2025-2026学年河南省安阳市文峰区、林州市普通高中高一下册期中考试（人教A卷）数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，是原点，，表示的复数分别为，，则线段中点的坐标为（）A. B. C. D.2.已知复数，则的虚部为（）A.3 B. C. D.3.关于水平放置的平面图形用斜二测画法绘制其直观图，下列说法正确的是（）A.平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的倍B.通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等C.平行四边形的直观图仍是平行四边形D.相等的角在直观图中仍然相等4.已知复数（），则的最小值为（）A. B. C.10 D.205.在平面内，某物体在三个力，，作用下恰好处于平衡状态，其中，，现用的力作用在该物体上，使该物体从点移动到点，则力对该物体做的功为（）A. B. C.7 D.226.已知复数，，若实数满足，则的最大值为（）A.5 B.32 C.39 D.647.如图，在平面直角坐标系中，放置一个，，，三个顶点都在坐标轴上，的中点与坐标原点重合，则在对应的斜二测坐标系下（），的直观图的周长为（）A. B. C. D.8.在梯形中，，，点为对角线与的交点，线段上的点满足，若，则（）A. B. C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.棱柱的侧面一定是平行四边形B.棱台的侧面一定不是平行四边形C.棱锥的侧面是全等的三角形D.圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形10.已知，为非零向量，下列能使成立的充分条件是（）A.把和的起点重合，将绕起点逆时针旋转后所得向量与共线B.在中，，，满足C.在中，，，满足的面积等于D.对于任意实数，的最小值恰好等于11.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则是钝角三角形C.若，则 D.若，则为钝角三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一个半径为的球与一个底面半径为的圆柱体积相等，则圆柱的高为______.13.若是关于的方程（，均为实数）的一个复数根，则______.14.已知向量在向量上的投影向量为，，则______；______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数（，为虚数单位）在复平面内对应的向量为，为坐标原点，点，.（1）当时，求；（2）若向量，求实数的值.16.已知向量，满足，，且与的夹角为.（1）求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.17.已知复数，为正实数.（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限内，求的取值范围；（3）是否存在，使得复数在复平面内对应的点落在直线上？并说明理由.18.一个组合体由下部的正六棱柱和上部的圆锥拼接而成，圆锥的底面圆恰好是正六棱柱上底面的内切圆.其中正六棱柱的底面边长为2，高为2，圆锥的高为3.（1）求圆锥的底面半径及母线长；（2）求该组合体的体积；（3）求该组合体的表面积.19.已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，.（1）若，求实数的值；（2）若，求的取值范围；（3）若为锐角三角形，且该三角形的面积为9，边的长度是否可以为？并说明理由.数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，是原点，，表示的复数分别为，，则线段中点的坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得，，由中点坐标公式得线段中点的坐标为.2.已知复数，则的虚部为（）A.3 B. C. D.答案：B解析：解答过程：，故，的虚部为.3.关于水平放置的平面图形用斜二测画法绘制其直观图，下列说法正确的是（）A.平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的倍B.通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等C.平行四边形的直观图仍是平行四边形D.相等的角在直观图中仍然相等答案：C解析：解答过程：对选项A，对于斜二测画法，平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的，故A错误；对选项B，直观图的面积是原图面积的，故B错误；对选项C，斜二测画法的核心是平行关系保持不变.原平行四边形的对边平行，因此直观图的对边仍平行，故仍是平行四边形，故C正确；对选项D，不妨以水平放置的正方形为例，其直观图直角变为或，故D错误.4.已知复数（），则的最小值为（）A. B. C.10 D.20答案：A解析：解答过程：由，当时，取得最小值.5.在平面内，某物体在三个力，，作用下恰好处于平衡状态，其中，，现用的力作用在该物体上，使该物体从点移动到点，则力对该物体做的功为（）A. B. C.7 D.22答案：A解析：思路：应用向量加减法的坐标运算，再应用数量积坐标公式计算求解.解答过程：因为，所以，则，又，力对该物体做的功为.6.已知复数，，若实数满足，则的最大值为（）A.5 B.32 C.39 D.64答案：B解析：思路：根据复数的运算法则求出，得到，根据已知条件列不等式组求解即可.解答过程：由题意可得：，因为，可得，解得，所以实数的最大值为32.7.如图，在平面直角坐标系中，放置一个，，，三个顶点都在坐标轴上，的中点与坐标原点重合，则在对应的斜二测坐标系下（），的直观图的周长为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：依题意，，设用斜二测画法作出的直观图为，如图：则，，，，由余弦定理得，，所得直观图的周长为.8.在梯形中，，，点为对角线与的交点，线段上的点满足，若，则（）A. B. C.1 D.2答案：D解析：解答过程：由可得，所以，故，则，又点在线段上，设，，则，所以解得此时点与点重合，所以，解得，，故.