时域离散信号和系统的频域分析

时域离散信号和系统的频域分析第1页，共191页。时域离散信号和系统的频域分析第2页，共191页。第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言2.2序列的傅里叶变换的定义及性质2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟

信号傅里叶变换之间的关系2.5序列的Z变换2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性第3页，共191页。2.1引言

我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。第4页，共191页。

而频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换（DTFT），它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。

本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。第5页，共191页。JeanBaptisteJosephFourier生于1768年3月21日法国奥克斯雷（Allxerre）。JeanBaptisteJosephFourier与傅立叶变换第6页，共191页。傅立叶级数的提出和完善

1807年1829年傅立叶级数到傅立叶积分的推广周期信号表示——傅立叶级数非周期信号表示——傅立叶积分应用广泛：数学、物理学第7页，共191页。2.2序列的傅里叶变换的定义及性质序列傅里叶变换的定义定义

为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(FourierTransform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：第8页，共191页。

为求FT的反变换，用e

jωn乘式两边，并在

-π~π内对ω进行积分，得到式中因此第9页，共191页。

上式即是FT的逆变换。和式组成一对傅里叶变换公式。式是FT存在的充分必要条件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，这部分内容在下面介绍。第10页，共191页。

例设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT解：设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如图所示。第11页，共191页。

图R4(n)的幅度与相位曲线第12页，共191页。

为了描述系统和所传输的信号在占有频带上的这种关系，需要定义信号的有效带宽(简称为信号带宽)，它是从零频率开始到需要考虑的信号最高频率分量之间的频率范围。在工程应用中，定义信号带宽的方法主要有以下两种：（1）对于频谱或频谱的包络具有函数形式的信号，通常定义其带宽为函数主瓣宽度的一半，即从零频到函数第一过零点之间的频率范围。（2）对于其他形状的频谱，工程上通常将信号频谱的幅度从最大值降低到最大值的时所对应的频率范围定义为信号的带宽，此时，信号的功率下降到峰值的一半，即比峰值功率下降3dB，因此该带宽又称为半功率带宽。第13页，共191页。序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在定义式中，n取整数，因此下式成立M为整数

因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。这样X(ejω)可以展成傅里叶级数，其实式已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。第14页，共191页。2.线性那么设式中a,b为常数

3.时移与频移设X(ejω)=FT［x(n)］，那么第15页，共191页。4.FT的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下式：

xe(n)=x*e(-n

则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示

xe(n)=xer(n)+jxei(n)

将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到

x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)第16页，共191页。

对比上面两公式，左边相等，因此得到

xer(n)=xer(-nxei(n)=-xei(-n

由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的称共轭反对称序列

xo(n)=-xo*

(-n第17页，共191页。

将xo(n)表示成实部与虚部如下式：

xo(n)=xoi(n)+jxoi(n)

可以得到

xor(n)=-xor(-n

xoi(n)=xoi(-n

即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。第18页，共191页。

例试分析x(n)=ejωn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：

x*(-n)=ejωn

因此x(n)=x*

(n)，满足式，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到

x(n)=cosωn+jsinωn

由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。第19页，共191页。

对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即

x(n)=xe(n)+xo(n

式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将式中的n用-n代替，再取共轭得到

x*(-n)=xe(n)-xo(n

利用和两式，得到第20页，共191页。

利用上面两式，可以分别求出xe(n)和xo(n)。对于频域函数X(ejω)也有和上面类似的概念和结论：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω其中Xe(ejω)与Xo(ejω)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足

Xe(ejω)=X*e(e-jω

Xo(ejω)=-X*o(e-jω

同样有下面公式满足：第21页，共191页。(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)

x(n)=xr(n)+jxi(n)

将上式进行FT，得到

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)式中第22页，共191页。

上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列，容易证明Xe(ejω)满足式，个有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ejω)满足式，具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。第23页，共191页。

最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。

(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即

x(n)=xe(n)+xo(n

将式和式重定如下：第24页，共191页。

将上面两式分别进行FT，得到

FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)

