2025-2026学年江西南昌中学三经路校区高三下册考前测试数学试题 含解析

/数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.且是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2.已知样本数据的平均数为6，方差为11；样本数据的平均数为9，方差为20，现将两组样本数据合并，则新的样本数据的方差为（）A.19 B.20 C.26 D.303.已知函数fx=log22A. B.C. D.4.注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为a⋅v1,a⋅v2,a⋅A. B. C. D.5.的展开式中的系数是（）A.120 B.220 C.260 D.2806.已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点B,F1BF2B=5A. B. C. D.7.已知正方体的棱长为，若球同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球的表面积的最小值为（）A. B. C. D.8.已知函数与函数在区间上只有一个公共点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.我校举办2026年“南中杯”青年教师说课竞赛，已知9位评委对某老师的评分具体如下（满分10分）：则下列说法正确的是（）A.第75百分位数为9.5B.极差为1.3C.中位数为9.5D.去掉最高分和最低分，不会影响到这位选手的平均得分10.已知内角所对的边分别为.则下列说法正确的是（）A.若，则为钝角三角形.B.若，则为等腰三角形C.在锐角中，不等式恒成立D.若B>90∘,11.设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（）A.B.的最小值为C.若，则D.轴上存在一点，使为定值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.13.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形､沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_________.14.已知是8个正整数，记，其中，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的积为_________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.中，．（1）求角C；（2）若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积．16.如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，.（1）求异面直线与所成角；（2）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长.17.某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次．（1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望；（2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止．①求至少发射3次的概率；②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且，求的取值范围.19.已知为椭圆：x25+y2b2=10<b<5的左，右顶点，为上的一点，N为双曲线：上的一点（两点不同于两点），设直线的斜率分别为，且（1）设为坐标原点，证明：三点共线．（2）设的右焦点分别为，均在第一象限，直线与直线相交于点，．①判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论；②证明：．

数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.且是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：由不等式性质，结合充分、必要性定义判断条件间的关系.解答过程：由且，则，充分性成立；由，若满足，但且不成立，必要性不成立；故且是的充分不必要条件.故选：B2.已知样本数据的平均数为6，方差为11；样本数据的平均数为9，方差为20，现将两组样本数据合并，则新的样本数据的方差为（）A.19 B.20 C.26 D.30答案：A解析：解答过程：由题意得，，∴1利用分层抽样的方差公式可得新的样本数据的方差为5153.已知函数fx=log22A. B.C. D.答案：C解析：思路：先化简，再应用对数函数单调性及复合函数单调性规则得出单调性即可判断.解答过程：函数f(因为μ=1+2−x是减函数，又因为e12≈2.718，所以e14.注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为a⋅v1,a⋅v2,a⋅A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据空间向量数量积坐标运算公式计算求解．解答过程：由题意可得s1s3=q，则，所以a→⋅a→所以注意力输出向量为.5.的展开式中的系数是（）A.120 B.220 C.260 D.280答案：B解析：解答过程：1+xnn故展开式中的系数为，故的展开式中的系数是C22+6.已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点B,F1BF2B=5A. B. C. D.答案：D解析：思路：先应用角平分线定理得出F1AF解答过程：因为的平分线与轴交于点B,F1BF因为，A在双曲线右支上，设F1A因为，所以F1A又因为，所以F1F所以ca7.已知正方体的棱长为，若球同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球的表面积的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，及.再由向量的数量积的几何意义，分别计算点到向量，，的距离得y−z=2R，，，联立方程消去得关于的一元二次方程：，令可得，从而可得的最小表面积.解答过程：以正方体的点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：则A0,0,0所以平面的一个法向量为，AO=x,所以球心到平面距离：AO·nn=0−同理平面​的一个法向量为，BO=x所以球心到平面距离：BO·mm=x因为球与平面，平面均相切，且与棱相切，所以球心必在平面的上方及平面的下方，因此且所以①②去掉绝对值得，，即，③又因为球与棱相切，AA1所以球心到的距离：AO2−AO即④，将③代入④得：，化简整理，得关于的一元二次方程：，由二次方程有实根，判别式Δ=−42解得，即，球的表面积Smin=4π因此，球表面积的最小值为.方法提示：本题的关键计算点到面的距离及点到线的距离，由三个距离得一个三元一次方程组，再消去两个变量得一个一元二次方程用判别式可得球半径的范围，再得球表面积的最小值.8.已知函数与函数在区间上只有一个公共点，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：令，可得，换元令，原题意等价于在内恰有一个零点，分和两种情况，利用单调性判断在内的单调性，结合单调性分析零点即可．解答过程：令，即，可得，因为，记，，原题意等价于在内恰有一个零点，因为，①当时，则，可知在单调递减，又，所以在区间上无零点，不合题意；②当时，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，当趋近于时，趋近于，所以，又，所以.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.