.（2）若，则，即，所以，因为，令，即时，，所以当时，.16.已知为锐角，.（1）求的值：（2）求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式，化简求解；（2）利用同角三角函数基本关系求出和，再利用正切的差角公式求出的值，进而利用正切的和角公式求得的值.（1）已知为锐角，，由同角三角函数关系可得：，由，代入得：解得（为锐角，舍去），故，由二倍角公式.（2）因为为锐角，所以，由得：，因此.由，代入，：，解得.所以.17.在中，点满足.（1）若点为AP的中点，试用向量表示；（2）若，求的余弦值；（3）过点的直线与AB，AC所在的直线分别交于点，求的最小值.答案：（1），（2）0（3）3解析：思路：（1）根据，得到，再根据点为AP的中点利用向量的减法运算求解；（2），两边平方求解；（3）根据M，P，N共线，且，得到，再由，利用系数相等得到，利用基本不等式求解.（1）因为，所以，整理得，又因为点为AP的中点，所以，所以；（2）设，由，得，即，解得；（3）因为M，P，N共线，且，所以，又因为，则，即，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是3.18.如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.（1）过点作出一条直线，使得，并写出作图过程；（2）求直线与所成角的余弦值；（3）若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点.答案：（1）图形解析，过程见解析；（2）；（3）证明见详解.解析：思路：（1）取棱的中点，在正方体上底面内过点作直线，使得，由平行线的传递性，得解；（2）取棱的中点，易得直线与所成角，即与所成角，在中，由余弦定理求解；（3）先证明，，由此设直线与交于点，根据平面的性质可证.（1）如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得，连接，因为是的中点，是的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，故，所以.（2）取棱的中点，连接，又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，所以直线与所成角，即为或其补角，在中，，，所以，所以直线与所成角的余弦值为.（3）因为是的中点，是的中点，所以，，又在正方体中，易得，，所以，，记直线与交于点，因为平面，所以平面，同理，平面，所以平面平面，所以直线三条直线交于一点.19.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且.（1）证明：；