因此对式进行FT得到：

X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω式表示序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部。第25页，共191页。第26页，共191页。

实际上，实际的序列具有更特殊的性质，例如待分析的信号是实序列、实偶对称序列或实奇对称序列，其频谱会有什么特性呢？为此可以对信号进行进一步的分解。第27页，共191页。第28页，共191页。第29页，共191页。

因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω)，共轭反对称部分为零。

H(ejω)=He(ejω)

H(ejω)=H*(e-jω)

因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为

HR(ejω)=HR(e-jω)

HI(ejω)=-HI(e-jω)第30页，共191页。

按照和式得到

h(n)=he(n)+ho(n)

he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］

ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因为h(n)是实因果序列，按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：第31页，共191页。实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为

h(n)=he(n)u+(n

h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)δ(n第32页，共191页。例x(n)=anu(n);0<a<1;求其偶函数xe(n)

和奇函数xo(n)。解：x(n)=xe(n)+xo(n)

按式得到第33页，共191页。按照式得到第34页，共191页。图例图第35页，共191页。5.时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),

则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω

证明令k=n-m第36页，共191页。

该定理说明，两序列卷积的FT，服从相乘的关系。对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应FT。因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算，也可以在频域按照式，求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。第37页，共191页。6.频域卷积定理设y(n)=x(n)·h(n第38页，共191页。7.帕斯维尔(Parseval)定理第39页，共191页。

帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|X(ejω)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2π)。最后，表综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。第40页，共191页。表序列傅里叶变换的性质第41页，共191页。

2.3周期序列的离散傅里叶级数

及傅里叶变换表示式

周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数

式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和第42页，共191页。式的证明，作为练习自己证明。因此上式中，k和n均取整数，当k或者n变化时，是周期为N的周期函数，可表示成取整数第43页，共191页。

上式中也是一个以N为周期的周期序列，称为的离散傅里叶级数，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。如对式两端乘以，并对k在一个周期中求和，得到同样按照式，得到将式和式重写如下：第44页，共191页。式和式称为一对DFS。式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为ωk=(2π/N)k,k=0,1,2…

N-1，幅度为。其波分量的频率是2π/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。第45页，共191页。

例设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如图a)所示的周期序列，周期为8，求的DFS。解：按照式第46页，共191页。

其幅度特性如图所示。第47页，共191页。图例图第48页，共191页。周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，，其傅里叶变换是在Ω=Ωo处的单位冲激函数，强度是2π，即

对于时域离散系统中，x(n)=ejωon，2π/ωo为有理数，暂时假定其FT的形式与式一样，也是在ω=ω0处的单位冲激函数，强度为2π，但由于n取整数，下式成立

取整数第49页，共191页。

上式表示复指数序列的FT是在ωo±2πr处的单位冲激函数，强度为2π如科所示。但这种假定如果成立，要求按照式的逆变换必须存在，且唯一等于，下面进行验证，按照式因此ejω0n的FT为第50页，共191页。图的FT第51页，共191页。

观察图，在±π区间，只包括一个单位冲激函数，等式右边为，因此得到下式：

证明了式确定是ejωon的FT，前面的暂时假定是正确的。对于一般周期序列，按式展开DFS，第k次谐波为，类似于复指数序列的FT，其FT为，因此的FT如下式第52页，共191页。

式中k=0,1,2…

N-1,如果让k在±∞之间变化，上式可简化成第53页，共191页。

表基本序列的傅里叶变换第54页，共191页。对(a)式进行FT，得到第55页，共191页。

例求例中周期序列的FT。解：将例中得到的代入式中得到其幅频特性如图所示。第56页，共191页。图例图第57页，共191页。

对比图，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。第58页，共191页。

例令，2π/ω0为有理数，求其FT。解：将用欧拉公式展开按照式，其FT推导如下：第59页，共191页。

上式表明cosω0n的FT，是在ω=±ω0处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行延拓，如图所示。第60页，共191页。图ω0n的FT第61页，共191页。2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟

信号傅里叶变换之间的关系

我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述第62页，共191页。

这里t与Ω的域均在±∞之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号，即连续信号和采样信号，它们之间的关系用式描述，重写如下：采样信号和连续信号xa(t)，它们分别的傅里叶变换之间的关系，由采样定理式描述，重写如下：第63页，共191页。

下面我们研究如果时域离散信号x(n)，或称序列x(n)，是由对模拟信号xa(t)采样产生的，即在数值上有有下面关系式成立：

x(n)=xa(nT

注意上面式中n取整数，否则无定义。x(n)的一对傅里叶变换用式和式表示，重写如下：第64页，共191页。

X(ejω)与Xa(jΩ)之间有什么关系？数字频率ω与模拟频率Ω(f)之间有什么关系？这在模拟信号数字处理中，是很重要的问题。为分析上面提出的问题，我们从式开始研究。将t=nT代入式中，得到

第65页，共191页。

令，代入上式后，再将Ω′用Ω代替，得到

式中，因为r和n均取整数，e-j2πrn=1，交换求和号和积分号得到：第66页，共191页。

在第一章中曾得到结论，如果序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率ω与模拟信号的频率Ω(f)成线性性关系，如式所示，重写如下：

ω=ΩT

式中T是采样周期T=1/fs，将式代入式得到现在对比式和式，得到第67页，共191页。

上面式即表示序列的傅里叶变换X(ejω)和模拟信号xa(t)的傅里叶变换Xa(jΩ)之间的关系式，我们将式与式对比，得到结论：序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号、模拟信号分别的FT之间的关系一样，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T进行周期延拓，频率轴上取值的对应关系用式表示。第68页，共191页。

在一些文献中经常使用归一化频率f′=f/fs或Ω′=Ω/Ωs，Ω′=ω/2π，因为f′、Ω′和ω′，都是无量纲，刻度是一样的，将f、Ω、ω、f′、Ω′、ω′的定标值对应关系用图表示。第69页，共191页。图模拟频率与数字频率之间的定标关系第70页，共191页。

例设xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50Hz以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采相信号和时域离散信号x(n)，求xa(t)和的傅里叶变换以及x(n)的FT。解：第71页，共191页。

Xa(jΩ)是Ω=±2πf0处的单位冲激函数，强度为π，如图所示。以fs=200Hz对xa(t)进行采样得到采样信号，按照式，与xa(t)的关系式为

的傅里叶变换用式确定，即以Ωs=2πfs为周期，将Xa(jΩ)周期延拓形成，得到：第72页，共191页。

如图所示。将采样信号转换成序列x(n)，用下式表示：

x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)

按照式，得到x(n)的FT，实际上只要将Ω=ω/T=ωfs代入中即可。第73页，共191页。

将fs=200Hz，f0=50Hz，代入上式，求括弧中公式为零时的ω值，ω=2πk±π/2，因此X(ejω)用下式表示：第74页，共191页。

图例图第75页，共191页。

2.5序列的Z变换

Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为

式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式第76页，共191页。

使式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示

这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即第77页，共191页。图Z变换的收敛域第78页，共191页。

常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义式，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：第79页，共191页。

式中z=ejω表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例x(n)=u(n)，求其Z变换。解：

X(z)存在的条件是|z-1|<1，因此收敛域为|z|>1，

|z|>1第80页，共191页。

由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用式求FT。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数δ(ω)，其傅里叶变换可以表示出来(见表。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。第81页，共191页。序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。

1.有限长序列如序列x(n)满足下式：

x(n)n1≤n≤n2

x(n)=0其它第82页，共191页。

即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为

设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与∞丙点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n1<0，则收敛域不包括∞点；如n2>0，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=∞点。具体有限长序列的收敛域表示如下：第83页，共191页。

n1<0，n2≤0时，0≤z＜∞

n1<0，n2>0时，0<z＜∞

n1≥0，n2>0时，0<z≤∞

例求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域

解：第84页，共191页。

这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0<z≤∞。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ejω代入X(z)得到，其结果和例题中的结果公式是相同的。