我校举办2026年“南中杯”青年教师说课竞赛，已知9位评委对某老师的评分具体如下（满分10分）：则下列说法正确的是（）A.第75百分位数为9.5B.极差为1.3C.中位数为9.5D.去掉最高分和最低分，不会影响到这位选手的平均得分答案：AB解析：思路：计算出9位评委对某位选手评分的中位数、极差、以及的分位数，判断A，B，C；根据平均数的计算可判断D.解答过程：由题意，评分从低到高依次为，由，故第75百分位数为第7个数，即为，A正确；极差为，B正确；显然第5个数据为中位数，即为，C错误；这位同学的平均分为，去掉最高分和最低分后的平均分为，即去掉最高分和最低分，显然会影响到这位同学的平均得分，D错误；10.已知内角所对的边分别为.则下列说法正确的是（）A.若，则为钝角三角形.B.若，则为等腰三角形C.在锐角中，不等式恒成立D.若B>90∘,答案：AD解析：思路：利用余弦定理边化角判断A；由题设，结合三角形内角性质判断B；利用正弦函数单调性推理判断C；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断D.解答过程：对于A，由及余弦定理，得，为钝角，故为钝角三角形，A正确；对于B，由中，则，故或，所以或，均不能说明为等腰三角形，B错误；对于C，在锐角中，则，所以，即，C错误；对于D，由，，得，，，由正弦定理得，D正确.11.设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（）A.B.的最小值为C.若，则D.轴上存在一点，使为定值答案：BCD解析：思路：对于A，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C，由条件推理得点A的坐标，得到直线的方程，与抛物线方程联立求得两点即得；对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将所求式代入化简，分析推理即得．解答过程：对于A，因为直线经过点，所以当且仅当轴时，最短，即，解得，A错误；对于B，由抛物线定义知，所以，由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即AF+对于C，在中，FK=p=1，所以KM=FKtan由，得，解得，，即得，B16所以AB=对于D，设直线：，由，得，设，，所以，，设轴上存在一点，则=2当时，，即存在点时，使得为定值，D正确．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.答案：解析：解答过程：因为a=所以b⃗=2所以向量在向量上的投影向量的坐标为a⋅bb13.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形､沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_________.答案：108解析：思路：首先画图并设好未知量，根据等边三角形的性质和勾股定理表示出三棱锥的底面和高，从而得到三棱锥体积的表达式，然后构建辅助函数，通过导数来研究函数的极值从而找到三棱锥体积的最大值.解答过程：连接交于点，如下图所示设重合于点，正三角形的边长为x0<x<33，则所以，所以SO=因此三棱锥的体积，设函数fx=x令，即，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在时取得极大值，因此Vmax14.已知是8个正整数，记，其中，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的积为_________.答案：120解析：思路：根据题意表示出集合的元素，通过整除性求出重复值和总和，进而可得答案.解答过程：由题意可知：从8个数中任取7个数的和共有种不同的值，但是，，，，，，只有7个数，可知必有两种7个数的和相等，设这个和为，令，那么，任取7个数的和就等于，，，，，这8个取值和的集合为，且则.因为为整数，所以是7的倍数，由可知，是7的倍数，再因为，所以.可知.因此，，，，中最大数为：，最小数为：，因此，他们的积为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.中，．（1）求角C；（2）若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积．答案：（1）或；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简求解.（2）由（1）的结论，利用正弦定理求出，再利用和角的正弦及三角形面积公式求解.（1）在中，，得，整理得，即，而，解得，又，所以或.（2）由（1）及角C为锐角，得，在中，由正弦定理得，而，则，，因此，所以的面积为.16.如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，.（1）求异面直线与所成角；（2）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长.答案：（1）；（2）1.解析：思路：（1）先证明直线，，两两垂直，再以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，即可得解；（2）由（1）所建空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，结合二面角的余弦公式，即可求解.（1）连接，，由直线为圆台的轴，得，延长线交于一点，又平面平面，平面平面，平面平面，所以，由，，得，则，而，因此，所以直线，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则A0,−1,t，，，，D0,1,t，，O10,0,t，所以FE=则FE⋅BC=所以异面直线与所成角为；（2）由（1）得BF=2,2,0，CF=设平面与平面的法向量分别为，，则m⋅BF=0m⋅FE=0，即2故平面的一个法向量为m=t又n⋅CF=0n⋅FE=0故平面的一个法向量为n=t由二面角的余弦值为，得cosm,n所以圆台的高的长为1.17.某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次．（1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望；（2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止．①求至少发射3次的概率；②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）的分布列为1234期望为（2）①；②存在；t=2±解析：思路：（1）依题意，确定的取值可能为1，2，3，4，分别求出其对应的概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可；（2）①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件，至少发射3次为事件，则C=A1A2+②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功，或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，则Pn+2=Pn+1⋅（1）由题知，的所有可能取值分别为1，2，3，4，则PX，所以的分布列为1234．（2）①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件，则，PAi=1记至少发射3次为事件，则C=A所以P=2②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功，或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，所以Pn设，则，所以，解得，或，因为，P2=23×2Pn所以t=18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.（2）先对分类讨论的单调性，确定时函数在处取极小值也是最小值，