2026新教材人教版九年级上册数学25.2.1 配方法 教案（2课时）

第第页2026新教材人教版九年级上册数学25.2.1配方法教案（2课时）第1课时直接开平方法课题25．2.1第1课时直接开平方法授课人教学目标1.理解解一元二次方程“降次”——转化的数学思想.2.会用直接开平方法解形如x²=p或(x+n)²=p或(mx+n)²=p的一元二次方程.3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思维思考现实．教学重点熟练而准确地运用直接开平方法解一元二次方程.教学难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个正方形舞台的边长是多少米呢？【分析】设这个正方形舞台的边长是x米．由题意列方程，得x2＝144.【思考】你会利用平方根的知识解这个方程吗？【解】设这个正方形舞台的边长为x米．由题意，得x2＝144.根据平方根的意义，得x＝±eq\r(144)＝±12，∴原方程的解是x1＝12，x2＝－12.∵边长不能为负数，∴x＝12.即这个正方形舞台的边长是12米．通过上面这道题，我相信很多同学已经知道怎样解一元二次方程了，这节课我们一起来系统探究下怎样解一元二次方程.引入实际问题，帮助学生回忆平方根的定义，并由此引出本节课的学习探究.探究新知用直接开平方法解一元二次方程1.一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体盒子的全部外表面，你能通过列方程算出正方体盒子的棱长吗？师生活动：教师适当引导学生寻找题中等量关系并求解：分析：10个正方体盒子的表面积＝1500dm2.若设其中一个正方体盒子的棱长为xdm，则这个正方体盒子的表面积为6x2dm2，可列方程10×6x2＝1500，化简，得x2＝25，开平方，得x＝±5，原方程有两个解，但棱长为正数，所以x＝5．故正方体盒子的棱长为5dm.结论：这种利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.师生活动：教师指导，学生自主探究，然后讨论、交流，汇总思想，解答问题.请你用直接开平方法解下列方程：①x2＝12；②x2－eq\f(3,4)＝0；③2x2－8＝0；④9x2－5＝3.思考：一元二次方程2x2＋1＝0与1－2x2＝0的解相同吗？为什么？你能总结出ax2＋c＝0型一元二次方程的求解方法吗？归纳：一般地，对于一元二次方程ax2＋c＝0，先将它变形为x2＝p的形式，再利用直接开平方法求解，其中，（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1＝－eq\r(p)，x2＝eq\r(p)；当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；当p＜0时，因为对任意实数x，都有x²≥0，所以方程无实数根．2.思考：(1)类比方程x2＝25的求解方法，你能解方程(x＋3)2＝5吗？试一试．由方程(x＋3)2＝5得，x＋3＝±.∴x1＝－3+，x2＝－3—.对于(x＋n)2＝p型的方程，你能说说它的基本解法吗？师生活动：教师指导，学生通过独立思考，小组合作交流。归纳：运用直接开平方法可以解形如x2＝p或(x＋n)2＝p的一元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”.通过题目引发学生思考，检验学生列式与方程化简的能力.进一步加强学生用直接开方法解方程的能力，让学生直观感受方程的解的三种情况并进行总结.典例精析【例】运用开平方法解下列方程：(1)4x2-3=0；(2)(x＋2)2－9＝0.分析：(1)先把方程化为x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x＋2)2＝9，则x＋2是9的平方根，从而可以运用开平方法求解．【解】(1)移项，并将二次项系数化为1，得x2＝34由此可得x＝±32即x1＝32，x2＝－3(2)移项，得(x＋2)2＝9.由此可得x＋2＝±3.∴x＋2＝3或x＋2＝－3.即x1＝1，x2＝－5.【方法总结】用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数p的形式.只有当p为非负数时，方程才有解.当p>0时，要注意开平方的结果取“正、负”两种情况.【针对训练】解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．【解】由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生对直接开平方法解一元二次方程的能力，发展学生计算能力.随堂检测1．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（）A．x－6＝－4B．x－6＝4C．x＋6＝4D．x＋6＝－4答案：D.2．下列解方程的过程中，正确的是（）A．x2＝－2，解方程，得x＝±2B．(x－2)2＝4，解方程，得x－2＝2，x＝4C．4(x－1)2＝9，解方程，得4(x－1)＝±3，x1＝14，x2＝7D．(2x＋3)2＝25，解方程，得2x＋3＝±5，x1＝1，x2＝－4答案：D.3．填空：（1）方程x2＝0.25的根是___________________．（2）方程2x2＝18的根是________________．（3）方程(2x－1)2＝9的根是_______________．答案：（1）x1＝0.5，x2＝－0.5；（2）x1＝3，x2＝－3；（3）x1＝2，x2＝－1.4．解下列方程：（1）x2－81＝0；（2）2x2＝50；（3）(x＋1)2＝4．答案：（1）x1＝9，x2＝－9．（2）x1＝5，x2＝－5．（3）x1＝1，x2＝－3．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面：学习了直接开平方法，体会“降次”思想，将一元二次方程转化为一元一次方程求解，感受化归与转化的数学方法。2.知识内容层面：掌握直接开平方法的适用条件与步骤，理解形如x2=p，(x+m)2=p（p≥0）的方程解法，归纳可直接开平方的一元二次方程类型。3.概念联系与区别：明确直接开平方法是解一元二次方程的基础方法，适用于缺少一次项或可整理为“完全平方式等于常数”的方程；强调“p≥0”是开平方有实数解的前提，与后续配方法、公式法的逻辑关联。【知识网络】教学说明：教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.巩固所学知识，加深对一元二次方程相关概念的理解.作业布置《课时训练》p3—p4练习题板书设计直接开平方法1.直接开平方法的概念降次思想：二次方程→一次方程2.解题步骤形如x2=p，(x+m)2=p（p≥0）的方程解法.教学反思第2课时配方法课题25．2.1第2课时配方法授课人教学目标1.（2022新课标）理解配方法,能用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤，体会转化的数学思想.3．会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.4.