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.棱柱的侧面一定是平行四边形B.棱台的侧面一定不是平行四边形C.棱锥的侧面是全等的三角形D.圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形答案：AB解析：思路：利用棱柱，棱台，棱锥和圆柱的定义和结构特征逐一判断选项即可.解答过程：对于A，由棱柱的结构特征知，其侧面都是平行四边形，故A正确；对于B，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确；对于C，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，故C错误；对于D，因圆柱的母线垂直于两底面，故圆柱的侧面沿一条母线展开得到的一定是一个矩形，故D错误.10.已知，为非零向量，下列能使成立的充分条件是（）A.把和的起点重合，将绕起点逆时针旋转后所得向量与共线B.在中，，，满足C.在中，，，满足的面积等于D.对于任意实数，的最小值恰好等于答案：ABD解析：思路：根据向量的模，数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解.解答过程：对于A中，因为，所以把和的起点重合，将绕起点逆时针旋转后所得向量与共线，所以A正确；对于B中，因为，则以，为邻边的平行四边形对角线相等，以，为邻边的平行四边形为矩形，所以B正确；对于C中，的面积为，又，得，整理得，故或，所以C错误；对于D中，对于任意实数，的最小值恰好等于，即对于任意实数，的最小值恰好等于，因为，对于任意实数，此表达式的最小值为，所以，整理得，故，所以D正确.11.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则是钝角三角形C.若，则 D.若，则为钝角三角形答案：ABD解析：思路：选项，利用正弦定理和三角形边角关系，即可作出判断；选项，利用平面向量数量积定义，可得夹角的余弦值的正负，对三角形形状作出判断；选项和选项，主要为二倍角和余弦定理的综合应用，先化简再利用余弦定理进行判断.解答过程：对于选项，因为，根据大角对大边，可得，由正弦定理得，故正确；对于选项，因为，所以而，可得，可知为钝角，所以为钝角三角形，故B正确；对于选项，由，得，即，由余弦定理得，整理得，所以，又因为大边对大角，则，故错误；对于选项，因为，，所以，整理得，由正弦定理得，即，由余弦定理得，所以为钝角，则为钝角三角形，故正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一个半径为的球与一个底面半径为的圆柱体积相等，则圆柱的高为______.答案：##解析：解答过程：设圆柱的高为，则，，由，解得.13.若是关于的方程（，均为实数）的一个复数根，则______.答案：3解析：思路：由题意可得，两个复数根为和，由韦达定理求解即可.解答过程：由题意得关于的方程的两个复数根为和，由韦达定理得，，得，故.14.已知向量在向量上的投影向量为，，则______；______.答案：①.##②.108解析：思路：（1）由投影向量定义求解即可.（2）由向量的数量积求解即可.解答过程：因为，所以，又因为，所以，又，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数（，为虚数单位）在复平面内对应的向量为，为坐标原点，点，.（1）当时，求；（2）若向量，求实数的值.答案：（1）（2）或2解析：（1）依题意有，，当时，，则，故.（2）若向量，则，整理得，解得或2.16.已知向量，满足，，且与的夹角为.（1）求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.答案：（1）6（2）解析：（1）.（2）向量与的夹角为锐角需满足，且向量与不共线，即，由（1）有，所以，由得，所以的取值范围为.17.已知复数，为正实数.（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限内，求的取值范围；（3）是否存在，使得复数在复平面内对应的点落在直线上？并说明理由.答案：（1）（2）（3）存在，理由见解析解析：思路：（1）由复数为纯虚数求解即可.（2）由复数在复平面内对应的点位于第三象限内即可求解.（3）假设复数在复平面内对应的点落在直线上由此求解.（1）要使复数为纯虚数，需满足解得，即当时，是纯虚数.（2）由在复平面内对应的点在第三象限，可得，解得，即的取值范围为.（3）存在.若在复平面内对应的点在直线上，则，即，令，因为在区间上单调递增，且，，故在区间上存在唯一的，使得.因此，存在使得复数在复平面内对应的点落在直线上.18.一个组合体由下部的正六棱柱和上部的圆锥拼接而成，圆锥的底面圆恰好是正六棱柱上底面的内切圆.其中正六棱柱的底面边长为2，高为2，圆锥的高为3.（1）求圆锥的底面半径及母线长；（2）求该组合体的体积；（3）求该组合体的表面积.答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据正六边形的内切圆半径即可求得圆锥的底面半径，再利用圆锥的高求得母线即可；（2）分别利用棱柱和圆锥的体积公式计算正六棱柱和圆锥的体积即可；（3）分别利用面积公式计算组合体每个面的面积即可.（1）正六边形的内切圆半径（边心距）为，即圆锥的底面半径为，圆锥的高，则母线长.（2）该组合体的体积＝正六棱柱的体积+圆锥的体积，①正六棱柱的体积；②圆锥的体积.该组合体的体积.（3）该组合体的表面积=正六棱柱的侧面积+正六棱柱的下底面面积+圆锥的侧面积+正六边形的面积与内切圆的面积之差，①正六棱柱的侧面积；②正六棱柱的下底面面积；③圆锥的侧面积.④；该组合体的表面积.19.已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，.（1）若，求实数的值；（2）若，求的取值范围；（3）若为锐角三角形，且该三角形的面积为9，边的长度是否可以为？并说明理由.答案：（1）（2）（3）因为，所以的长度是不可以为.解析：思路：（1）对等式变形可得，利用正弦定理边化角即可求解；（2）首先根据三角形任意两边之和大于第三边结合求出的范围，然后利用对勾函数的性质即可求解；（3）首先根据锐角三角形