2025-2026学年广西壮族自治区桂林市桂林市十二县联考高一下册5月期中数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“，使得”的否定形式是A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得3.不等式的解集是（）A. B. C. D.4.已知向量，，点，则点B的坐标为（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.已知向量，，则（）A. B. C. D.7.如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是，桥头（C）的俯角是，则桥BC的长为（）A. B.C. D.8.在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，，则的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，且，则10.的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则是锐角三角形D.若，则是等腰直角三角形11.已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的面积为___________.13.已知，，则______.14.设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所示，在平行四边形中，点为中点，点在上，且，记，.（1）以为基底表示；（2）求证：三点共线.16.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及对称中心；（2）先将的图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.18.已知函数()，的最小正周期为.（1）求的值域；（2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；（3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.19.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．（1）求；（2）求的坐标；（3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先化简集合，再结合交集的运算，即可求解.解答过程：根据题意，集合，又集合，所以.故选：C2.命题“，使得”的否定形式是A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得答案：D解析：解答过程：试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法方法提示：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．3.不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：解分式不等式，首先移项，通分，整理为，再转化为二次不等式，即可求解.解答过程：由原不等式可得，即，解得，故原不等式的解集为.故选：C．4.已知向量，，点，则点B的坐标为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由向量坐标的线性运算求解即可.解答过程：由题意得，，设点B的坐标为，则，所以点B的坐标为.故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：首先根据正弦值求出余弦值，然后根据和差倍角的余弦公式求出的值.解答过程：因为，所以，故.故选：D.6.已知向量，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用模长公式可求答案.解答过程：因为，，所以.7.如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是，桥头（C）的俯角是，则桥BC的长为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出与，由求出的长即可.解答过程：解：如图所示：由题意得：，在中，，即，整理得：；在中，，即，整理得：，则.故选:A.8.在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，结合基本不等式即可求得的最小值．解答过程：连接，如图，中，，点满足，,，，,,因为，，三点共线，所以，，,所以=()()==，当且仅当,即时取“”，则的最小值为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，且，则答案：BC解析：思路：利用不等式的性质或者反例可判断正误.解答过程：对于A，例如，满足，但是不满足，A不正确；对于B，a3−a=aa2对于C，b+1a+1−ba=对于D，因为，所以异号，即，若，则，D不正确.10.的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则是锐角三角形D.若，则是等腰直角三角形答案：AD解析：解答过程：对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确；对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误；对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误；对于D，由正弦定理，结合条件，得，，，，，，又，，所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确.11.已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（）A. B. C. D.答案：BC解析：思路：由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围.解答过程：因为函数在区间上单调，且满足，而，，即的一个对称中心为，，且在区间上单调，设函数的最小正周期为T，则，即，解得，又函数在区间上恰有2个零点，恰为第一个零点，相邻两个零点之间相距半个周期，则，即，解得，而，因此，所以可能得取值为，.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的面积为___________.答案：解析：思路：把圆心角化为弧度数，然后由面积公式计算．解答过程：（弧度），所以，故．13.已知，，则______.答案：##解析：思路：根据条件确定，，再结合关系求结论.解答过程：因为，所以，又，所以，所以，因为，所以，所以，故,14.设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是__________.答案：解析：思路：根据题意，利用三角形中线的向量表示，即可求出的最小值，由此求出的长度.解答过程：解：由题意得：根据是中线上的一个动点，设是的中线，即，如图所示：当时，取得最小值为解得故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所示，在平行四边形中，点为中点，点在上，且，记，.（1）以为基底表示；（2）求证：三点共线.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）结合图形，根据平面向量的线性运算即可求解；（2）根据平面的线性运算可得，即，即可证明.（1）；（2），，，，且与有公共点，所以三点共线.16.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.解答过程：（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.[方法二]：正弦化角（通性通法）设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．[方法三]：余弦与三角换元结合在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，所以周长的最大值为．方法提示：本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及对称中心；（2）先将的图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.答案：（1）；对称中心为，（2）解析：思路：（1）由最值求，由周期求，由图象上的点求，得函数解析式，整体代入法求对称中心；（2）由图象变换得解析式，由定义区间结合正弦函数的单调性求单调减区间.（1）由图象可知，，最小正周期，得，此时，由，得，，由，所以，所以函数的解析式为；由，，可得，.故函数的对称中心为，；（2）先将的图象横坐标缩短为原来的倍，可得的图象，再向右平移个单位，得到的图象，即.因为，所以，当即时，单调递减，所以在上的单调递减区间为.18.已知函数()，的最小正周期为.（1）求的值域；（2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；（3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.答案：（1）；（2）或；（3）存在，.解析：思路：（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值求值域即可．（2）根据函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，再结合三角函数的性质求解即可．（3）由（1）可知.实数满足对任意，都存在，使得成立等价于成立．换元后，分类讨论求出左边式子的最小值，即可列不等式求解.解答过程：（1）函数∵的最小正周期为.，∴，∴.那么的解析式则取值范围是；（2）方程；在上有且有一个解，转化为函数与函数在上只有一个交点.∵，∴因为函数在上增，在上减，且，∴或，所以或（3）由（1）可知，∴.实数满足对任意，都存在，使得成立.即成立，令，设，那么∵，∴，可得在上恒成立.令，其对称轴，∵上，∴①当时，即，，所以；②当，即时，，所以；③当，即时，，所以；综上可得，存在，可知的取值范围是.方法提示：方法点睛：分类讨论思想的常见类型

1、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；

2、问题中的条件是分类给出的；3、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；

4、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．（1）求；（2）求的坐标；（3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得；（2）依题意可得，即可得到是平