2025-2026学年江西省九江市共青城博雅学校等校高三下册5月高考适应性检测数学试题 含解析

/数学试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的实部为（）A. B. C. D.2.已知双曲线的一个焦点坐标为，则（）A.5 B.10 C.25 D.503.已知为实数，集合，且，则（）A.0 B.1 C.2 D.34.某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表：续航里程衰减率频率0.100.300.400.150.05据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（）A.15 B.13.75 C.12.5 D.11.255.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.某智能健身应用进行用户调研，根据调研情况得到用户完成第一日目标的概率为0.5，若完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.8；若未完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.3．现随机抽取一名用户，已知他完成了第二日目标，则他完成了第一日目标的概率为（）A. B. C. D.7.已知函数满足对任意实数，都有，且，则（）A.20262+2 B.20262+1 C.8.已知的平面内有2个不同的点满足APi+BPA.2 B.3 C.5 D.6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（）A. B.1 C.3 D.510.已知函数fx=AA.φ=kπkC.，使得 D.11.在平面直角坐标系中，已知椭圆E1:x24+y2=1, E2:A.PQB.的面积是一个定值C.原点到直线距离的最大值为D.存在点，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，内角所对的边分别为，且满足，则___________．13.在棱长为2的正方体中，点分别为棱AA1, BC的中点，点在体对角线上运动，则的最小值为_____．14.已知数列满足，且对任意，都有．设为数列的前项的乘积，若T10=2M，则实数的值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某在线学台为提升课程完课率，开发了一款AI工具，可在课程视频中自动插入“互动时刻”（如弹窗投票、即时小测等）．为研究互动时刻密度（单位：次/小时，即每小时视频中插入的互动次数）与完课率（单位：）之间的关系，平台针对同一门代表性课程，设置了5档不同的互动时刻密度，记录数据如下表．互动时刻密度完课率162268374479585（1）求完课率关于互动时刻密度的线性回归方程；（2）预测当互动时刻密度为6次/小时时，该课程的完课率，并解释回归系数的实际意义．附：记一组点x1, y1, ⋯,16.如图，在直角梯形中，AD//BC, ∠BAD=90°, AB=（1）证明：平面平面；（2）若点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．17.已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18.已知抛物线的焦点为，过点作直线交于两点，且．（1）求的方程；（2）若点为上异于的动点，直线分别交的准线于点．（i）证明：以线段为直径的圆恒过点；（ii）记直线PF, QF的斜率分别为，若直线与轴垂直，求取得最小值时点的坐标和以线段为直径的圆的标准方程．19.已知函数fx=x（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；（3）若在区间上存在两个零点，证明：．

数学试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的实部为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，，，，，故的实部为.2.已知双曲线的一个焦点坐标为，则（）A.5 B.10 C.25 D.50答案：C解析：解答过程：因为双曲线的一个焦点坐标为，所以3.已知为实数，集合，且，则（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：B解析：解答过程：因为，所以a=a2b解得，或，（a=0b=0所以.4.某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表：续航里程衰减率频率0.100.300.400.150.05据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（）A.15 B.13.75 C.12.5 D.11.25答案：C解析：解答过程：由题意知，区间的累计频率为，区间的累计频率为，区间的累计频率为.由于，因此续航里程衰减率的第60百分位数位于区间内.所以估计续航里程衰减率的第60百分位数约为

.5.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：在上单调递增，可得在上恒成立，得到，令，则只需（），利用导数求出的单调性，利用单调性得到，从而得到的取值范围.解答过程：，，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即：，即，因为时，所以，令，则只需（），，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值，且，则.则实数的取值范围是.6.某智能健身应用进行用户调研，根据调研情况得到用户完成第一日目标的概率为0.5，若完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.8；若未完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.3．现随机抽取一名用户，已知他完成了第二日目标，则他完成了第一日目标的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设事件为“用户完成第一日目标”，事件为“用户完成第二日目标”.由题意可知：，，，，所以，

由.7.已知函数满足对任意实数，都有，且，则（）A.20262+2 B.20262+1 C.答案：A解析：思路：令得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导的通项后代入求值.解答过程：令，代入题设函数方程得：