2.右序列右序列是在n≥n1时，序列值不全为零，而其它n<n1，序列值全为零。第85页，共191页。

第一项为有限长序列，设n1≤-1，其收敛域为0≤|z|＜∞。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-<|z|≤∞，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-<|z|<∞。如果是因果序列，收敛域定为Rx-<|z|≤∞。第86页，共191页。

例求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解：在收敛域中必须满足|az-1|<1，因此收敛域为|z|>|a|。

3.左序列左序列是在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n1，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为

第87页，共191页。

如果n2<0,z=0点收敛，z=∞点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为Rx+)的圆内，收敛域为0≤|z|<Rx+。如果n2>0，则收敛域为0<|z|<Rx+

。例求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。

X(z)存在要求|a-1z|<1，即收敛域为|z|<|a|第88页，共191页。4.双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换表示为第89页，共191页。

X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+>Rx-，其收敛域为Rx-<|z|<Rx+

，这是一个环状域，如果Rx+<Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。例x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：第90页，共191页。

第一部分收敛域为|az|<1，得|z|<|a|-1，第二部分收敛域为|az-1|<1，得到|z|>|a|。如果|a|<1，两部分的公共收敛域为|a|<|z|<|a|-1，其Z变换如下式：

如果|a|≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0<a<1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图所示。第91页，共191页。

图例图第92页，共191页。逆Z变换已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。序列的Z变换及共逆Z变换表示如下：第93页，共191页。1.用留数定理求逆Z变换如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示，根据留数定理

式中表示被积函数X(z)zn-1在极点z=zk的留数，逆Z变换则是围线c内所有的极点留数之和。如果zk是单阶极点，则根据留数定理第94页，共191页。

由式表明，对于N阶极点，需要求N-1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使问题简单化。设被积函数用F(z)表示，即如果zk是N阶极点，则根据留数定理第95页，共191页。

F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上极点分成两部分：一部分是c内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，N=N1+N2，用z2k表示。根据留数辅助定理下式成立：

注意式成立的条件是F(z)的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)与Q(z)分别是M与N阶多项式。式成立的条件是第96页，共191页。第97页，共191页。

N-M-n+1≥2

因此要求N-M-n

如果式满足,c圆内极点中有多阶极点，而c圆外极点没有多阶的，可以按照式，改求c圆外极点留数之和，最后加一个负号。例已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|>a，求其逆Z变换x(n)。第98页，共191页。

为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：z=a;当n<0时z=0共二个极点，其中z=0极点和n的取值有关。n≥0时，n=0不是极点。n<0时，z=0是一个n阶极点。因此分成n≥0和n<0两种情况求x(n)。

n≥0时，第99页，共191页。

n<0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查式是否满足，此处n<0，只要N-N≥0，式就满足。图例中n<0时F(z)极点分布第100页，共191页。

例已知，求其逆变换x(n)。解：该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图所示。图中有二个极点z=a和z=a-1，这样收敛域有三种选法，它们是

(1)|z|>|a-1|，对应的x(n)是右序列；

(2)|a|<|z|<|z-1|，对应的x(n)是双边序列；

(3)|z|<|a|，对应的x(n)是左序列。第101页，共191页。图例X(z)极点分布图第102页，共191页。

下面按照收敛域的不同求其x(n)。

(1)收敛域|z|>|a-1|

种收敛域是因果的右序列，无须求n<0时的x(n)。当n≥0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此第103页，共191页。

最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。

(2)收敛域|z|<|a|

这种情况原序列是左序列，无须计算n≥0情况，当n≥0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n<0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和第104页，共191页。

最后将x(n)表示成

x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|<|z|<|a-1|

这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n≥0和n<0两情况分别求x(n)。

n≥0时，c内极点z=a

x(n)=Res［F(z),a］=an第105页，共191页。

n<0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此

x(n)=-Res［F(z),a-1］=a-n

最后将x(n)表示为

an

n≥0

x(n)=x(n)=a|n|

a-n

n<0

第106页，共191页。2.幂级数法(长除法)

