2025-2026学年江苏省南通市如东县高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A.5种 B.60种 C.120种 D.243种2.已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，且，，则线性相关程度最强的是（）A.甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组3.某足球联赛共有13支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为（）A. B. C. D.4.某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%．而各自的产品中废品率分别为3%，2%．则该厂这种零件的废品率是（）A.1% B.1.45% C.2.45% D.5%5.设，则（）A. B. C. D.6.已知随机变量分布，则其方差的最大值是（）A. B. C. D.7.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.8.将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为，则（）x0134y2.24.34.8mA.B.该经验回归直线必过C.变量x，y呈正相关D.可预测当时，y约为10.已知随机事件，且，，，则（）A. B.C. D.11.“算两次”是指将一个量用两种方法分别算一次，由结果相等得到等式，这是一种非常有用的思想方法．如由等式知左右两侧含项的系数相等．则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中含项的系数是______.13.已知，，则___________．14.某公司团建活动中，5人围成一圈进行击鼓传花游戏，规定先由甲将花传出，每次传花时传花者等可能地传给左右相邻的人，则经过10次传花后花在甲手中的概率是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病原菌，其结果列于下表．

发病没发病合计接种a2730没接种17b30合计204060（1）求；（2）问：能否有90%的把握认为疫苗有效？附：，其中．0.10.010.0012.7066.63510.82816.在的展开式中，前3项的系数成等差数列．（1）求展开式中的所有项的二项式系数和；（2）在展开式中所有项中任取2项，求这2项均为有理项（的指数为整数的项）的概率．17.假设某射手每次射击命中目标的概率为．现有5发子弹，该射手射中目标2次就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为．（1）求；（2）在的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率；（3）求的概率分布和期望．18.为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为．（1）若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和；（2）求使得最大的的值．19.为了研究一种新型电子元件的稳定性，工程师对其进行压力测试．已知该元件在单次测试中正常工作的概率是，且每次测试的结果相互独立．（1）若，现对该元件进行3次测试，记正常工作的次数为，求的分布列；（2）一个测试序列由连续测试组成，直到元件首次出现故障为止．设为该序列中元件正常工作的次数，定义“稳定指数”为且，求的期望；（3）现对两个相同的元件同时进行测试，每轮对各进行一次测试．记为首次出现“恰好一个元件正常工作”总共进行的测试轮数，若，求．参考公式：若，则．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A.5种 B.60种 C.120种 D.243种答案：D解析：思路：根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得.解答过程：5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则每人有三种选择，则不同的报名方式有种.2.已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，且，，则线性相关程度最强的是（）A.甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组答案：A解析：解答过程：由题意可知，所以，因为，所以，则，所以最大，根据相关系数概念可知，线性相关程度最强的是甲.3.某足球联赛共有13支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由于任何两队间进行次主场比赛与次客场比赛，所以一场比赛相当于从个不同元素中任取个元素的一个排列．因此总共进行的比赛场次是．4.某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%．而各自的产品中废品率分别为3%，2%．则该厂这种零件的废品率是（）A.1% B.1.45% C.2.45% D.5%答案：C解析：解答过程：记事件为零件为废品，事件为甲机器生产的产品，事件为乙机器生产的产品．则．5.设，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：令，得，令，得，所以．6.已知随机变量分布，则其方差的最大值是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由随机变量分布，设，，则此分布列的期望，再由方差公式可得：

，根据二次函数的性质可知：当时​，取到最大值，即.7.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由正态分布的对称性即可求解.解答过程：由，可知其对称轴为：，又，由对称性可知：8.将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意得出的所有可能取值为，根据涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的小正方体的个数，计算取每个值时的概率，从而求出的值．解答过程：的所有可能取值为，涂3面油漆的小正方体有8个；涂2面油漆的小正方体有12个；涂1面油漆的小正方体有6个；涂0面油漆的小正方体有1个；则，，，，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为，则（）x0134y2.24.34.8mA.B.该经验回归直线必过C.变量x，y呈正相关D.可预测当时，y约为答案：ACD解析：思路：根据回归直线必过样本中心点求解的值，结合回归直线方程的性质依次判断选项即可.解答过程：由题可得：，，所以,解得：,故A正确；回归直线必过样本中心点为，故B错误；由于,所以变量x，y呈正相关，故C正确；当时，，故D正确10.已知随机事件，且，，，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用条件概率公式先求出，再结合概率加法公式、对立事件概率公式逐一计算各选项的概率，判断正误.解答过程：对于A

