2025-2026学年广西壮族自治区玉林市九校高二下册期中质量监测数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列导数运算正确的有（）A. B.C. D.2.已知，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.1或33.在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A.56 B.-56 C.70 D.-704.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.35.如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（）A.20 B.24 C.48 D.726.已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（）A. B. C. D.7.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（）A. B. C. D.8.已知函数（）有两个极值点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（）A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况C.若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况D.若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况10.袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（）A.随机变量服从二项分布 B.C. D.记这个球中白球的个数为，则11.甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（）A.若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为B.若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为C.若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大D.若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，常数项为_______________.13.已知曲线，则在点的切线方程为________．14.袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求当时，函数的最值.16.在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数.（1）求的分布列和数学期望；（2）另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值；17.已知展开式共有11项.（1）求n的值，并求二项式系数的最大值；（2）求的值；（3）求的值.18.教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表：

男生（人）女生（人）合计（人）运动达标8040120运动不达标206080合计100100200用频率估计概率．（1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率；（2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望；（3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论）19.已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，且恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：

数学满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列导数运算正确的有（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：解答过程：选项A，因为是常数，所以，故A错误；选项B，，故B正确；选项C，，故C错误；选项D，，故D错误，2.已知，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.1或3答案：C解析：思路：根据排列组合公式列方程求参数.解答过程：由题意知，且，解得．故选：C3.在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A.56 B.-56 C.70 D.-70答案：A解析：思路：根据二项式系数的概念即可求解.解答过程：第4项的二项式系数为.故选：A.4.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：D解析：解答过程：因为，则，所以.5.如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（）A.20 B.24 C.48 D.72答案：D解析：解答过程：如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择，若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色，以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类：第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种，第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种故用四种颜色有种，由加法原理得不同的涂色方法数共有种，D正确.6.已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据二项分布的概率公式计算，注意至少分离出2个轻水分子含有分离出2个轻水分子和分离出3个轻水分子两种情况解答过程：设事件“至少分离出2个轻水分子”，由题意知分离出1个轻水分子的概率为，分离出1个非轻水分子的概率为，所以，故至少分离出2个轻水分子的概率为．故选：D.7.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用互斥事件的概率加法公式和条件概率公式计算即可.解答过程：设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件，则，，则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为.8.已知函数（）有两个极值点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：由题设，因为（）有两个极值点，所以在R上有两个不同的实根，所以或，即.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（）A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况C.若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况D.若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况答案：ACD解析：思路：将4个奖项分给4个人的全排列数判断A；按另两个奖项由1人获得、2人获得分类计算判断B；将4个奖项按平均分组，再分配判断C；取2个奖项一组，分3组分给3人判断D.解答过程：对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有种不同的获奖情况，A正确．对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，共有种不同的获奖情况，B错误．对于C，若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有种不同的获奖情况，C正确．对于D，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，共有种不同的获奖情况，D正确．故选：ACD10.袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（）A.随机变量服从二项分布 B.C. D.记这个球中白球的个数为，则答案：BD解析：解答过程：选项，本题是从个球中不放回任取个，随机变量服从超几何分布，不是二项分布（二项分布要求独立重复、每次概率不变），故错误；选项，，，，​因此​，故正确。选项，超几何分布期望公式​，其中（抽取个数），（总体黑球数），（总球数），得，根据期望性质，故错误；选项，取出个球，因此（为白球个数）.根据方差性质，得，故正确.11.甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（）A.若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为B.若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为C.若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大D.若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大答案：ACD解析：思路：由二项分布及相互独立事件的概率计算公式逐项求解判断A、B、C，由二项分布及条件概率计算公式求解判断D.解答过程：对于A：若采用3局2胜制，可将比赛看作赛满3局处理，甲获胜则需在3局获胜2局或3局都胜，其概率为，A正确；对于B：若采用5局3胜制，甲以获胜则需在第4局比赛中获胜，且在前3局比赛中获胜2局，其概率为，B错误；对于C：若，则在5局3胜制中将比赛看作赛满5局处理，则甲获胜的概率为，在3局2胜制中将比赛看作赛满3局处理，甲获胜的概率为，，C正确；对于D：由事件表示“甲获胜”，设事件表示“比赛局数为4局”，事件C表示“比赛局数为3局”，事件D表示“比赛局数为5局”，则，，，，所以，，，，D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，常数项为_______________.答案：解析：思路：根据条件，利用二项展开式的通项公式，即可求解.解答过程：因为的通项公式为，则的展开式中的项为或，所以常数项为，故答案为.13.已知曲线，则在点的切线方程为________．答案：解析：解答过程：，故，又，所以曲线在点的切线方程为，即.14.袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________．答案：解析：思路：先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．解答过程：从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况，其中两个号码的和为偶数的有共4种情况，所以一个人摸球，能够获奖的概率为，所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求当时，函数的最值.答案：（1）单调递增区间为和，单调递减区间为（2）最小值为，最大值为解析：思路：（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）利用（1）的结论，可求函数在区间上的最值.（1）因为，所以.由或；由.所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由（1）得：函数在上单调递减，在上单调递增.所以.又，，所以.综上，当时，函数的最小值为，最大值为.16.在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数.（1）求的分布列和数学期望；（2）另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值；答案：（1）分布列为：234（2）解析：思路：（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望；（2）应用全概率公式求概率即可；（1）由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，，且的所有可能取值为2，3，4，，，，故的分布列为：234法一：所以的数学期望.法二：根据超几何分布的期望公式知.（2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件，记“下达的动作指令表述模糊”为事件，记“机器人成功完成指令”为事件.由已知得，，，，.因为，所以.17.已知展开式共有11项.（1）求n的值，并求二项式系数的最大值；（2）求的值；（3）求的值.答案：（1），252（2）（3）0解析：思路：（1）根据展开式的项数特征可求得，进而求得二项式系数的最大值；（2）先分析原二项式展开式系数的正负性，再通过赋值法，将原二项式中的负号转化为正号后令，从而得到值；（3）利用赋值法，令，代入原二项式展开式直接得到值.（1）二项式展开式的项数为，由题知展开式共11项，因此，得，因为10是偶数，故二项式系数的最大值为；（2）展开式中，系数的符号由决定，即对应将原式中换为1后的系数，等价于令代入原式：，计算得，因此结果为；（3）令，代入等式得，左边等于，因此结果为0.18.教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表：

男生（人）女生（人）合计（人）运动达标8040120运动不达标206080合计100100200用频率估计概率．（1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率；（2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望；（3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直