，将代入化简，得递推关系：，当时，有，则，，，故，故，则.8.已知的平面内有2个不同的点满足APi+BPA.2 B.3 C.5 D.6答案：D解析：思路：设点为的重心，得到，根据向量的运算法则，化简得到，得到和，即点和分别落在以为圆心，半径为和的圆上，结合圆的性质，即可求解.解答过程：设为的重心，根据重心的性质，可得，因为，可得所以，当时，；当时，，所以点在以为圆心，半径为的圆上，点在以为圆心，半径为的圆上，根据圆的性质，可得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（）A. B.1 C.3 D.5答案：BC解析：思路：首先根据绝对值三角不等式求的最小值，再根据不等式恒成立，转化为，即可求解.解答过程：不等式，由不等式恒成立，可知，即，解得：，选项中满足条件的只有BC.10.已知函数fx=AA.φ=kπkC.，使得 D.答案：ABD解析：解答过程：为奇函数，则，都有，所以C错误；即Asin(−ωx+φ所以，即φ=k反之，当φ=kπ当是偶数时，f(x当是奇数时，f(x所以φ=奇函数的图像关于原点对称，B正确；因为f(0)=Asinφ=若，则Asinφ=0⇒sin11.在平面直角坐标系中，已知椭圆E1:x24+y2=1, E2:A.PQB.的面积是一个定值C.原点到直线距离的最大值为D.存在点，使得答案：ACD解析：思路：利用向量的数量积的运算律计算可判断A；若直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，设，直线的方程为，设，分别与椭圆方程联立方程组，利用S△OPQ2=14OP2⋅OQ2计算可判断B；设原点到直线的距离为，利用d2=OP2⋅OQ2OP2+解答过程：因为，所以，所以，因为，所以，故A正确；若直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，设，由，得，所以，所以，所以OP2因为，所以的斜率为，所以直线的方程为，设，由y=−1kxx24+所以OQ2S△故B错误；设原点到直线的距离为，则12PQ⋅d所以d=OP⋅所以当斜率存在且不等于时，d=899当直线的斜率为0时，，，所以d=OP⋅OQ当直线的斜率不存在时，，，所以d=OP⋅OQ所以原点到直线距离的最大值为，故C正确；若存在点，使得，则OQ=3OP有解，则OQ所以，所以84k即，所以，所以，因为在实数内有解，所以存在点，使得，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，内角所对的边分别为，且满足，则___________．答案：##解析：思路：利用余弦定理化简已知等式求得，即可得，再结合三角形内角和计算.解答过程：由余弦定理，可得，即，又，故或，则或，故或，即.13.在棱长为2的正方体中，点分别为棱AA1, BC的中点，点在体对角线上运动，则的最小值为_____．答案：解析：思路：将两个平面沿展开，把空间最短路径问题转化为平面上两点之间线段最短问题．解答过程：在正方体中，，，四边形是菱形，，将平面与平面沿展开成平面图形（如图2），图中，三点共线时，最小，且最小值为，在中，，，所以，即．14.已知数列满足，且对任意，都有．设为数列的前项的乘积，若T10=2M，则实数的值为___________．答案：解析：思路：构造数列，得到，令，得到是首项为1、公比为2的等比数列，所以，则，得到即可求实数的值.解答过程：设，则，两边取以2为底的对数，令，则，因为，则，所以，所以可知是首项为1、公比为2的等比数列，所以，则，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某在线学台为提升课程完课率，开发了一款AI工具，可在课程视频中自动插入“互动时刻”（如弹窗投票、即时小测等）．为研究互动时刻密度（单位：次/小时，即每小时视频中插入的互动次数）与完课率（单位：）之间的关系，平台针对同一门代表性课程，设置了5档不同的互动时刻密度，记录数据如下表．互动时刻密度完课率162268374479585（1）求完课率关于互动时刻密度的线性回归方程；（2）预测当互动时刻密度为6次/小时时，该课程的完课率，并解释回归系数的实际意义．附：记一组点x1, y1, ⋯,答案：（1）y^（2）预测完课率为90.7%，回归系数表示互动时刻密度每增加1次/小时，该课程完课率平均增加5.7个百分点.解析：思路：（1）先计算样本的均值，再代入给定的回归系数公式计算和，进而得到线性回归方程；（2）将代入方程预测完课率，结合变量含义解释的实际意义即可.（1）由题得

，y=62+68+74+79+85而由题意得，故，

a^因此完课率关于互动时刻密度的线性回归方程为y^=5.7x（2）将代入回归方程得

y^=5.7×6+56.5=90.7即当互动时刻密度为6次/小时时，预测该课程完课率为90.7%，回归系数b^该课程的完课率平均提升5.7%，即增加5.7个百分点.16.如图，在直角梯形中，AD//BC, ∠BAD=90°, AB=（1）证明：平面平面；（2）若点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）取的中点，连接，由题意可得，进而可证面，进而可证结论；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值．（1）取的中点，连接，因为，，，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）因为，且，所以四边形是正方形，所以，过作平面，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，又因为，所以，所以，设平面的一个法向量为，，令，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，所以.17.已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）（）（2）解析：思路：（1）变形递推式构造新数列，通过累加法结合裂项相消求新数列通项，进而得到的通项；（2）利用错位相减法以及等比数列公式求和即可.（1）将递推式两边同除以，得

，令，则，且，当时，由累加法得

，所以

，因此，经检验时满足上式，故.（2）由（1）得，其前项和，则，两式相减可得

，即.18.已知抛物线的焦点为，过点作直线交于两点，且．（1）求的方程；（2）若点为上异于的动点，直线分别交的准线于点．（i）证明：以线段为直径的圆恒过点；（ii）记直线PF, QF的斜率分别为，若直线与轴垂直，求取得最小值时点的坐标和以线段为直径的圆的标准方程．答案：（1）（2）（i）证明见解析；（ii）；解析：思路：（1）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合，求得，即可求解；（2）（i）设，分别求得直线和的方程，得到点和点，求得，将，代入上式，求得，得到，结合圆的性质，即可求解；（ii）求得，且，求得和的方程，得到和，得到，结合基本不等式，以及圆的标准方程，即可求解；（1）解：由抛物线，可得其焦点为，设直线的方程为，联立方程组，整理得，设，可得，且，因为，可得，又因为，解得，所以抛物线的方程为.（2）解：（i）由（1）知抛物线方程为，其焦点为，准线方程为，设，则直线的方程为，即，令，可得，解得，同理可得：直线的方程为，令，可得yQ=y2所以，则，因为，代入上式，可得，即，所以，即，根据圆的性质，直径所对的圆周角为直角，所以以线段为直径的圆恒过点.（ii）当直线与轴垂直时，此时，代入抛物线，可得，解得，不妨设，且，可得的方程为，即，令，可得y−2=4y0同理可得：，则，所以，令，可得k