2025-2026学年贵州松桃民族中学高一下册期中素养训练数学试题 含解析

/数学一、单选题（每小题5分，共计40分）1.的虚部为（）A. B.0 C.1 D.62.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）A. B. C. D.3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（）A.1 B. C. D.34.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. B. C. D.5.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.17.已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（）A. B.C. D.8.在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（每小题6分，共计18分）9.已知为虚数单位，复数满足，则（）A.的实部为3B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点在第四象限10.关于斜二测画法，下列说法正确的是（）A.在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行B.若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为C.一个梯形的直观图仍然是梯形D.在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直11.在中，，，则下列说法正确的是（）A. B.C.在方向上的投影向量为 D.若，则三、填空题（每小题5分，共计15分）12.如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．13.已知平面向量若，则___________14.是虚数单位，复数______．四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分）15.已知正四棱锥的底面为边长为4cm的正方形，高与斜高的夹角为，如图所示．（1）求正四棱锥的侧面积（单位：）；（2）求正四棱锥的体积（单位：）．16.在中，角所对的边分别为，已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．（1）求的面积；（2）若，求b．18.已知，复数．（1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；（2）若z满足，，求的值．19.已知，．（1）若，求的坐标：（2）若与的夹角为120°，求在向量上的投影向量的模．

数学一、单选题（每小题5分，共计40分）1.的虚部为（）A. B.0 C.1 D.6答案：C解析：思路：根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.解答过程：因为，所以其虚部为1，故选：C.2.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．解答过程：依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台下底面积，上底面积，∴．故选：C．3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（）A.1 B. C. D.3答案：D解析：思路：根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积.解答过程：在梯形中，，则该梯形的高为，梯形的面积为，在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的，所以平面图形的面积.故选：D4.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.解答过程：设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.5.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解.解答过程：令，由，得，点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，故选：D6.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.1答案：B解析：思路：由得，结合，得，由此即可得解.解答过程：因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.7.已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.解答过程：如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.方法提示：本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.8.在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．解答过程：因为，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故选：D.二、多选题（每小题6分，共计18分）9.已知为虚数单位，复数满足，则（）A.的实部为3B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点在第四象限答案：ACD解析：思路：先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D.解答过程：由于，则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误；由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确，故选：ACD.10.关于斜二测画法，下列说法正确的是（）A.在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行B.若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为C.一个梯形的直观图仍然是梯形D.在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直答案：ABC解析：思路：根据斜二测画法逐项判断，可得出合适的选项.解答过程：对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确；对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例，如图①，在中，，其面积，在其直观图（图②）中，作，则直观图的面积，因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的，故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为，B正确；对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误.故选：ABC.11.在中，，，则下列说法正确的是（）A. B.C.在方向上的投影向量为 D.若，则答案：AC解析：思路：A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解.解答过程：A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，，即，即，由正弦定理，，即，则为锐角，由，解得，，A选项正确，B选项：由A选项和题干可知，，，故，B选项错误.C选项：在方向上的投影向量为，由B知，，，且，解得，由正弦定理，，则，C选项正确.D选项：由正弦定理，，即，解得，于是，，D选项错误.故选：AC三、填空题（每小题5分，共计15分）12.如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．答案：解析：思路：求出侧棱长和底面边长后可求体积.解答过程：因为且四边形为正方形，故，而，故，故，故所求体积为，故答案为.13.已知平面向量若，则___________答案：解析：思路：根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.解答过程：，因为，则，则，解得.则，则.故答案为.14.是虚数单位，复数______．答案：解析：思路：借助复数的乘法运算法则计算即可得.解答过程.故答案为.四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分）15.已知正四棱锥的底面为边长为4cm的正方形，高与斜高的夹角为，如图所示．（1）求正四棱锥的侧面积（单位：）；（2）求正四棱锥的体积（单位：）．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由已知可得正四棱锥的高PO及斜高PE，再结合棱锥的侧面积求法求解即可；（2）由（1）结合棱锥的体积的求法求解即可.（1）正三棱锥的高PO、斜高PE和底面边心距OE组成．因为，，所以斜高．因此．（2）由（1）知高，所以．16.在中，角所对的边分别为，已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到；（3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.（1）设，，则根据余弦定理得，即，解得（负舍）；则.（2）法一：因为为三角形内角，所以，再根据正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因为，则（3）法一：因为，且，所以，由（2）法一知，因为，则，所以，则，.法二：，则，因为为三角形内角，所以，所以17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．（1）求的面积；（2）若，求b．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.18.已知，复数．（1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；（2）若z满足，，求的值．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解.（2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解.（1）复数在复平面