按照Z变换定义式，可以用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)。要说明的是，如果x(n)是右序列，级数应是负幂级数；如x(n)是左序列，级数则是正幂级数。例已知用长除法求其逆Z变换x(n)。解由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数第107页，共191页。1-az-1

第108页，共191页。

例已知求其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数第109页，共191页。3.部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式第110页，共191页。

观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。

求出Am系数(m=0,1,2,…N)后，很容易示求得x(n)序列。第111页，共191页。

例已知，求逆Z变换。解第112页，共191页。

因为收敛域为2<|z|<3，第一部分极点是z=2，因此收敛域为|z|>2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|<3。查表得到

x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)

一些常见的序列的Z变换可参考表。第113页，共191页。

表常见序列Z变换第114页，共191页。第115页，共191页。变换的性质和定理

Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。

1.线性设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］,Ry-<|z|<Ry+

则M(z)=ZT［m(n)］

=aX(z)+bY(z),Rm-<|z|<Rm+

Rm+=max［Rx+,Ry+］

Rm-=max［

Rx,Ry-］第116页，共191页。

这里M(z)的收敛域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收敛域，如果没有公共收敛域，例如当

Rx+>Rx->Ry+>Ry-时，则M(z)不存在。

2.序列的移位设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

则ZT［x(n-n0)］=z-n0X(z),Rx-<|z|<Rx+第117页，共191页。3.乘以指数序列设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+

y(n)=anx(n),a为常数则Y(z)=ZT［anx(n)］

=X(a-1z)|a|Rx-<|z|<|a|Rx+证明因为Rx-<|a-1z|<Rx+，得到|a|Rx-<|z|<|a|Rx+

。第118页，共191页。4.序列乘以n设则证明第119页，共191页。5.复序列的共轭设则证明第120页，共191页。6.初值定理设x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］

证明因此7.终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则第121页，共191页。证明因为x(n)是因果序列，

因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限第122页，共191页。终值定理也可用X(z)在z=1点的留数，因为因此如果单位圆上，X(z)无极点，则x(∞)=0。第123页，共191页。8.序列卷积设则第124页，共191页。证明W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。第125页，共191页。

例已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|<1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)

求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。

第126页，共191页。由收敛域判定y(n)=0,n<0。n≥0y(n)=Res［Y(z)zn-1,1］+Res［Y(z)zn-1,a］第127页，共191页。将y(n)表示为9.复卷积定理如果ZT［x(n)］=X(z)，Rx-<|z|<Rx+ZT［y(n)］=Y(z),Ry-<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)则第128页，共191页。W(z)的收敛域式中v平面上，被积函数的收敛域为第129页，共191页。证明由X(z)收敛域和Y(z)的收敛域，得到第130页，共191页。

例已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］解：因此第131页，共191页。

W(z)收敛域为|a|<|z|≤∞；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。第132页，共191页。10.帕斯维尔(Parseval)定理利用复卷积定理可以证明重要的怕斯维尔定理。那么v平面上，c所在的收敛域为第133页，共191页。

证明令w(n)=x(n)·y*(n)

按照式，得到

按照式，R

x-R

y-<|z|<R

x+R

y+，按照假设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。第134页，共191页。

如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=ejω，得到令x(n)=y(n)得到

上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维尔定理式是相同的。式还可以表示成下式：第135页，共191页。利用Z变换解差分方程在第一章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。设N阶线性常系数差方程为1.求稳态解如果输入序列x(n)是在n=0以前∞时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对式求Z变换，得到第136页，共191页。式中第137页，共191页。2.求暂态解对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始条件y(-1),y(-2)…y(-N)。对式进行Z变换时，注意这里要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换是相同的。下面先求移位序列的单边Z变换。设第138页，共191页。第139页，共191页。