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，会用数学的眼光观察世界．教学重点掌握配方法解一元二次方程.教学难点把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？学生带着问题去学习，引入完全平方公式，并由此引出本节课的学习探究.探究新知用配方法解一元二次方程大家都知道，任何一个能变形为x2＝p或(x＋n)2＝p形式的一元二次方程，都可以用直接开平方法解.我们已经会解(x＋3)2＝5.因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？师生活动：学生先独立思考，再相互交流，最后阐述解法，引出配方法解一元二次方程.(1)探究解一元二次方程：x2＋6x＋4＝0.(2)什么叫配方法？用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤是什么？教师指导学生观察方程x2＋6x＋4＝0与(x＋3)2＝5的区别和联系，找两名学生说出自己的想法．方程(x＋3)2＝5可转换为x2＋6x＋4＝0，根据两个方程之间的联系讨论怎样把方程x2＋6x＋4＝0转化为方程(x＋3)2＝5，并解方程．师生活动：学生思考、讨论，发表意见，进行整理，师生合作写出解答过程：解：移项，得x2＋6x＝－4，(移项要变号)配方，得x2＋6x＋9＝－4＋9，(思考：为什么方程两边加9，添加：一次项系数一半的平方)整理，得(x＋3)2＝5，(方程左边写成完全平方形式)开方，得x＋3＝±eq\r(5)，(利用直接开平方法解方程)所以x1＝eq\r(5)－3，x2＝－eq\r(5)－3.归纳：用配方法解方程的一般步骤：（1）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．（2）要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)（3）方程变形为(x+m)2=n的形式．（4）如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．总结：通过配方成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.练习：①x2＋2x＋__1__＝(x＋__1__)2；②x2－4x＋__4__＝(x－__2__)2；③x2＋__12x__＋36＝(x＋6)2；④x2＋10x＋__25__＝(x＋__5__)2.观察并思考：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？要把一个二次项系数为1的二次三项式变成一个完全平方式，常数项该如何变化？常数项是一次项系数一半的平方．思考：观察方程2x2＋1＝3x，与上面我们所解的方程有什么不同？怎样求解？你能总结出配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤吗？化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．师生活动：先让学生回答这个方程与上面我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上面我们所解的方程类型．总结：配方法解一元二次方程的步骤：移项，二次项系数化为1，配方，开方，降次求解．练习：一元二次方程2x2－4x＋1＝0可配方成(x－1)2＝－eq\f(1,2)＋1后求解.通过问题引发学生思考，引导学生探究.通过问题解决，呈现配方法的过程，总结配方法及其解题步骤.典例精析【例1】(教材p7例2)解下列方程：(1)x2-8x+1＝0；（2）2x2+1=3x；（3）3x2-6x+4＝0，【解】（1）移项得，配方，得，即(x-4)2＝15，由此可得x＝4±，∴x1＝4+，x2＝4-．（2）移项，得2x2﹣3x＝﹣1，二次项系数化为1，得x2，配方，得x2，即（x）2，由此可得x或x，∴x1＝1或x2．（3）移项，得3x2-6x＝-4，二次项系数化为1，得x2-2x＝-，配方，得x2-2x＋1＝-＋1，即（x-1）2＝-，因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)²都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根.【方法总结】一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化为（x+n）²=p的形式，那么就有（1）p＞0时，方程由两个不等的实数根；（2）p=0时，方程由两个相等的实数根；（3）p＜0时，方程无实数根.【针对训练】1.解方程：(1)x2－x－eq\f(7,4)＝0；(2)3x2＋6x－4＝0；【解】(1)移项，得x2－x＝eq\f(7,4).配方，得x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,4)＋eq\f(1,4)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝2.∴x－eq\f(1,2)＝±eq\r(2)，x1＝eq\f(1,2)＋eq\r(2)，x2＝eq\f(1,2)－eq\r(2).(2)移项，得3x2＋6x＝4.系数化为1，得x2＋2x＝eq\f(4,3).配方，得x2＋2x＋1＝eq\f(4,3)＋1，即(x＋1)2＝eq\f(7,3).∴x＋1＝±eq\f(\r(21),3)，x1＝－1＋eq\f(\r(21),3)，x2＝－1－eq\f(\r(21),3).【例2】用配方法求最值.(1)2x2－4x＋5的最小值；；(2)－3x2＋6x－7的最大值．【解】(1)原式＝2(x－1)2＋3．当x＝1时，有最小值3．（2）原式＝－3(x－1)2－4．当x＝1时，有最大值－4．【方法总结】ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数)型代数式求最值或证明恒为正（负）等问题时，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x＋m)2＋n的形式来解决．师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生对利用配方法解一元二次方程的能力，发展学生计算能力.随堂检测1．方程x2－4＝0的解是（）A．x＝2B．x＝－2C．x＝±2D．x＝±4答案：C.2．方程2x2－3m－x＋m2＋2＝0有一根为x＝0，则m的值为（）A．1B．1C．1或2D．1或－2答案：C.3．解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8．解：方程化简，得x2＋2x＋5＝8．移项，得x2＋2x＝3．配方，得x2＋2x＋1＝3＋1，即(x＋1)2＝4．开平方，得x＋1＝±2．解得x1＝1，x2＝－3．4．用配方法解x2－4x＝1．解：配方，得x2－4x＋(－2)2＝1＋(－2)2，即(x－2)2＝5．