：根据条件概率公式

，得​，A正确；对于B：根据概率加法公式

，得：​，B正确；对于C：​，C错误；对于D：

根据对立事件概率，​，因此

​，D正确.11.“算两次”是指将一个量用两种方法分别算一次，由结果相等得到等式，这是一种非常有用的思想方法．如由等式知左右两侧含项的系数相等．则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：对A，根据排列数的阶乘定义展开化简左边，整理后与右边对比，即可验证；对B，利用题目给出的算两次思想，对等式，比较两边的系数，即可验证；对C，对，比较两边的系数即可验证；对D，先利用组合数性质化简右侧求和式，再结合选项C结论对系数算两次，即可推导验证.解答过程：对于A：左边​，右边，显然不相等，A错误；对于B：对等式，比较两边的系数：右边的系数为​；左边的系数为，由组合性质，因此系数可化为，等式成立，B正确；对于C：对，比较两边的系数：右边系数为；左边系数为，等式成立，C正确；对于D：利用组合恒等式​化简右侧求和：

(令

j=i−1,得)由选项C公式，，代入得：

等式成立，故D

正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中含项的系数是______.答案：240解析：思路：先对二项式因式分解，分别写出展开式的通项，令的指数为

1

，求出参数的值，代入通项即可得解.解答过程：因为

，

的展开式通项为

，

的展开式通项为

，其中

，所以

的展开式通项为

，由

，可得

或

，因此，展开式中含

x

项的系数为

.故13.已知，，则___________．答案：解析：思路：本题考查线性回归方程，代入公式即可求解.解答过程：由于，所以所以，又所以,故.14.某公司团建活动中，5人围成一圈进行击鼓传花游戏，规定先由甲将花传出，每次传花时传花者等可能地传给左右相邻的人，则经过10次传花后花在甲手中的概率是___________．答案：解析：思路：设经过次传花后花在甲手中的概率是，则由题意可得，结合，，逐项计算即可得；也可求出通项公式，结合因式分解等计算技巧计算即可得.解答过程：假设与甲左右相邻的人分别为乙、丙，不相邻的两人分别为丁、戊，设经过次传花后花在甲手中的概率是，经过次传花后花在乙或丙手中的概率是，则经过次传花后花在丁或戊手中的概率是，则有，，由，则，故，整理得，法一：由题意可得，，则，，，，，，，，，故经过10次传花后花在甲手中的概率是.法二：由，则，令，解得，，则可设，又，，则，解得，故，即，则，由，，则，，则，，，则，故，故经过10次传花后花在甲手中的概率是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病原菌，其结果列于下表．

发病没发病合计接种a2730没接种17b30合计204060（1）求；（2）问：能否有90%的把握认为疫苗有效？附：，其中．0.10.010.0012.7066.63510.828答案：（1），；（2）有90%的把握．解析：思路：（1）根据列联表已知数据分析可得；（2）根据题设列联表求卡方值，将其与小概率对应的临界值比较，即可判断是否有的把握认为疫苗有效.（1），．（2）零假设：接种疫苗与发病相互独立，即接种疫苗对预防发病无效，由列联表知：，根据小概率的独立性检验，有充分证据推断出不成立，故有90%的把握认为疫苗有效．16.在的展开式中，前3项的系数成等差数列．（1）求展开式中的所有项的二项式系数和；（2）在展开式中所有项中任取2项，求这2项均为有理项（的指数为整数的项）的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用二项式通项写出前三项系数，根据等差数列中项性质列方程求出的值，再由二项式系数和公式直接算出结果，完成第一问求解.（2）先根据写出通项,由有理项要求的指数为整数筛选出偶数得到有理项个数，再用组合数分别求出总取法数和有理项取两项的方法数，作比值即可得到概率.（1）展开式通项为：，其中.展开式前3项系数分别为：时，系数为；时，系数为；时，系数为.由前3项系数成等差数列，得，整理得.解得或（舍去），二项式系数和为.（2）时，通项为，.有理项要求为整数，即为偶数，故，共5项有理项；展开式总项数为项.从9项中任取2项的总组合数：；从5项有理项中任取2项的组合数：；所求概率.17.假设某射手每次射击命中目标的概率为．现有5发子弹，该射手射中目标2次就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为．（1）求；（2）在的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率；（3）求的概率分布和期望．答案：（1）（2）（3）分布列见解析，解析：思路：（1）利用独立事件乘法公式求概率即可；（2）利用条件概率公式求解即可；（3）利用分布列来求解期望.（1）前2次命中目标1次，第3次命中目标，则（2）前3次命中目标1次，第4次命中目标，则．记该射手第2次射击射中目标为事件，耗用子弹数为4为事件，则．所以．（3），，，．所以．18.为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为．（1）若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和；（2）求使得最大的的值．答案：（1），（2）在时取得最大值．解析：思路：（1）根据超几何分布进行直接求解即可；（2）易知，再根据函数单调性解不等式可得当时