2025-2026学年广东省茂名市高一下册5月期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数，，则（）A. B.1 C. D.2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度3.在中，，，，则（）A. B. C. D.4.已知，，，则（）A. B. C. D.5.已知复数满足，则的值为（）A. B. C.1 D.6.已知，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.7.函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A. B.1 C. D.8.已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.在下列各组向量中，不可以作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，10.已知，是复数，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（

）A.B.秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2C.当时，若小球有且只有三次到达最高点，则D.当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为________.13.如图，在中，已知弦，则________.14.设，是关于的方程的两个虚数根，若，，2在复平面内对应的点构成直角三角形，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量与的夹角为，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求向量与向量的夹角.16.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积；（3）若，求周长的取值范围.17.已知是虚数，，，且.（1）求的值和的实部的取值范围；（2）求证：为纯虚数；（3）求的最小值.18.图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）.（1）求A，B，，的值；（2）求入口处M离地平面的高度；（3）求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长.19.如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数，，则（）A. B.1 C. D.答案：B解析：解答过程：∵，，∴.∵，，∴.∴.∴.2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度答案：D解析：解答过程：∵目标函数为，可变形为，此式是将中的替换为得到.∴要得到的图象，只需将的图象上所有点向左平移个单位长度.3.在中，，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由余弦定理直接计算求解即可.解答过程：由题意得，又，所以.故选：A4.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，，得，因为，所以，解得，所以，则.5.已知复数满足，则的值为（）A. B. C.1 D.答案：C解析：思路：设复数，代入方程并分离实部、虚部，根据复数为零的条件列方程组求解，再利用复数模长公式计算.解答过程：设，则，计算可得，所以，计算可得，所以.6.已知，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据投影向量的计算公式计算即可.解答过程：在方向上的投影向量为.7.函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A. B.1 C. D.答案：B解析：思路：结合余弦型函数的图象及性质求出，根据函数的平移变换得到，代入求解即可.解答过程：由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以.，所以.又，，所以.所以.将代入解析式，得，所以，则，则，又，所以.因此.将的图象向右平移个单位长度得到.所以.8.已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.∵是圆的直径，且为边长为的等边三角形，∴，设圆上动点，，∴，，∴.∵，∴，即的取值范围为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.在下列各组向量中，不可以作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，答案：ACD解析：解答过程：若两个向量可以作为基底，则两个向量需为不共线的非零向量.对选项A，∵为零向量，零向量与任意向量共线，∴不能作为基底.对选项B，∵，计算得，∴与不共线，可作为基底.对选项C，∵，计算得，∴与共线，不能作为基底.对选项D，∵，计算得，∴与共线，不能作为基底.综上，不可以作为基底的是ACD.10.已知，是复数，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.答案：ACD解析：解答过程：对于A选项：设，∵，∴.∴.又∵，∴，故A正确.对于B选项：取，，此时，但，故B错误.对于C选项：∵设，，且，∴，∴虚部，即，∴，故C正确.对于D选项：由复数模的运算性质可知，对任意两个复数，均满足，故D正确.11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（

）A.B.秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2C.当时，若小球有且只有三次到达最高点，则D.当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则答案：B解析：思路：根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D.解答过程：由题，小球运动的周期，又，所以，解得，当时，，即，，所以，则，故A错误；因为，，所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确；若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点，所以，解得，即，故C错误；因为，令，，则，，满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故D错误.故选：B三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为________.答案：解析：思路：根据向量的坐标运算列方程组求解即可.解答过程：设点，则，.由，得，解得.所以点的坐标为.13.如图，在中，已知弦，则________.答案：2解析：解答过程：过点作，垂足为，则为的中点，则.14.设，是关于的方程的两个虚数根，若，，2在复平面内对应的点构成直角三角形，则________.答案：20解析：思路：求出方程的虚数根，结合复数的几何意义求出对应点坐标，根据向量垂直的坐标表示求解即可.解答过程：由题意知，，所以.解方程，得.所以，，在复平面内对应的点为，，点.若为直角顶点，，，，解得（不合题意，舍去）.若为直角顶点，，，，解得（不合题意，舍去）.若为直角顶点，，，，解得，满足.综上，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量与的夹角为，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求向量与向量的夹角.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解；（2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解；（3）根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解.（1）因为向量与的夹角为，且，则.（2）因为向量与的夹角为，且，且.可得.（3）设向量与向量的夹角为，可得，因为，可得，所以向量与向量的夹角为.16.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积；（3）若，求周长的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理实现边角互化，结合三角形内角的取值范围求解角B.（2）借助余弦定理求出边c的长度，代入三角形面积公式计算即可.（3）利用余弦定理结合基本不等式求的取值上界，结合三角形三边关系确定取值下界，最终得到周长的取值范围.（1）∵在中，由正弦定理得（为外接圆半径）.∴，.代入得.∵，∴，两边同时约去，得，即.又∵，∴.（2）∵，，，由余弦定理得，代入得，即，整理得.解得或（边长为正，舍去）.∴的面积.（3）由余弦定理得，即.由基本不等式得，当且仅当时等号成立，∴，∴，即，当且仅当时等号成立.又∵三角形两边之和大于第三边，∴，∴，∴的周长.方法提示：方法归纳：本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求范围，解题核心是合理进行边角互化，求取值范围时注意结合几何性质限定边界.17.已知是虚数，，，且.（1）求的值和的实部的取值范围；（2）求证：为纯虚数；（3）求的最小值.答案：（1），的实部.（2）证明见详解.（3）最小值为1.解析：思路：(1)设出虚数的一般形式表示出，通过的范围推出属于实数，从而求出以及实部范围.(2)代入一般形式到中并利用第一小问的内容化简求证.(3)代入和后化简换元，并利用均值不等式求出其最小值.（1）设，且，则.因，得出为实数，那么，..，因为，所以，.（2）证:，且(1)得.因此为纯虚数.（3）由上题得，，，那么.设，那么.其最小值在时取得，即，因为，所以，因此时取得最小值且最小值为.18.图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）.（1）求A，B，，的值；（2）求入口处M离地平面的高度；（3）求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长.答案：（1），，，；（2）；（3）解析：思路：（1）根据三角函数的最值求解，结合最高点与最低点的时间间隔求周期，进而求，代入最高点坐标求.（2）将代入函数解析式计算得的高度.（3）建立不等式求解的范围，计算一个周期内符合条件的时长.（1）∵高度最大值为，最小值为，∴，解得，.∵从最高点到最低点的时间间隔为半个周期，∴，即，∴.∴.将，代入得，即，∴.∵，∴.（2）由（1）知，入口处对应，∴.即入口处离地面高度为.（3）令，即，化简得.函数周期，取一个周期，则.由，得，即，解得.∴时长为.19.如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；（2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可；（3）设、，利用平面向量的线性