2025-2026学年湖北武汉市黄陂区第六中学高二下册期中训练题数学试题 含解析

/数学第一部分（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列满足（），且，则数列的前6项之和为（）A.12 B.32 C.36 D.722.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.3.育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（）A.80种 B.90种 C.100种 D.120种4.二项式展开式中含的项是（）A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项5.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为．若关于的不等式恒成立，则实数的最大整数为（）A.28 B.29 C.30 D.326.已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是A. B. C. D.7.设满足，则（）A.120 B. C.40 D.8.若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若m，n为正整数且，则（）A. B.C. D.10.设，函数，则下列说法正确的有（）A.当时，函数为增函数 B.点为函数图象的对称中心C.存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D.函数至少有一个零点11.（多选题）已知数列的前项和为，，，则（）A.数列是递减数列 B.数列可以是等比数列C. D.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将由1，2，3，4，5组成的无重复数字的5位正整数按从小到大的顺序排列，则32154是第______个数．13.已知数列的前项和为，且，，，则______．14.已知函数，若方程有三个相异的实根，则实数的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队.（1）若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？（2）学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？（3）比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？16.已知，且.（1）求的值；（2）若时，求被4整除的余数.17.已知函数.（1）求曲线的斜率等于的切线方程：（2）求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值.18.正项数列中，已知，．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和；（3）若不等式对都成立，求的取值范围．19.已知函数.（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若不等式对任意都成立（其中是自然对数的底数），求实数a的取值范围.

数学第一部分（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列满足（），且，则数列的前6项之和为（）A.12 B.32 C.36 D.72答案：C解析：思路：由题意可得数列是等差数列，利用等差数列性质计算即可得.解答过程：由数列满足，故数列是等差数列，则，故数列的前6项之和.2.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：借助基本初等函数的导数公式计算即可得.解答过程：，则.3.育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（）A.80种 B.90种 C.100种 D.120种答案：C解析：解答过程：将5名同学按和分组分别有种和种分法，再将含有同学甲的一组安排到或服务点，最后安排另两组，安排方法有种，所以不同的安排方法共有种.4.二项式展开式中含的项是（）A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项答案：B解析：解答过程：由题设，二项式的展开式通项为，，令，可得，故含的项是第8项.5.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为．若关于的不等式恒成立，则实数的最大整数为（）A.28 B.29 C.30 D.32答案：C解析：思路：先求出和，然后参变分离求出的范围，即可得.解答过程：由题意，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，所以，，由，得，整理得对任意，且恒成立.又，当且仅当，即时等号成立，所以，即实数的最大整数为.6.已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可解答过程：由题,,因为,则若函数在区间存在单调递减区间,即在上有解,即存在,使得成立,设,则,当时,,所以,即,故选:B方法提示：本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想7.设满足，则（）A.120 B. C.40 D.答案：A解析：思路：利用赋值法令可计算得出，再令求出，构造方程组计算可得.解答过程：因为，令，即可得，令，即可得，可得，所以；令，即可得，得，得，所以.故选：A.8.若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设公切线与、的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数的取值范围．解答过程：设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，因为，，则，化简可得，得或，，且，，则，即，且，设，则，则时，时，在上单调递增，在上单调递减，，综上，实数的取值范围为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若m，n为正整数且，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断.解答过程：对A：由组合数性质：可知，A正确；对B：，故B错误；对C：，，左右两边不相等，故C错误；对D：，故D正确.故选：AD10.设，函数，则下列说法正确的有（）A.当时，函数为增函数 B.点为函数图象的对称中心C.存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D.函数至少有一个零点答案：BD解析：思路：根据可判断B，利用导函数的性质与图象，结合零点存在性定理可判断ACD.解答过程：由题意，，，因为对，有，所以点为函数图象的对称中心，故B正确；函数的导函数，，①当时，恒成立，此时函数是上的减函数，则函数没有极值点，又，，所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点；②当时，，则方程有唯一解，当时，，当时，，所以函数是上的减函数，则函数没有极值点，又，，所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点；③当时，由，得，即，因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，此时，函数有两个极值点，又时，，时，，所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点；综上所述，当时，函数为减函数，故A错误，当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确；故选：BD.11.（多选题）已知数列的前项和为，，，则（）A.数列是递减数列 B.数列可以是等比数列C. D.答案：ACD解析：思路：根据已知条件求得，数列是递减数列判断A、C，假设是等比数列，求得矛盾判断B，化为，利用累加法判断D.解答过程：因为，整理有，又，由此可得，对于A选项，因为，所以数列为递减数列，所以A正确；对于B选项，若是等比数列，则由可知为定值，又因为，所以，所以，即，与矛盾，所以数列不可以是等比数列，所以B错误；对于C，因为，且为递减数列，又，所以，所以C正确；对于D，由，，两边取倒数有，整理有：，即，，，，累加得：，即，又，所以，整理得：，所以D正确.故选：ACD方法提示：关键点点睛：本题关键在于对已知条件变形、分析，得到数列的性质.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将由1，2，3，4，5组成的无重复数字的5位正整数按从小到大的顺序排列，则32154是第______个数．答案：解析：思路：应用排列数及分类讨论求出小于等于所有无重复数字的5位正整数的个数，即可得.解答过程：当万位数是1或2时，共有个，当万位数是3，若千位数是1时，有个，若千位数是2，百位数是1时，有个，分别为，综上，32154是第个数.13.已知数列的前项和为，且，，，则______．答案：解析：思路：先通过递推公式构造等比数列求出通项，再利用分组求和与等比数列的求和公式即可求解.解答过程：因为，，所以，又因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列，即，所以，所以.14.已知函数，若方程有三个相异的实根，则实数的取值范围为______．答案：解析：思路：利用导数以及二次函数的性质，可得函数的单调区间，并作图，根据方程与函数的关系，可得答案.解答过程：当时，，求导可得，令，解得，当时，；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，且时恒成立，时，，当时，，易知在上单调递增，在上单调递减，函数大致图象如下：由方程存在三个根，等价于直线与函数的图象存在三个交点，由图知.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队.（1）若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？（2）学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？（3）比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？答案：（1）210（2）2100（3）259200解析：思路：（1）将11个名额看成11个相同的小球，排成一排后，有10个空位，利用隔板法分析可得答案；（2）根据题意，由平均分组和不平均分组公式分析可得答案；（3）根据题意相邻元素捆绑，不相邻元素插空法，由分步计数原理计算可得答案．（1）将校足球队的个名额分到7个班级，每个班级至少个名额，问题等价于将个完全相同的小球分7组，每组至少一个小球，由隔板法可知，不同的分配方法种数为．（2）将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人，则不同的方法种数为种.（3）将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排，然后将、、、四人进行插空，所以，不同的排法种数为种．16.已知，且.（1）求的值；（2）若时，求被4整除的余数.答案：（1）（2）3解析：思路：（1）根据已知组合数及排列数计算得出，再求导函数结合赋值法求值；（2）应用二项式计算得出余数.（1）∵，∴，∴又∵，∴，∴.两边同时求导数∴，令，∴.（2）时，，∴被4整除的余数为3.17.已知函数.（1）求曲线的斜率等于的切线方程：（2）求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出函数的导函数，设切点坐标为，利用导数的几何意义求出，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）先求出三角形的面积表达式，利用导数可求最小值.（1）因为，所以，设切点坐标为，则，解得，所以切点坐标为，可得切线方程为，即.（2）由，曲线在点处的切线方程为，令，得，令，得，所以，，所以，由得，由得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.18.正项数列中，已知，．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和；（3）若不等式对都成立，求的取值范围．答案：（1）证明见解析（2）（3）