2025-2026学年河南商丘市商师联盟高一下册4月期中数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B.8 C. D.92.已知向量，若，则（）A.-3 B.0 C.3 D.43.在中，，则（）A. B. C. D.4.如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（）A. B. C. D.5.已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（）A.3 B.7 C.9 D.216.已知复数满足（i为虚数单位），则（）A.1 B. C.i D.7.若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.8.如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（）参考数据.A.米 B.米 C.300米 D.米二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.正四棱柱的侧面都是正方形B.棱台的侧棱延长后交于一点C.正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形D.四面体的每个侧面都是等边三角形10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，，，则有两解D.若的面积为S，且，则11.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（）A.若，则 B.C.若，则 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______.13.在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．14.如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________.15.设，复数.（1）若复数是纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在中，角、、的对边分别为、、，且.（1）求的大小；（2）已知，证明：是等腰三角形.17.如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体.（1）当时，求该艺术品的体积；（2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？18.如图，在梯形中，，，，为的中点，.（1）用向量和表示；（2）若，求的值；（3）若，当为何值时，最小?19.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围；（3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B.8 C. D.9答案：C解析：解答过程：，所以复数的虚部为.2.已知向量，若，则（）A.-3 B.0 C.3 D.4答案：A解析：解答过程：由，得，解得.3.在中，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用正弦定理即可求解.解答过程：因为，所以，又因为，所以，所以.4.如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：根据斜二测画法可知，，又，所以，所以5.已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（）A.3 B.7 C.9 D.21答案：B解析：思路：根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解.解答过程：由棱台的体积公式，可得.故选：B.6.已知复数满足（i为虚数单位），则（）A.1 B. C.i D.答案：D解析：思路：根据的计算公式化简求，再化简求.解答过程：因为，所以，所以，所以.7.若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用数量积来计算投影向量即可.解答过程：因为，，由可得：，以向量在向量上的投影向量为．故选：C．8.如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（）参考数据.A.米 B.米 C.300米 D.米答案：A解析：解答过程：由题可知，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又，两式相加，得，即，解得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.正四棱柱的侧面都是正方形B.棱台的侧棱延长后交于一点C.正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形D.四面体的每个侧面都是等边三角形答案：BC解析：思路：根据棱锥，棱柱，棱台的定义和性质判断选项.解答过程：正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误；用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确；正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确；四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误.10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，，，则有两解D.若的面积为S，且，则答案：AD解析：思路：根据余弦定理和正弦定理和面积公式，判断选项.解答过程：对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确；对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误；对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误；对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确.11.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（）A.若，则 B.C.若，则 D.答案：BCD解析：思路：根据复数和向量的对应关系，结合复数模的计算公式，判断选项.解答过程：取，，则，显然，不能比较大小，A错误；在BCD中，设，，则，，，所以，B正确；由，得，得，所以，C正确；，，，又，所以，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______.答案：或解析：思路：求出，根据“与共线的单位向量为”可求得结果.解答过程：与共线的单位向量为，且，所以与共线的单位向量为或.13.在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．答案：解析：解答过程：此题最适合的方法是特例法．假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝．cos∠BAC＝．＝14.如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________.答案：解析：解答过程：依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接，则线段就是绳的最短长度，此时，由，得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为.15.设，复数.（1）若复数是纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据纯虚数的概念列出方程求解即可；（2）根据复数对应的点在第二象限，列出不等式组求解.（1）因为，又复数是纯虚数，所以，解得.（2）复数z在复平面内对应的点为，又复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以解得，即实数m的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在中，角、、的对边分别为、、，且.（1）求的大小；（2）已知，证明：是等腰三角形.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）由正弦定理得出，结合余弦定理可得出，即可证得结论成立.（1）在中，由及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又，所以.（2）由及正弦定理得，由（1）知，所以，即，所以是等腰三角形.17.如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体.（1）当时，求该艺术品的体积；（2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？答案：（1）（2）解析：思路：（1）先求出圆柱的半径，然后求出体积.（2）利用圆柱的侧面积公式列出侧面积表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值.（1）当时，设圆柱的半径为，则，解得，此时该艺术品的体积为.（2）设圆柱的半径为，则，解得，要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可，，当时，取得最大值，故当时，该艺术品的表面积最大.18.如图，在梯形中，，，，为的中点，.（1）用向量和表示；（2）若，求的值；（3）若，当为何值时，最小?答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据平面向量基本定理，用基底表示向量即可；（2）根据向量的线性运算，用基底表示向量，列出方程，求出参数值；（3）根据向量模的计算方法，以及二次函数最值情况，求出最小值即可.（1）过C作交于F，如图，因为，所以，，则四边形是平行四边形，故，即是的中点，所以.（2）因为，所以，所以.又因为，所以，解得，.（3）因为，，，所以，所以当，即时，取得最小值.所以的最小值为，此时.19.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围；（3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值.答案：（1）（2）（3）.解析：思路：（1）根据的具体表达式，结合正弦定理边化角化简已知等式，建立关于角A的方程，进而求解角；（2）先利用正弦定理将边a、c用角B、C表示，结合锐角三角形的条件确定B的取值范围；将三角形周长转化为关于B的三角函数，再根据三角函数的性质求取值范围；（3）可设，利用三角形内角和