2025-2026学年吉林吉林市松花江中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设是可导函数，且，则（）A.2 B. C.-1 D.-22.已知随机变量X的分布规律为（），则（）A. B. C. D.3.某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（）A.72 B.54 C.48 D.364.若，则（

）A. B.41 C. D.825.已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.6.若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.的解集为B.函数有2个极值点C.函数的单调递增区间为D.是函数的极小值点7.已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（）A.B.展开式中无常数项C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大D.展开式的各项系数之和是10.下列说法正确的是（）A.设随机变量服从二项分布，则B.已知随机变量服从正态分布，且，则C.甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是D.，11.已知，则（）A. B. C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数是的导函数，则__________.13.已知直线是曲线和的公切线，则的值为_____.14.甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则________．四、解答题(本题共5小题，共77分．15题每题13分，16-17题15分18-19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数在时取得极值13.（1）求，的值；（2）求在上的最大值和最小值.16.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．17.已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.（1）求切线的方程；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.18.DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．19.泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数．（1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值；（2）设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中.某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算．（i）若，求产品中恰有2件次品的概率；（ii）求使得最大时的值．（参考数据：；若，则有，，）

数学一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设是可导函数，且，则（）A.2 B. C.-1 D.-2答案：B解析：解答过程：，即.2.已知随机变量X的分布规律为（），则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用分布列的性质求出，进而可得出答案.解答过程：因为随机变量X的分布规律为（），所以，解得，所以.故选：A.3.某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（）A.72 B.54 C.48 D.36答案：D解析：思路：根据分组分配及分步计算原理，先将4人分成3组，再分配到3个实验室可解.解答过程：将4名研究生助理分成3组，有种方法，再将3个组分配到3个实验室有种方法.故选：D.4.若，则（

）A. B.41 C. D.82答案：B解析：思路：赋值法得到，，进而可得.解答过程：设，则，，，故选：B5.已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用条件概率和全概率的计算公式，求出各选项中的概率值，然后判断正误.解答过程：由题意：，，.所以..又事件、为对立事件，所以.故选：C6.若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.的解集为B.函数有2个极值点C.函数的单调递增区间为D.是函数的极小值点答案：D解析：思路：由图可得的单调性，即可得其导数正负，即可得A；由图可得的正负，即可得单调性，从而可得B、C、D.解答过程：对A：由图可得，在、上单调递增，在上单调递减，故的解集为，故A错误；对B、C、D：由图可得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故函数有且仅有一个极小值点，故B、C错误，D正确.7.已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离后得到在上有解，利用配方求出，得到实数的取值范围.解答过程：的定义域为，由题意得在上有解，即在上有解，其中，故，故实数的取值范围是.故选：B8.已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得.解答过程：由题意，在上的最大值不大于在上的最大值.对：因为，所以，由，所以函数在上单调递增，又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为.对：当时，，因为，故满足题意；当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为，由.所以；当时，在上单调递减，所以在上的最大值为，由，结合得.综上可知，实数的取值范围为.二、选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（）A.B.展开式中无常数项C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大D.展开式的各项系数之和是答案：ABC解析：思路：利用二项式系数和公式可先得判定A，利用通项公式可判定B，利用二项式系数的性质可判定C，利用赋值法可判定D.解答过程：由题意可知，则，故A正确；设展开式的通项为，显然无整数解，故B正确.因为，所以由二项式系数的性质可知中间两项二项式系数最大，即第4、5项二项式系数最大，分别为，故C正确；令，则，故D错误；故选：ABC.10.下列说法正确的是（）A.设随机变量服从二项分布，则B.已知随机变量服从正态分布，且，则C.甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是D.，答案：ABC解析：思路：对于选项A：直接利用二项分布的概率公式即可求解；对于选项B：利用正态曲线的对称性直接求解；对于选项C：设事件A为至少有1个景点未被选择，事件为恰有2个景点未被选择，分别求出，，利用条件概率即可求解；对于选项D：利用期望和方差的性质直接求解.解答过程：对于选项A：若随机变量服从二项分布，则，正确；对于选项B：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是直线.因为，所以，∴，正确；对于选项C：设事件A为至少有1个景点未被选择，事件为恰有2个景点未被选择，则，，∴，正确；对于选项D：，，不正确．故选：ABC．11.已知，则（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：移项可得，，根据函数的单调性可得，再根据指对幂函数的单调性即可判断各选项的真假．解答过程：由题可得，，设，，所以，即函数在上递增，所以由可得：．对于A，由函数在上递减，所以当时，，A错误；对于B，易知函数在上递增，所以当时，，即，B正确；对于C，当时，若，则，C错误；对于D，因为函数在上递增，所以当时，，D正确．故选：BD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数是的导函数，则__________.答案：解析：思路：先求导，再把代入导函数中，可求得，得到的解析式，最后把代入中求得.解答过程：由函数，可得，令，可得，解得，则，所以.故答案为.13.已知直线是曲线和的公切线，则的值为_____.答案：解析：思路：利用导数的几何意义求解即可.解答过程：令，则，因为直线是曲线的切线，所以由解得，此时所以在处的切线为，所以，又是的切线，联立得，令解得，所以，故14.甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则________．答案：①.②.解析：思路：第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解.解答过程：依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种，其中甲、乙参加同一项目的方案种，则所求的参赛方案一共有种；因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案，若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，故总共有种不同的方案；若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目，故共有种不同的方案；同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案；乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案.所以.故；.方法提示：关键点点睛：本题第二空解决的关键是，分类讨论事件对应的情况，做到不缺不漏，从而得解.四、解答题(本题共5小题，共77分．15题每题13分，16-17题15分18-19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数在时取得极值13.（1）求，的值；（2）求在上的最大值和最小值.答案：（1），（2）最大值为，最小值为解析：思路：（1）利用，可求解；（2）求导，令，可得，，结合单调性，可求最值.（1）由题可得，，，解得，.（2）由（1）知，令，解得，，当时，，所以的单调递增区间为，，当时，，所以的单调递减区间为，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以在上的最大值为，最小值为.16.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，即可得出的值；（2）令，可得出的值；（3）解法一；设，分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，，再结合赋值法可求得所求代数式的值；解法二：设，结合展开式通项可得，则，结合赋值法可得结果.（1）展开式通项为，令，可得.（2）令，则.（3）解法一：设，展开式通项为，则，当为偶数时，；当为奇数时，.所以，；解法二：的展开式通项为，则，设，的展开式通项为，则，所以，.17.已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.（1）求切线的方程；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据导数的几何意义先求解的值，然后得到切点坐标，即可得到切线的方程；（2）化简不等式，分离常数，即，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可.（1）解：函数的定义域为，，由题意知，，所以，故，所以，切点坐标为故切线的方程为．（2）解：由（1）知，，所以，可化为：，即在上恒成立，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，故当时，在上恒成立，所以实数的取值范围是.18.DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．答案：（1）分布列见解析，1（2）（ⅰ）；（ⅱ）1100解析：思路：（1）服从超几何分布，利用即可求解；（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解；（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，