2025-2026学年江苏东台市第一中学高二下册阶段学情调研数学试题 含解析

/数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）1.已知向量，若，则（）A. B. C.0 D.12.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.33.从3位男生，2位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法有（）种．A.9 B. C. D.4.设随机变量，则（）A.1 B. C. D.5.已知空间向量，若点在平面内，则（）A. B. C. D.06.展开式中含项的系数为（）A.5 B. C. D.7.设为两个事件，已知，则（）A. B. C. D.8.甲､乙､丙､丁､戊､己六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且丙和丁相邻的概率为（）A. B. C. D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）9.已知随机变量的分布列为13579则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则（）A.B.C.D.11.在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上的一个动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点，使得平面平面C.当时，直线与所成角的余弦值为D.当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）12.若，则__________.13.已知甲盒中有个红球和个黄球，乙盒中有个红球和个黄球.现从甲盒中随机抽取个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取个球，此球恰为红球的概率是__________.14.如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________．四､解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡的指定区域内）15.已知的展开式中共有6项.（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中二项式系数最大的项.16.（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？17.从标有的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），用随机变量表示抽到的卡片是奇数的个数．（1）求在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率；（2）求随机变量的分布列和数学期望．18.一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：组别（支出费用）频数439（1）从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率；（2）若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上；（ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．附：若，则，．19.如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点．（1）证明：；（2）求二面角的余弦；（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．

数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）1.已知向量，若，则（）A. B. C.0 D.1答案：B解析：解答过程：已知向量，若，则，解得．2.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：D解析：解答过程：因为，所以.3.从3位男生，2位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法有（）种．A.9 B. C. D.答案：C解析：解答过程：总共3个场馆，每个场馆各1人，选出3人后进行全排列：已知共3名男生，2名女生，且至少有1名女生，则共2种情况，1女2男和2女1男，不同安排方法有：种．4.设随机变量，则（）A.1 B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知，则，．5.已知空间向量，若点在平面内，则（）A. B. C. D.0答案：A解析：解答过程：已知点在平面内，，故，解得，．6.展开式中含项的系数为（）A.5 B. C. D.答案：B解析：解答过程：，其展开式的通项公式为，当时，的展开式中各项的次数均不小于，不含项，当时，的一次项为，含的项为，故该展开式中含项的系数为：．7.设为两个事件，已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意可得，解得，因为，所以.8.甲､乙､丙､丁､戊､己六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且丙和丁相邻的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据已知条件，利用“捆绑法”和“插空法”计算符合条件的排列数，再求出6个元素总排列数，进而求出符合条件的概率．解答过程：已知丙丁相邻，捆绑丙丁有2种排列方式，“捆绑后的丙丁”与戊､己共3个元素排列，共种，“捆绑后的丙丁”与戊､己共3个元素排好后有4个空位，且甲、乙不与丙相邻：若“捆绑后的丙丁”为“丙丁”，则丙左侧空位禁止插入甲或乙，若“捆绑后的丙丁”为“丁丙”，则丙右侧空位禁止插入甲或乙，故4个空位中仅有3个可供甲、乙插入，从3个空位中选2个插入甲、乙，共计，符合条件的总排列数为：，6个元素总排列数为：，符合条件的概率为：．二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）9.已知随机变量的分布列为13579则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：解答过程：，解得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．10.已知函数，则（）A.B.C.D.答案：BCD解析：解答过程：令，则，，令，则，故A错误；当时，则，当时，则，，故B正确；展开式通项为，则对应，即，故C正确；令，则，令，则，，故D正确．11.在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上的一个动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点，使得平面平面C.当时，直线与所成角的余弦值为D.当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为答案：ABD解析：思路：利用锥体体积公式可判断A选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BC选项；解答过程：对于A选项，因为平面平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，又，的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图1所示的空间直角坐标系，则、、、、、，、、，对于B项，，，，，，设，其中，则．设平面的法向量为，由，令，可得．设平面的法向量为，由，令，可得．若平面平面，则，则，解得，故B正确；对于C选项，当时，，．设直线与所成的角为，则，即直线与所成角的余弦值为，故C错误；对于D项，如图2，当为的中点时，、，，．设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．故选：ABD．方法提示：方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）12.若，则__________.答案：5或3解析：解答过程：由题意可得或，解得或，当时，符合题意；当时，符合题意，所以或.13.已知甲盒中有个红球和个黄球，乙盒中有个红球和个黄球.现从甲盒中随机抽取个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取个球，此球恰为红球的概率是__________.答案：解析：思路：直接由全概率公式计算可得.解答过程：记“从甲盒取出红球放入乙盒”的事件，“从乙盒中抽取个球，此球恰为红球”的事件，则，，，由全概率公式得.所以从乙盒中抽取个球，此球恰为红球的概率为.14.如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________．答案：解析：解答过程：是平行四边形，是对角线交点，则，已知，，．四､解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡的指定区域内）15.已知的展开式中共有6项.（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中二项式系数最大的项.答案：（1）（2），解析：思路：（1）由展开式中共有6项可求得的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解；（2）易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，结合二项展开式通项可求出展开式中二项式系数最大的项.（1）由题意可得，展开式中共有6项，则，所以该二项式为.则通项公式为，令，解得，所以该二项式的展开式中的的系数为.（2）因为，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，即，，所以展开式中二项式系数最大的项是，.16.（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？答案：（1）256（2）（3）解析：思路：（1）每个球都有4种方法，根据分步计数原理可得答案；（2）由题意每个盒子不空，故每个盒子各一个，可得答案；（3）由题意可从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，由分步计数原理可得答案.解答过程：解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种，（2）每个盒子不空，共有不同的方法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法．方法提示：本题主要考查排列、组合及简单计数问题，相对简单，注意灵活运用排列、组合的性质求解.17.从标有的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），用随机变量表示抽到的卡片是奇数的个数．（1）求在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率；（2）求随机变量的分布列和数学期望．答案：（1）（2）解析：012思路：（1）根据已知条件，分析第一次抽到偶数后剩余卡片的情况，进而求出相应概率；（2）分析的可能取值情况，分别计算相应概率，从而得出随机变量的分布列和数学期望．（1）已知奇数卡片3张，偶数卡片2张，第一次抽到偶数后，剩余4张卡片：3张奇数，1张偶数，则第二次抽到奇数的概率为：．（2）已知随机变量表示抽到的卡片是奇数的个数，则的取值可能为，；；；随机变量的分布列为：012数学期望为：．18.一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：组别（支出费用）频数439（1）从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率；（2）若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上；（ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．附：若，则，．答案：（1）（2）（i）万人（ii）0123解析：思路：（1）先确定符合条件的频数区间，得出符合条件的总人数，再用组合数分别计算总情况数和符合条件的情况数，进而求出概率；（2）（i）根据已知条件确定正态分布的两个参数，确定分布，利用正态分布的对称性结合附表计算概率，再利用概率乘以该市总人口，得出对应人数；（ii）将独立重复试验转化为二项分布，求出单次成功概率，进而确定分布类型，再利用二项分布概率公式求出分布列及期望．（1）由频数分布表知，旅游支出不低于元的市民人