按照式对式进行单边Z变换第140页，共191页。

例已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(-1)=2，求y(n)。解：将已知差分方程进行Z变换式中，于是第141页，共191页。

收敛域为|z|>max(|a|,|b|)，式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。第142页，共191页。第143页，共191页。拉氏变换、傅氏变换与Z变换一.拉氏变换与Z变换第144页，共191页。第145页，共191页。这说明，从理想采样信号的拉普拉斯变换到采样序列的Z变换，就是由复变量S平面到复变量Z平面的映射，其映射关系为:

第146页，共191页。s=σ+jΩz=re

jωrejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT

r=eσT

ω=ΩT

z的模r对应于s的实部σ，z的相角ω对应于s的虚部Ω。第147页，共191页。

先讨论s的实轴σ与z的模r的关系，

σ=0（S平面虚轴）r=1（Z平面单位圆上）

σ<0（S的左半平面）r<1（Z平面单位圆内部）

σ>0（S的右半平面）r>1(Z平面单位圆外部）再讨论s的虚轴Ω与z的相角ω的关系式

Ω=0（S平面的实轴）ω=0（Z平面正实轴）

Ω由-π/T增至0ω由-π增至0

Ω由0增至π/T→

ω由0增至π

第148页，共191页。S平面与Z平面多值映射关系

第149页，共191页。第150页，共191页。二.连续信号的傅氏变换与序列的Z变换

傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，即s=jΩ，映射到Z平面上正是单位圆z=ejΩT，说明：采样序列在单位圆上的Z变换，就等于其理想采样信号的傅里叶变换（频谱）。

第151页，共191页。三.序列的傅氏变换与Z变换

Z平面的角变量ω直接对应着S平面的频率变量Ω，因此ω具有频率的意义，称为数字频率，它与模拟域频率Ω的关系是

数字频率是模拟角频率对采样频率fs的归一化值，它代表了序列值变化的速率，所以它只有相对的时间意义（相对于采样周期T），而没有绝对时间和频率的意义。

第152页，共191页。可见，单位圆上的Z变换是和模拟信号的频谱相联系的，因而常称单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，也称为数字序列的频谱。数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样频率的归一化。

第153页，共191页。2.6利用Z变换分析信号和系统

的频域特性传输函数与系统函数设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉中响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(ejω)

一般称H(ejω)为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。第154页，共191页。

设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式

如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ejω)与H(z)之间关系如下式：第155页，共191页。表征系统的几种：单位脉冲响应h(n)=T[δ(n)]；差分方程；系统函数；传输函数；零极点图（只能近似而非准确描述一个系统）；信号流图。第156页，共191页。用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n<0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可表示为

r<|z|≤∞，0<r<1第157页，共191页。

例已知分析其因果性和稳定性.

解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图所示。

(1)收敛域a-1<|z|≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题，这是一个因果序列，但不收敛。

(2)收敛域0≤|z|＜a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题，这是一个非因果且不收敛的序列。第158页，共191页。(3)收敛域a<|z|<a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图所示。第159页，共191页。

图例图示第160页，共191页。三.系统频率响应的意义

为了研究离散线性系统对输入频谱的处理作用，有必要研究线性系统对复指数或正弦序列的稳态响应，即系统的频域表示法。对于稳定系统，如果输入序列是一个频率为ω的复正弦序列：x(n)=ejωn

-∞<n<∞

线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，则其输出为：

第161页，共191页。当线性时不变系统输入是频率为ω的复正弦序列时，输出为同频复正弦序列乘以加权函数H(ejω)；H(ejω)描述了复正弦序列通过线性时不变系统后，幅度和相位随频率ω的变化；系统对复正弦序列的响应完全由H(ejω)决定。故称H(ejω)为线性时不变系统的频率响应。第162页，共191页。频率响应的模|H(ejω)|叫做振幅响应（幅度响应）；频率响应的相位arg|H(ejω)|叫做系统的相位响应；系统频率响应H(ejω)存在且连续的条件